http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Reprezentacje_czas-cz%C4%99sto%C5%9B%C4%87&feed=atom&action=historyReprezentacje czas-częstość - Historia wersji2024-03-28T13:38:38ZHistoria wersji tej strony wikiMediaWiki 1.34.1http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Reprezentacje_czas-cz%C4%99sto%C5%9B%C4%87&diff=4447&oldid=prevDurka: /* Reprezentacje czas-częstość */2015-12-10T20:18:47Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">Reprezentacje czas-częstość</span></span></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="pl">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← poprzednia wersja</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Wersja z 20:18, 10 gru 2015</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1" >Linia 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 1:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Reprezentacje czas-częstość==</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==<ins class="diffchange diffchange-inline">[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] </ins>Reprezentacje czas-częstość==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Transformata Wignera|Transformata Wignera]] daje jako pierwotny wynik estymatę gęstości</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Transformata Wignera|Transformata Wignera]] daje jako pierwotny wynik estymatę gęstości</div></td></tr>
</table>Durkahttp://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Reprezentacje_czas-cz%C4%99sto%C5%9B%C4%87&diff=4340&oldid=prevDurka: /* Reprezentacje czas-częstość */2015-10-25T10:55:28Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">Reprezentacje czas-częstość</span></span></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="pl">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← poprzednia wersja</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Wersja z 10:55, 25 paź 2015</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l1" >Linia 1:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Linia 1:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Reprezentacje czas-częstość==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Reprezentacje czas-częstość==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Transformata Wignera|Transformata Wignera]] <del class="diffchange diffchange-inline">i jej pochodne dają </del>jako pierwotny wynik estymatę gęstości</div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Transformata Wignera|Transformata Wignera]] <ins class="diffchange diffchange-inline"> daje </ins>jako pierwotny wynik estymatę gęstości</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>energii sygnału w przestrzeni czas-częstość; jej pełny obraz zawiera rzędu</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>energii sygnału w przestrzeni czas-częstość; jej pełny obraz zawiera rzędu</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>N^2</math> wartości &mdash; dla sygnału o długości <math>N</math> punktów mamy w każdym punkcie</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><math>N^2</math> wartości &mdash; dla sygnału o długości <math>N</math> punktów mamy w każdym punkcie</div></td></tr>
</table>Durkahttp://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Reprezentacje_czas-cz%C4%99sto%C5%9B%C4%87&diff=890&oldid=prevJarekz: Utworzono nową stronę "==Reprezentacje czas-częstość== Transformata Wignera i jej pochodne dają jako pierwotny wynik estymatę gęstości energii sygnału w przes..."2015-05-21T19:41:03Z<p>Utworzono nową stronę "==Reprezentacje czas-częstość== <a href="/edu/index.php/Transformata_Wignera" title="Transformata Wignera">Transformata Wignera</a> i jej pochodne dają jako pierwotny wynik estymatę gęstości energii sygnału w przes..."</p>
<p><b>Nowa strona</b></p><div>==Reprezentacje czas-częstość==<br />
<br />
[[Transformata Wignera|Transformata Wignera]] i jej pochodne dają jako pierwotny wynik estymatę gęstości<br />
energii sygnału w przestrzeni czas-częstość; jej pełny obraz zawiera rzędu<br />
<math>N^2</math> wartości &mdash; dla sygnału o długości <math>N</math> punktów mamy w każdym punkcie<br />
<math>N/2</math> częstości. Z kolei [[Przekształcenie Fouriera|przekształcenia Fouriera]] czy [[Falki (wavelets)|falkowe]] opisują sygnał w<br />
kategorii współczynników określających "dopasowanie" sygnału do konkretnych<br />
funkcji: <math>e^{i\omega t}</math>, <math>g(t)e^{i\omega t}</math> czy <math>\psi(\frac{t-u}s)</math>. Liczba<br />
tych funkcji, których iloczyn z sygnałem będziemy traktować jako jego<br />
reprezentację, ustalamy właściwie dowolnie, ale zwykle jest ona bliższa<br />
rozmiarowi sygnału <math>N</math> niż <math>N^2</math>. W szczególnym przypadku bazy<br />
ortogonalnej, którą można stworzyć z funkcji <math>e^{i\omega t}</math> lub falek<br />
