http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka_1_OO/Sumy_szereg%C3%B3w_liczbowych&feed=atom&action=history
Matematyka 1 OO/Sumy szeregów liczbowych - Historia wersji
2024-03-29T06:20:52Z
Historia wersji tej strony wiki
MediaWiki 1.34.1
http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Matematyka_1_OO/Sumy_szereg%C3%B3w_liczbowych&diff=1263&oldid=prev
Anula: Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== Udowodnić, że suma szeregu ::<math> S=\sum _{n=1}^\infty a_{n} =\sum _{n=1}^\infty \frac{4(-1)^{n+1}}{2n-1} </math> jest skończona. Rozbija..."
2015-05-22T13:00:30Z
<p>Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Zadanie== Udowodnić, że suma szeregu ::<math> S=\sum _{n=1}^\infty a_{n} =\sum _{n=1}^\infty \frac{4(-1)^{n+1}}{2n-1} </math> jest skończona. Rozbija..."</p>
<p><b>Nowa strona</b></p><div>__NOTOC__<br />
<br />
==Zadanie==<br />
<br />
Udowodnić, że suma szeregu<br />
<br />
::<math><br />
S=\sum _{n=1}^\infty a_{n} =\sum _{n=1}^\infty \frac{4(-1)^{n+1}}{2n-1}<br />
</math><br />
<br />
jest skończona.<br />
<br />
Rozbijamy sumę <math>S</math> na sumę częściową <math>2k</math> pierwszych wyrazów, <math>S_{2k}</math><br />
i sumę pozostałych (nieskończenie wielu) wyrazów<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!=<br />
S_{2k} + \sum _{n=2k+1}^\infty \frac{4(-1)^{n+1}}{2n-1}<br />
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=<br />
S_{2k}<br />
+4\left[\frac{(-1)^{2k+1+1}}{2(2k+1)-1}+\frac{(-1)^{2k+2+1}}{2(2k+2)-1}<br />
+\frac{(-1)^{2k+3+1}}{2(2k+3)-1}+\frac{(-1)^{2k+4+1}}{2(2k+4)-1}<br />
+\ldots \right]<br />
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=<br />
S_{2k}<br />
+4\left[\frac{1}{4k+1}-\frac{1}{4k+3}+\frac{1}{4k+5}-\frac{1}{4k+7}<br />
+\ldots \right]<br />
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=<br />
S_{2k}<br />
+4\left[\frac{2}{(4k+1)(4k+3)}+\frac{2}{(4k+5)(4k+7)}<br />
+\ldots \right]<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Każdy z ułamków w nawiasie kwadratowym jest dodatni, więc dostajemy<br />
nierówność<br />
<br />
::<math><br />
S > S_{2k}<br />
</math><br />
<br />
Teraz rozbijamy sumę <math>S</math> na sumę częściową <math>S_{2k+1}</math> pierwszych<br />
<math>(2k+1)</math> wyrazów i sumę pozostałych (nieskończenie wielu) wyrazów<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!=<br />
S_{2k+1} + \sum _{n=2k+2}^\infty \frac{4(-1)^{n+1}}{2n-1}<br />
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=<br />
S_{2k+1}<br />
+4\left[\frac{(-1)^{2k+2+1}}{2(2k+2)-1}+\frac{(-1)^{2k+3+1}}{2(2k+3)-1}<br />
+\frac{(-1)^{2k+4+1}}{2(2k+4)-1}+\frac{(-1)^{2k+5+1}}{2(2k+5)-1}<br />
+\ldots \right]<br />
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=<br />
S_{2k+1}<br />
+4\left[-\frac{1}{4k+3}+\frac{1}{4k+5}-\frac{1}{4k+7}+\frac{1}{4k+9}<br />
+\ldots \right]<br />
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=<br />
S_{2k+1}<br />
+4\left[\frac{-2}{(4k+3)(4k+5)}+\frac{-2}{(4k+7)(4k+9)}<br />
+\ldots \right]<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Każdy z ułamków w nawiasie kwadratowym jest ujemny, więc dostajemy<br />
nierówność<br />
<br />
::<math><br />
S < S_{2k+1}<br />
</math><br />
<br />
Obie nierówności razem dają dolne i górne ograniczenie na sumę <math>S</math>:<br />
<br />
::<math><br />
S_{2k} < S < S_{2k+1}<br />
</math><br />
<br />
Obliczamy różnicę wartości tych ograniczeń<br />
<br />
::<math><br />
S_{2k+1} - S_{2k}<br />
=<br />
a_{2k+1}<br />
=<br />
\frac{4(-1)^{2k+2}}{4k+2-1} = \frac{4}{4k+1}<br />
</math><br />
<br />
Obliczamy granicę wartości tej różnicy dla <math>k\rightarrow \infty </math><br />
<br />
::<math><br />
