STAT:Twierdzenie Wienera-Chinczyna

Z Brain-wiki
Wersja z dnia 12:40, 28 maj 2015 autorstwa Jarekz (dyskusja | edycje) (Utworzono nową stronę "{{poprzedni|STAT:Model_autoregresyjny_(AR)}} ==Twierdzenie Wienera-Chinczyna== Transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fo...")
(różn.) ← poprzednia wersja | przejdź do aktualnej wersji (różn.) | następna wersja → (różn.)

Szablon:Poprzedni

Twierdzenie Wienera-Chinczyna

Transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fouriera.

Dowód Kładąc [math]f = g[/math] we wzorze na funcję korelacji sygnałów f i g, dostajemy

[math] \mathcal{F} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega \tau} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) d\tau = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} e^{i\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt d\tau = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} f(t+\tau) d\tau \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} f(t) dt = [/math] [math] \hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} = |\hat{f}(\omega)|^2 [/math]

Szablon:Następny