Tekst źródłowy strony Twierdzenia o splocie i o próbkowaniu (aliasing)

==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Twierdzenie o splocie==

===Korelacja i splot===
Korelacja jest miarą podobieństwa lub wzajemnej zależności.
Jeśli mówimy, że występuje korelacja między wydajnością i ceną
komputerów, to mamy na myśli stwierdzenie, że droższe komputery mają
zwykle większą moc obliczeniową &mdash; im mniej przypadków przeciwnych,
tym korelacja silniejsza.  Silna korelacja sygnałów <math>x</math> i
<math>y</math> oznacza, że wzrostowi <math>x</math> towarzyszy
najczęściej wzrost <math>y</math> <math>\left( x_\nearrow\;
\rightarrow y_\nearrow \right)</math>.  Jeśli przeważa sytuacja
odwrotna <math>\left( x_\nearrow\; \rightarrow y_\searrow
\right)</math> mówimy o korelacji ujemnej.

Miarą współzmienności (kowariancji) dwóch sygnałów 
jest ich iloczyn. Przed obliczeniem tego iloczynu (w ogólnym przypadku
mówimy o jego wartości oczekiwanej) od każdego z sygnałów warto odjąć 
wartość średnią:

<math>
\sigma_{x y}=\int \left(x(t)-\bar{x}\right)\left(y(t)-\bar{y}\right) dt
</math>

Dzięki temu w przypadku, gdy sygnały są od siebie niezależne, 
<math>\sigma_{x y}</math> będzie bliska zeru &mdash; uniezależnia to miarę kowariancji 
od wartości średnich sygnałów. Aby otrzymać wartości z przedziału <math>[ -1, 1 ]</math> 
wprowadzamy jako czynnik normalizacyjny wariancję sygnału:

<math>
\sigma^2_s=\int\left( s(t)-\bar{s}\right)^2 dt
</math>

Znormalizowaną w ten sposób kowariancję zwiemy korelacją:

<math>
\mathrm{korelacja}_{x y} = \frac{\sigma_{x y}}{\sqrt{\sigma^2_x\sigma^2_y}}
</math>

Może się zdarzyć, że dwa sygnały są bardzo podobne, tylko przesunięte 
względem siebie w czasie. W wykryciu takiej sytuacji pomaga funkcja 
korelacji wzajemnej, czyli korelacja dwóch sygnałów w funkcji 
ich wzajemnego przesunięcia. Z kolei autokorelacja to miara korelacji 
sygnału <math>s(t)</math> z jego kopią przesuniętą o <math>\tau</math>. Pomijając normalizację
i odejmowanie średnich otrzymamy

<math>
\sigma_{s, s}(\tau)=\int s(t) s(t+\tau) dt
</math> 

[[Plik:klasyczna_rys_3.jpg|thumb|center|400px|Od góry: sygnał <math>s(t)</math>, ten sam sygnał przesunięty w czasie o <math>\tau</math>, i jego funkcja autokorelacji.]]

Funkcja autokorelacji będzie miała oczywiście maksimum w zerze, a istnienie 
innych maksimów związane jest z występowaniem w sygnale okresowo 
powtarzających się zjawisk. [[Model_autoregresyjny_(AR)#Twierdzenie Wienera-Chinczyna|Twierdzenie Wienera-Chinczyna]] mówi wręcz, 
że widmo mocy obliczać możemy jako [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] funkcji autokorelacji. 

<math>
\mathrm{corr}\left(x(t),y(t)\right) = \frac{\sigma^2_{x y}}{\sigma_x \sigma_y} =
\frac{\int (x(t)-\mu_x)( y(t)-\mu_y) dt } 
{\sqrt{ \int (x(t)-\mu_x)^2 dt  \int (y(t)-\mu_y)^2 dt }}
</math>

lub

<math>
\frac{\sum_i (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)}
{\sqrt{\sum_j (x_j-\mu_x)^2 \sum_k (y_k-\mu_y)^2}}
</math>