\lim _{k\rightarrow \infty } \left(S_{2k+1} - S_{2k}\right)<br />
=<br />
\lim _{k\rightarrow \infty } \frac{4}{4k+1}<br />
=<br />
0<br />
</math><br />
<br />
Następnie wykazujemy monotoniczność ciągu parzystych sum cząstkowych<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S_{2k+2} - S_{2k}<br />
=<br />
a_{2k+1}+a_{2k+2}<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{4(-1)^{2k+2}}{2(2k+1)-1} + \frac{4(-1)^{2k+3}}{2(2k+2)-1}<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{4}{4k+1} - \frac{4}{4k+3}<br />
=<br />
\frac{8}{(4k+1)(4k+3)}<br />
><br />
0<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Ten ciąg jest ściśle rosnący. Analogicznie pokazujemy, że ciąg<br />
nieparzystych sum cząstkowych jest ciągiem ściśle malejący:<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S_{2k+3} - S_{2k+1}<br />
=<br />
a_{2k+2}+a_{2k+3}<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{4(-1)^{2k+3}}{2(2k+2)-1} + \frac{4(-1)^{2k+4}}{2(2k+3)-1}<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
-\frac{4}{4k+3} + \frac{4}{4k+5}<br />
=<br />
-\frac{8}{(4k+3)(4k+5)}<br />
<<br />
0<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Udowodniliśmy, że liczba <math>S</math> spełnia następujące warunki:<br />
<br />
<ul><br />
<br />
<li><br />
<math>S</math> jest większe od każdego wyrazu rosnącego ciągu<br />
parzystych sum cząstkowych <math>S_{2k}</math><br />
<br />
<br />
<li><br />
<math>S</math> jest mniejsze od każdego wyrazu malejącego ciągu<br />
nieparzystych sum cząstkowych <math>S_{2k+1}</math><br />
<br />
<br />
<li><br />
ciąg różnic między wartościami wyrazów tych monotonicznych<br />
ciągów, <math>S_{2k+1}-S_{2k}</math>, ma granicę równą zero<br />
<br />
</ul><br />
<br />
Powyższe warunki można zilustrować odpowiednim wykresem<br />
<br />
[[Plik:fig14.png|350px|]]<br />
<br />
<br />
Pokazują one, że szereg<br />
<math>S=\sum _{n=1}^\infty a_{n}</math> jest zbieżny.<br />
<br />
Na obecnym etapie zajęć nie możemy jeszcze obliczyć wartości<br />
liczbowej sumy <math>S</math>. Warto jednak wypisać przybliżone wartości kilku<br />
sum cząstkowych<br />
<br />
<br />
<table class="wikitable"><br />
<tr><br />
<td><math>N</math></td><br />
<br />
<td><math>S_N</math></td><br />
<br />
<td><math>N</math></td><br />
<br />
<td><math>S_N</math></td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>2</td><br />
<br />
<td>2.667</td><br />
<br />
<td>3</td><br />
<br />
<td>3.4467</td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>4</td><br />
<br />
<td>2.895</td><br />
<br />
<td>5</td><br />
<br />
<td>3.340</td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>6</td><br />
<br />
<td>2.976</td><br />
<br />
<td>7</td><br />
<br />
<td>3.284</td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>20</td><br />
<br />
<td>3.092</td><br />
<br />
<td>21</td><br />
<br />
<td>3.189</td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>50</td><br />
<br />
<td>3.122</td><br />
<br />
<td>51</td><br />
<br />
<td>3.161</td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>100</td><br />
<br />
<td>3.13159</td><br />
<br />
<td>101</td><br />
<br />
<td>3.15149</td><br />
<br />
</tr><br />
<tr><br />
<td>1000</td><br />
<br />
<td>3.14059</td><br />
<br />
<td>1001</td><br />
<br />
<td>3.14259</td><br />
<br />
</tr><br />
</table><br />
<br />
<br />
Sumą szeregu jest liczba <math>\pi </math>, ale, jak widać w powyższej tabelce,<br />
ciąg sum cząstkowych zbiega dość powoli. Obliczona wcześniej<br />
różnica <math>S_{2N+1}-S_{2N}=4/(4N+1)</math> pokazuje, że suma cząstkowa<br />
<math>S_k</math> przybliża <math>S</math> z dokładnością rzędu <math>1/k</math> (to też można<br />
