Szereg Fouriera: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 14 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 40: Linia 40:
 
wyraz dla <math>k = n</math> wynosi <math>\int_0^T c_n dt</math>, czyli <math>c_n T</math> (bo <math>e^0=1</math>).  
 
wyraz dla <math>k = n</math> wynosi <math>\int_0^T c_n dt</math>, czyli <math>c_n T</math> (bo <math>e^0=1</math>).  
 
   
 
   
 +
 
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami — przypomnijmy <math>e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)</math>. Wagi <math>c_n</math> możemy traktować jako względny "udział" odpowiadających im częstości.
 
Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami — przypomnijmy <math>e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)</math>. Wagi <math>c_n</math> możemy traktować jako względny "udział" odpowiadających im częstości.
  
Linia 47: Linia 48:
 
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2
 
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2
 
</math>
 
</math>
 +
  
 
'''Dowód''':
 
'''Dowód''':
 +
 
<math>
 
<math>
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t  = \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = \frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right)
+
\frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t  =</math>
 +
 
 +
<math> \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = </math>
 +
 
 +
<math>\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right)
 
\left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =</math>
 
\left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =</math>
 +
  
 
<math>
 
<math>
  \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\;</math>
+
  \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\; =</math>
 +
 
  
<math> = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
+
<math>\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2
 
</math>
 
</math>
  
Linia 77: Linia 86:
 
<math>c_n^2</math>  jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość.
 
<math>c_n^2</math>  jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość.
 
Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału.  
 
Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału.  
Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rys.<xr id="fig:20"> %i</xr>).
+
Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz <xr id="fig:20">rysunek</xr>).
  
 
Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych;
 
Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych;
Linia 92: Linia 101:
 
</equation>
 
</equation>
 
tożsamy z <math>s(t)</math> w przedziale <math>[0, T]</math>,  
 
tożsamy z <math>s(t)</math> w przedziale <math>[0, T]</math>,  
który można już przedstawić w postaci sumy <xr id="eq:15"> %i</xr>.  
+
który można już przedstawić w postaci <xr id="eq:15">sumy</xr>.  
 
    
 
    
 
   
 
   
 
''Przykład'':
 
''Przykład'':
Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> (rys. <xr id="fig:20"> %i</xr>),  
+
Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji <math>\Theta(t)</math> (<xr id="fig:20"></xr>),  
 
określonej na przedziale <math>[0,1]</math> w następujący sposób:  
 
określonej na przedziale <math>[0,1]</math> w następujący sposób:  
  
Linia 109: Linia 118:
 
</math>
 
</math>
 
</equation>
 
</equation>
Bezpośrednio z wzoru <xr id="eq:16"> %i</xr> dostajemy (dla <math>T = 1</math>)
+
Bezpośrednio z <xr id="eq:16">wzoru</xr> dostajemy (dla <math>T = 1</math>)
 
   
 
   
 
<math>\begin{matrix}  
 
<math>\begin{matrix}  
Linia 127: Linia 136:
 
<br/>
 
<br/>
  
Tak więc z wzoru <xr id="eq:15"> %i</xr>
+
Tak więc z <xr id="eq:15">wzoru</xr>
  
 
<math>\begin{matrix}  
 
<math>\begin{matrix}  
Linia 138: Linia 147:
 
<br/>
 
<br/>
  
W sumie kosinusów wyrazy dla <math>n>0</math> znoszą odpowiednie wyrazy dla <math>-n</math>, w sumie  
+
W sumie kosinusów wyrazy dla <math>n>0</math> znoszą odpowiednie wyrazy dla <math>-n</math> (bo <math>cos(-x)=cos(x)</math>), w sumie  
sinusów wyrazy dla <math>\pm n</math> dodają się, dając w efekcie
+
sinusów wyrazy dla <math>\pm n</math> dodają się (bo <math>sin(-x)=-sin(x)</math>), dając w efekcie
  
 
<equation id="eq:19">
 
<equation id="eq:19">

Aktualna wersja na dzień 03:04, 13 paź 2023

AS/ Szereg Fouriera

Sygnał okresowy (o okresie [math]T[/math]) można przedstawić w postaci szeregu Fouriera:


[math] s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi n}{T} t}, [/math]


gdzie

[math] c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^{i \frac{2\pi n}{T} t} d t [/math]


Dowód powyższego wzoru na współczynniki rozwinięcia Fouriera:

Mnożymy obie strony równania 1 przez

[math]e^\frac{2\pi i k t}{T}[/math]

i całkujemy po [math]dt[/math] od [math]0[/math] do [math]T[/math]:


[math] \int_0^T s(t) e^{{{2\pi i k t}\over{T}}} dt = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_0^T c_n e^{i{{2 \pi (k-n)}\over{T}} t}dt [/math]


Całki po prawej stronie znikają dla [math]k \ne n[/math]. Jedyny niezerowy wyraz dla [math]k = n[/math] wynosi [math]\int_0^T c_n dt[/math], czyli [math]c_n T[/math] (bo [math]e^0=1[/math]).


Oznacza to, że każdą funkcję okresową możemy przedstawić w postaci sumy sinusów i kosinusów z odpowiednimi wagami — przypomnijmy [math]e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi)[/math]. Wagi [math]c_n[/math] możemy traktować jako względny "udział" odpowiadających im częstości.