Rozważmy [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] funkcji korelacji sygnałów <math>f</math> i <math>g</math>, dla uproszczenia pomijając normalizację:
<math>
s(\tau)=\int f(t) g(t+\tau) dt
</math>

<equation id="eq:29">
<math>
\hat{s}(\omega)=
\int e^{-i\omega \tau} \left( \int f(t) g(t+\tau) dt \right) d\tau 
</math>
<math>
=\int e^{-i\omega (t+\tau)} g(t+\tau) \int e^{i\omega t} f(t) dt \; du 
</math>
<math>
= \int e^{-i\omega u} f(u) du \int e^{i\omega(t)} g(t) dt =
\hat{f}(\omega) \overline{\hat{g}(\omega)} 
</math>
</equation>

Jak widać, operator korelacji odpowiada w przestrzeni transformat
Fouriera iloczynowi transformaty jednego sygnału ze sprzężeniem 
zespolonym transformaty drugiego. 

===Twierdzenie o splocie===
<equation id="eq:30">
<math>
s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(u) g(t-u) du 
\;\; \Longrightarrow \;\;\; 
\hat{s}(\omega) = \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)
</math>
</equation>
... czyli splot w przestrzeni czasu odpowiada iloczynowi w przestrzeni transformat Fouriera.

Jest to wynik wygodniejszy od wzoru
<xr id="eq:29">(%i)</xr>, stąd filtrowanie realizowane jest właśnie z pomocą 
splotu, który jak widać z równania <xr id="eq:29">(%i)</xr> jest korelacją
z sygnałem o odwróconym kierunku czasu.

'''Dowód''':

<math>
\hat{s}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} s(t) d t = 
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} 
f(u) g(t-u) \,d u \,d t 
</math>
<math>
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty}  e^{-i \omega (t-u)}g(t-u) dt \right) du 
</math>

Całka w nawiasie przebiega od <math>-\infty</math> do <math>\infty</math>, więc możemy zamienić <math>(t-u)</math> na <math>t</math>:

<math>
= \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega t}g(t) dt \right) du =
\hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega)
</math>

[[Plik:klasyczna_rys_4.jpg|thumb|center|400px|Iloczyn i korelacja dyskretnych sekwencji <math>x</math> i <math>y\ldots</math>]]


Konwolucja ma ponadto własność łączności -- dowód można znaleźć np. tutaj:  http://planetmath.org/node/39211

<!--
Let <math>f</math>, <math>g</math>, and <math>h</math> be measurable functions on the reals, and
suppose the convolutions <math>(f*g)*h</math> and <math>f*(g*h)</math> exist.  We must show
that <math>(f*g)*h = f*(g*h)</math>.  By the definition of convolution,
<center><math>\begin{matrix}
((f*g)*h)(u)
&= \int_{\mathbb{R}} (f*g)(x) h(u-x)\,dx 

&= \int_{\mathbb{R}} \left[ \int_{\mathbb{R}} f(y) g(x-y)\,dy\right] h(u-x)\,dx 

&= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dy\,dx.
\end{matrix}</math></center>
By Fubini's theorem we can switch the order of integration.  Thus
<center><math>\begin{matrix}
((f*g)*h)(u)
&= \int_{\mathbb{R}} \int_{\mathbb{R}} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dx\,dy 

&= \int_{\mathbb{R}} f(y) \left[\int_{\mathbb{R}} g(x-y) h(u-x)\,dx\right]\,dy.
\end{matrix}</math></center>
Now let us look at the inner integral.  By translation invariance,
<center><math>\begin{matrix}
\int_{\mathbb{R}} g(x-y) h(u-x)\,dx 
&= \int_{\mathbb{R}} g((x+y)-y) h(u-(x+y))\,dx 

&= \int_{\mathbb{R}} g(x) h((u-y)-x)\,dx 

&= (g*h)(u-y).
\end{matrix}</math></center>
So we have shown that
<center><math>
((f*g)*h)(u) = \int_{\mathbb{R}} f(y)(g*h)(u-y)\,dy,
</math></center>
which by definition is <math>(f*(g*h))(u)</math>.  Hence convolution is associative.

-->





<references/>