dostrzec w tabelce).<br />
<br />
<br />
<br />
==Zadanie==<br />
<br />
Znaleźć sumę szeregu<br />
<br />
::<math><br />
S=\sum _{n=1}^\infty a_{n} =\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n(n+1)}<br />
</math><br />
<br />
Zadanie bardzo łatwo rozwiązać po zapisaniu wyrazu <math>a_n</math><br />
w postaci kombinacji funkcji wymiernych o mianownikach<br />
liniowych w <math>n</math> (operacja odwrotna do sprowadzania do<br />
wspólnego mianownika):<br />
<br />
::<math><br />
a_n = \frac{1}{n(n+1)} = \frac{b}{n} + \frac{c}{n+1}<br />
=<br />
\frac{b(n+1)+cn}{n(n+1)} = \frac{b+(b+c)n}{n(n+1)}<br />
</math><br />
<br />
Licznik ostatniego ułamka ma być równy 1, więc otrzymujemy układ równań<br />
<br />
::<math><br />
\left\lbrace <br />
\begin{array}{r}<br />
b=1 \\<br />
b+c=0<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
którego rozwiązanie ma postać <math>b=1</math>, <math>c=-1</math>. Szukaną sumę szeregu<br />
zapisujemy w postaci<br />
<br />
::<math><br />
S=\sum _{n=1}^\infty a_{n} =\sum _{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)<br />
</math><br />
<br />
Obliczamy kilka pierwszych sum cząstkowych<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S_1<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}<br />
\\<br />
S_2<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}<br />
\\<br />
S_3<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\left(1-\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)<br />
+ \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)<br />
=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Łatwo zauważyć, że <math>N</math>-ta suma cząstkowa wynosi<br />
<br />
::<math><br />
S_N<br />
=<br />
\left(1-\frac{1}{2}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{N}-\frac{1}{N+1}\right)<br />
=1-\frac{1}{N+1}=\frac{N}{N+1}<br />
</math><br />
<br />
co pozwala obliczyć sumę <math>S</math> jako granicę ciągu sum cząstkowych<br />
<br />
::<math><br />
S = \lim _{N\rightarrow \infty } S_N = \lim _{N\rightarrow \infty } \frac{N}{N+1} = 1<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
==Zadanie==<br />
<br />
Udowodnić zbieżność szeregu<br />
<br />
::<math><br />
S=\sum _{n=1}^\infty a_{n} =\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{n^c}<br />
</math><br />
<br />
dla <math>c>1</math>.<br />
Dokonujemy następujących operacji w celu znalezienia ograniczenia<br />
na ciąg sum cząstkowych:<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S_N<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
1+\frac{1}{2^c}+\frac{1}{3^c} + \ldots + \frac{1}{N^c}<br />
<<br />
1+\frac{1}{2^c}+\frac{1}{3^c} + \ldots + \frac{1}{N^c}<br />
+ \ldots + \frac{1}{(2N)^c} + \frac{1}{(2N+1)^c}<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
= 1 +\left(\frac{1}{2^c}+\frac{1}{3^c}\right)<br />
+\ldots +<br />
\left(\frac{1}{(2k)^c}+\frac{1}{(2k+1)^c}\right)<br />
+\ldots +<br />
\left(\frac{1}{(2N)^c}+\frac{1}{(2N+1)^c}\right)<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Wyrażenia w nawiasach spełniają warunek<br />
<br />
::<math><br />
\left(\frac{1}{(2k)^c}+\frac{1}{(2k+1)^c}\right)<br />
<<br />
\left(\frac{1}{(2k)^c}+\frac{1}{(2k)^c}\right)<br />
=<br />
\frac{2}{(2k)^c}<br />
</math><br />
<br />
<math>N</math>-ta suma cząstkowa spełnia więc nierówność<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S_N<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
<<br />
1 + \frac{2}{2^c} +\ldots + \frac{2}{(2k)^c} +\ldots + \frac{2}{(2N)^c}<br />
=<br />
1 + \frac{1}{2^{c-1}} +\ldots + \frac{1}{2^{c-1}}\,\frac{1}{k^c}<br />
+\ldots + \frac{1}{2^{c-1}}\,\frac{1}{N^c}<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