Tożsamość Parsevala dla szeregów Fouriera

[math] \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left| c_n \right|^2 [/math]


Dowód:

[math] \frac{1}{T} \int_0^T \left| s(t) \right|^2 d t =[/math]

[math] \frac{1}{T} \int_0^T s(t) \overline{s(t)} \,d t \; = [/math]

[math]\frac{1}{T} \int_0^T \left( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} \right) \left( \sum_{m=-\infty}^{+\infty} \overline{c_m} e^{i\frac{2\pi t}{T} m} \right) d t =[/math]


[math] \left\| \; \int_0^T e^{-i\frac{2\pi t}{T} n} e^{i\frac{2\pi t}{T} m}= \delta_{(m-n)} T \;\right\|\; =[/math]


[math]\sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n \overline{c_n} \;\;= \sum_{n = -\infty}^{\infty} |c_n|^2 [/math]


Energia, moc, widmo

Jeśli sygnałem będzie np. prąd elektryczny, płynący w obwodzie o jednostkowej oporności w czasie od [math]0[/math] do [math]T[/math], to wytracona przez niego energia wyniesie [math]\int_0^T s(t)^2 d t[/math]. W ogólności, biorąc pod uwagę sygnały o wartościach zespolonych, całkowitą energię sygnału definiujemy jako [math]\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t[/math]. Moc to oczywiście energia wytracana w jednostce czasu, czyli [math]\frac{1}{T}\int_{0}^{T} | s(t) |^2 d t[/math]. Jak widać z powyższego twierdzenia, dla sygnałów okresowych możemy ją również obliczać jako sumę kwadratów współczynników szeregu Fouriera [math]\sum c_n^2[/math]. Pozwala to interpretować [math]c_n^2[/math] jako moc, niesioną przez odpowiadającą mu częstość. Wykres tej wielkości w zależności od częstości nazywamy widmem mocy sygnału. Dla sygnału okresowego widmo mocy będzie dyskretne (patrz rysunek 1).

Wszystko to nie tyczy się li tylko sygnałów czysto okresowych; z sygnału nie-okresowego [math]s(t)[/math], określonego na skończonym przedziale [math][0, T][/math], możemy utworzyć sygnał okresowy [math]s_T(t)[/math]:

Klasyczna rys 1 5.jpg
[math]\begin{matrix} s_T(t)=s(t),\;t\in[0,T] \\ s_T(t+nT)=s(t),\;n=1,2,\ldots \end{matrix}[/math]

tożsamy z [math]s(t)[/math] w przedziale [math][0, T][/math], który można już przedstawić w postaci sumy 1.


Przykład: Policzmy postać współczynników Fouriera dla funkcji [math]\Theta(t)[/math] (Figure 1), określonej na przedziale [math][0,1][/math] w następujący sposób:

[math] \Theta(t) = \left\{ \begin{matrix} 1 &, & t \in [0, \frac{1}{2})\\ 0 &, & t \in [ \frac{1}{2}, 1] \end{matrix} \right. [/math]

Bezpośrednio z wzoru 2 dostajemy (dla [math]T = 1[/math])

[math]\begin{matrix} c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} \Theta(t) e^\frac{i 2\pi n t}{T} d t = \int_{0}^\frac{1}{2} e^{{{i 2\pi n t}}} d t = ( \mathrm{dla}\; n \ne 0 ) = \left [\frac{1}{i 2\pi n} e^{{i 2\pi n t}} \right ]_{t=0}^{t=\frac{1}{2}} \\ = \frac{1}{i 2\pi n} ( e^{i \pi n} - 1 ) = \left\{ \begin{matrix} 0 & \mathrm{dla}\; n = \pm2, \pm4, \ldots\\ i/\pi n & \mathrm{dla}\; n = \pm1, \pm3, \ldots \end{matrix} \right .\\ (\mathrm{dla}\; n=0) \;\; c_0 = \int_{0}^\frac{1}{2} 1 d t = \frac{1}{2} \end{matrix}[/math]

Tak więc z wzoru 1

[math]\begin{matrix} \Theta(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} c_n e^{-i 2 \pi t n} = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} e^{-i 2 \pi t n}= \\ = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \left( \cos(2\pi n t) - i \sin( 2\pi n t) \right)=\\ = \frac{1}{2}\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{i}{\pi n} \cos(2\pi n t)\;\; + \sum_{n=\pm1, \pm3, \ldots} \frac{1}{\pi n} \sin( 2\pi n t) \end{matrix}[/math]


W sumie kosinusów wyrazy dla [math]n\gt 0[/math] znoszą odpowiednie wyrazy dla [math]-n[/math] (bo [math]cos(-x)=cos(x)[/math]), w sumie sinusów wyrazy dla [math]\pm n[/math] dodają się (bo [math]sin(-x)=-sin(x)[/math]), dając w efekcie

[math] \Theta(t) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin\left(2\pi (2n-1) t\right)}{(2n-1)} [/math]
Od góry, kolejno: funkcja [math]\Theta[/math] (równanie %i 4), "uzupełniona" do funkcji okresowej według wzoru %i 3, pierwszych 30 współczynników szeregu Fouriera, kwadraty współczynników szeregu Fouriera — dyskretne widmo, pierwszy wyraz rozwinięcia Fouriera, sumy pierwszych 10, 50, 500 i 5000 wyrazów rozwinięcia (5). Jak widać, najtrudniejsza do wyrażenia z pomocą funkcji trygonometrycznych jest nieciągłość funkcji [math]\theta(t)[/math] w punktach [math]\left\{\pm \frac{k}{2}, k \in N \right\}[/math]; niejednorodna zbieżność szeregów Fouriera w tych rejonach nosi nazwę efektu Gibbsa.