<math>\psi(\frac{t-u}s)</math>, będzie ich dokładnie <math>N</math>.<br />
<br />
Z tych współczynników możemy również utworzyć mapę gęstości energii sygnału w<br />
przestrzeni czas-częstość. Każdy iloczyn określa zawartość energii sygnału<br />
w pewnym przedziale czasu i częstości. Ze względu na zasadę<br />
nieoznaczoności, iloczyn tych przedziałów ("pole") nie może być dowolnie mały.<br />
Dla [[Spektrogram|spektrogramu]] będą to jednolite przedziały o rozmiarach wyznaczonych przez<br />
szerokość okna <math>g(t)</math>. Z kolei w przypadku [[Falki (wavelets)|transformacji falkowej]] wzrost<br />
częstości funkcji związany jest ze zmianą skali <math>s</math>, czyli "rozciąganiem"<br />
<math>\psi</math>, dlatego funkcje o niższej częstości będą zajmowały większy przedział<br />
czasu.<br />
<br />
Okazuje się, że tworzone w ten sposób estymaty gęstości energii są równoważne<br />
pewnym sposobom uśredniania [[Transformata Wignera|transformaty Wignera]].<br />
<br />
Która z tych metod jest najlepsza? Przede wszystkim musimy ustalić, co w tym<br />
miejscu znaczy "lepszy". Mamy do czynienia z reprezentacjami sygnału w<br />
postaci iloczynów z ustalonymi zestawami funkcji; najlepsza będzie taka<br />
reprezentacja, dla której większość z tych iloczynów jest bliska zeru.<br />
Dlaczego? Przede wszystkim oznacza to, że najważniejsze (lub raczej<br />
najsilniejsze) cechy sygnału udało się wyrazić z pomocą niewielu znanych<br />
funkcji, których iloczyny z sygnałem są istotnie różne od zera.<br />
Tak zwięzły opis sygnału odkrywa zwykle jego podstawowe cechy i ułatwia dalszą<br />
analizę. Poza poznaniem głównych cech badanego sygnału, wymiernym celem jest<br />
często kompresja.<br />
<br />
Jeśli funkcje używane do analizy sygnału tworzą bazę ortogonalną, jak w<br />
przypadku [[Przekształcenie Fouriera|transformaty Fouriera]] czy niektórych falek, to reprezentacj w takiej<br />
bazie zawiera dokładnie ilość informacji potrzebną do odtworzenia sygnału.<br />
Jeśli ilość funkcji wybranych do reprezentacji jest większa niż wymiar bazy,<br />
to mamy do czynienia z redundancją, ale odtworzenie sygnału z wartości<br />
iloczynów jest zwykle również możliwe. Tak więc jeśli zapiszemy tylko wartości<br />
większych iloczynów, to odtworzony z nich sygnał powinien być podobny do<br />
oryginału &mdash; jest to kompresja stratna, stosowana np. w popularnych formatach<br />
[[TI:Technologia_Informacyjna/MP3|mp3]] czy [[TI:Technologia_Informacyjna/JPEG|jpeg]].<br />
<br />
Problem wyboru reprezentacji pozostaje otwarty:<br />
* [[Przekształcenie Fouriera|transformata Fouriera]] opisuje zwięźle sygnały stacjonarne, w których dominuje niewielka ilość częstości (sinusoidalnych), <br />
* w [[Spektrogram|krótkoczasowej transformacie Fouriera]] trudno odgadnąć dla nieznanego sygnału optymalną szerokośc okna (por. dolne wykresy na rys. <xr id="fig:9"> %i</xr>), <br />
* w [[Falki (wavelets)|reprezentacji falkowej]] (a z różnych falek możemy konstruować różne reprezentacje) zwięźle opiszemy krótkie struktury przejściowe (ang. ''transients'' ), ale np. długi sinus będzie dawał duże wartości iloczynów z wieloma falkami (rys. <xr id="fig:9"> %i</xr>),<br />
*i tak dalej<math>\ldots</math>.<br />
<br />
Dla każdego sygnału zwięzłą reprezentację możemy uzyskać wyrażając go<br />
w innym zestawie funkcji. A gdyby tak dopasować reprezentację do<br />
sygnału, wybierając odpowiednie funkcje z ogromnego (względem rozmiaru<br />
bazy, czyli redundantnego) zestawu? To podejście opisane jest w<br />
rozdziale o [[Reprezentacje_przybliżone#Przybliżenia_adaptacyjne(adaptive_approximations)|Matching Pursuit]]<br />
<br />
<br />
[[Plik:timefreq_rys_5.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:9"></figure>Reprezentacje gęstości energii sygnału (długości 256 punktów),<br />
przedstawionego na dole rysunku, w przestrzeni czas-częstość, liczone na<br />
podstawie (od dołu): [[Spektrogram|spektrogramów]] z oknami szerokości 32 i 64 punkty,<br />
[[Falki (wavelets)|transformacji falkowej]] w bazie ortogonalnych falek (falki Meyera) i algorytmu<br />
dopasowania krokowego [[Reprezentacje_przybliżone#Przybliżenia_adaptacyjne(adaptive_approximations)|Matching Pursuit]]. Po lewej stronie każdego wykresu przedstawione widmo<br />
mocy sygnału. W każdym przypadku oś częstości skierowana ku górze.]]<br />
<br />
[[Plik:timefreq_rys_6.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:10"></figure>Przykłady funkcji używanych do reprezentacji sygnału na rys.<br />
9, w kolumnach od lewej: [[Falki (wavelets)|falki]], funkcje używane w [[Spektrogram|spektrogramie]],<br />
[[Reprezentacje_przybliżone#Dyskretny_s.C5.82ownik_funkcji_Gabora|elementy słownika Gabora]] (dopasowanie krokowe).]]</div>Jarekz