1 + \frac{1}{2^{c-1}}\left(1+\ldots +\frac{1}{k^c}+\ldots +\frac{1}{N^c}<br />
\right)<br />
=<br />
1 + \frac{1}{2^{c-1}}\,S_N<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Porównując skrajne wyrażenia w powyższym wzorze, dostajemy<br />
<br />
::<math><br />
\left(1-\frac{1}{2^{c-1}}\right)S_N < 1<br />
</math><br />
<br />
Wyrażenie w nawiasie jest liczba dodatnią (co udowodnimy za chwilę),<br />
więc możemy powyższą nierównośc przekształcic do postaci<br />
<br />
::<math><br />
S_N < \frac{1}{1-\displaystyle \frac{1}{2^{c-1}}}<br />
</math><br />
<br />
Prawa strona tej nierówności jest dla każdego<br />
<math>c>1</math> skończoną liczbą dodatnią, co pokazuje następujący ciąg<br />
nierówności<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
\infty >c>1<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!\qquad \Rightarrow \qquad \infty >2^c>2<br />
\qquad \Rightarrow \qquad \infty >\frac{2^c}{2}>1<br />
\qquad \Rightarrow \qquad \infty >2^{c-1}>1<br />
\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!\qquad \Rightarrow \qquad 0<\frac{1}{2^{c-1}}<1<br />
\qquad \Rightarrow \qquad 1>1-\displaystyle \frac{1}{2^{c-1}}>0<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
O ciągu sum cząstkowych wiemy więc, że<br />
<br />
<ul><br />
<br />
<li><br />
jest ciągiem rosnącym (ponieważ <math>S_{N+1}-S_N=1/(N+1)>0</math>)<br />
<br />
<br />
<li><br />
jest ciągiem ograniczonym z góry przez ustaloną dla każdego <math>c</math><br />
skończoną liczbę dodatnią<br />
<br />
</ul><br />
<br />
Ciąg <math>S_N</math>, jako rosnący i ograniczony z góry, jest ciągiem zbieżnym,<br />
co należało wykazać.<br />
<br />
<br />
<br />
==Zadanie==<br />
<br />
Znaleźć sumę szeregu<br />
<br />
::<math><br />
S=\sum _{n=1}^\infty a_{n} =\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-1}<br />
</math><br />
<br />
Warto wypisać jawnie kilka pierwszych wyrazów tej sumy<br />
<br />
::<math><br />
\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-1}<br />
=<br />
\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)(2n+1)}<br />
=<br />
\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}<br />
+\frac{1}{7\cdot 9}+\ldots </math><br />
<br />
Suma cząstkowa <math>S_N</math> jest równa<br />
<br />
::<math><br />
S_N<br />
=<br />
\frac{1}{1\cdot 3}+\ldots +\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}<br />
+\cdots +\frac{1}{(2N-1)(2N+1)}<br />
</math><br />
<br />
Każdy wyraz powyższej sumy zapisujemy jako kombinację prostych<br />
funkcji wymiernych<br />
<br />
::<math><br />
\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}<br />
=<br />
\frac{b}{2k-1}+\frac{c}{2k+1}<br />
=<br />
\frac{b(2k+1)+c(2k-1)}{(2k-1)(2k+1)}<br />
=<br />
\frac{2(b+c)k+(b-c)}{(2k-1)(2k+1)}<br />
</math><br />
<br />
co prowadzi do układu równań<br />
<br />
::<math><br />
\left\lbrace <br />
\begin{array}{r}<br />
b-c=1\\<br />
2(b+c)=0\\<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math><br />
<br />
którego rozwiązaniem jest <math>b=\frac{1}{2}</math>, <math>c=-\frac{1}{2}</math>.<br />
<math>N</math>-tą sumę cząstkową możemy więc zapisać w postaci<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S_N<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\left(\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}\right)<br />
+<br />
\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{5}\right)<br />
+\ldots +<br />
\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2k+1}\right)<br />
\\<br />
&&<br />
+<br />
\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2k+3}\right)<br />
+\ldots +<br />
\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2N+1}\right)<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{1}{2}<br />
\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)<br />
+<br />
\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)<br />
+\ldots +<br />
\left(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}\right)<br />
+<br />
\left(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\right)\right.<br />
\\<br />
&&\quad \left.<br />
+\ldots +<br />
\left(\frac{1}{2N-1}-\frac{1}{2N+1}\right)\right]<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{1}{2}<br />
\left[1-\frac{1}{2N+1}\right]<br />
\end{matrix}</math><br />
<br />
Teraz łatwo możemy już obliczyć sumę szeregu jako granicę ciągu sum<br />
cząstkowych<br />
<br />
::<math><br />
S<br />
=<br />
\lim _{N\rightarrow \infty } S_N<br />
=<br />
\lim _{N\rightarrow \infty } \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right)=\frac{1}{2}<br />
</math><br />
<br />
<br />
<br />
==Zadanie==<br />
<br />
Znaleźć sumę szeregu<br />
<br />
::<math><br />
S=\sum _{n=1}^\infty a_{n} =\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{(4n)^2-1}<br />
</math><br />
<br />
korzystając z wyniku podanego przy rozwiązywaniu zadania 4.1:<br />
<br />
::<math><br />
4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}=\pi </math><br />
<br />
Wypisujemy jawnie kilka pierwszych wyrazów sumy<br />
<br />
::<math><br />
\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{16n^2-1}<br />
=<br />
\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{(4n-1)(4n+1)}<br />
=<br />
\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{7\cdot 9}+\frac{1}{11\cdot 13}<br />
+\frac{1}{15\cdot 17}+\ldots </math><br />
<br />
Podobnie jak w poprzednich zadaniach, zapisujemy <math>n</math>-ty wyraz szeregu<br />
w innej postaci<br />
<br />
::<math><br />
a_n<br />
=<br />
\frac{1}{(4n-1)(4n+1)}<br />
=<br />
\frac{b}{4n-1}+\frac{c}{4n+1}<br />
=<br />
\frac{4(b+c)n+(b-c)}{(4n-1)(4n+1)}<br />
</math><br />
<br />
co, po wyznaczeniu stałych <math>b</math> i <math>c</math>, daje<br />
<br />
::<math><br />
a_n<br />
=<br />
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}\right)<br />
</math><br />
<br />
Sumę szeregu można zapisać w postaci<br />
<br />
::<math><br />
S<br />
=<br />
\sum _{n=1}^\infty \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4n-1}-\frac{1}{4n+1}\right)<br />
=<br />
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{11}-\frac{1}{13}<br />
+\ldots \right)<br />
</math><br />
<br />
Tym razem nie ma żadnego kasowania między składnikami kolejnych wyrazów<br />
szeregu <math>a_n</math> i <math>a_{n+1}</math>. Szereg w nawiasie w powyższym równaniu<br />
jest podobny do szeregu z sumą równą <math>\pi </math> podanego w treści<br />
zadania<br />
<br />
::<math><br />
\pi =<br />
4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{2n-1}<br />
=<br />
4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\ldots \right)<br />
</math><br />
<br />
Aby z tego skorzystać, zmieniamy ostatnio uzyskaną postać wyrażenia na<br />
sumę <math>S</math>:<br />
<br />
<math>\begin{matrix}<br />
S<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{11}<br />
+\ldots \right)<br />
=<br />
\frac{1}{2}\left(1-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}+\frac{1}{11}<br />
+\ldots \right)<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{1}{2}\left[1-\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{11}<br />
+\ldots \right)\right]<br />
=<br />
\frac{1}{2}\left[1-\left(\frac{\pi }{4}\right)\right]<br />
\\<br />
&&\!\!\!\!\!\!\!\!<br />
=<br />
\frac{1}{2} - \frac{\pi }{8}<br />
\end{matrix}</math></div>
Anula