Twierdzenia o splocie i o próbkowaniu (aliasing): Różnice pomiędzy wersjami
(Utworzono nową stronę "==Twierdzenia o splocie i o próbkowaniu (aliasing)== ===Korelacja i splot=== Korelacja jest miarą podobieństwa lub wzajemnej zależności. Jeśli mówimy, że wystę...") |
|||
(Nie pokazano 14 wersji utworzonych przez 2 użytkowników) | |||
Linia 1: | Linia 1: | ||
− | == | + | ==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Twierdzenie o splocie== |
===Korelacja i splot=== | ===Korelacja i splot=== | ||
Linia 52: | Linia 52: | ||
Funkcja autokorelacji będzie miała oczywiście maksimum w zerze, a istnienie | Funkcja autokorelacji będzie miała oczywiście maksimum w zerze, a istnienie | ||
innych maksimów związane jest z występowaniem w sygnale okresowo | innych maksimów związane jest z występowaniem w sygnale okresowo | ||
− | powtarzających się zjawisk. [[ | + | powtarzających się zjawisk. [[Model_autoregresyjny_(AR)#Twierdzenie Wienera-Chinczyna|Twierdzenie Wienera-Chinczyna]] mówi wręcz, |
− | że widmo mocy obliczać możemy jako [[ | + | że widmo mocy obliczać możemy jako [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] funkcji autokorelacji. |
<math> | <math> | ||
Linia 68: | Linia 68: | ||
</math> | </math> | ||
− | Rozważmy [[ | + | Rozważmy [[Przekształcenie Fouriera|transformatę Fouriera]] funkcji korelacji sygnałów <math>f</math> i <math>g</math>, dla uproszczenia pomijając normalizację: |
<math> | <math> | ||
s(\tau)=\int f(t) g(t+\tau) dt | s(\tau)=\int f(t) g(t+\tau) dt | ||
Linia 79: | Linia 79: | ||
</math> | </math> | ||
<math> | <math> | ||
− | =\int e^{-i\omega (t+\tau)} g(t+\tau) \int e^{i\omega t} f(t) | + | =\int e^{-i\omega (t+\tau)} g(t+\tau)\; dt \int e^{i\omega t} f(t) \; d\tau |
</math> | </math> | ||
<math> | <math> | ||
− | = \int e^{-i\omega u} | + | = \int e^{-i\omega u} g(u) du \int e^{i\omega t } f(t) dt = |
− | \hat{ | + | \hat{g}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} |
</math> | </math> | ||
</equation> | </equation> | ||
Linia 89: | Linia 89: | ||
Jak widać, operator korelacji odpowiada w przestrzeni transformat | Jak widać, operator korelacji odpowiada w przestrzeni transformat | ||
Fouriera iloczynowi transformaty jednego sygnału ze sprzężeniem | Fouriera iloczynowi transformaty jednego sygnału ze sprzężeniem | ||
− | zespolonym transformaty drugiego. | + | zespolonym transformaty drugiego. |
===Twierdzenie o splocie=== | ===Twierdzenie o splocie=== | ||
Linia 120: | Linia 120: | ||
<math> | <math> | ||
− | = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \omega t}g(t) dt \right) du = | + | = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega t}g(t) dt \right) du = |
\hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega) | \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega) | ||
</math> | </math> | ||
[[Plik:klasyczna_rys_4.jpg|thumb|center|400px|Iloczyn i korelacja dyskretnych sekwencji <math>x</math> i <math>y\ldots</math>]] | [[Plik:klasyczna_rys_4.jpg|thumb|center|400px|Iloczyn i korelacja dyskretnych sekwencji <math>x</math> i <math>y\ldots</math>]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Splot ma ponadto własność łączności, czyli <math>(f*g)*h = f*(g*h)</math>. Z definicji | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | ((f*g)*h)(u) | ||
+ | = \int_{-\infty}^{\infty} (f*g)(x) h(u-x)\,dx | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y)\,dy\right] h(u-x)\,dx | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dy\,dx. | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Zmieniamy kolejność całkowania na mocy twierdzenia Fubiniego: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | ((f*g)*h)(u) | ||
+ | = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dx\,dy | ||
+ | = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \left[\int_{-\infty}^{\infty} g(x-y) h(u-x)\,dx\right]\,dy. | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | przyjrzyjmy się całce w nawiasie kwadratowym; całki są po <math>\mathbb{R}</math>, więc na mocy niezmienności względem przesunięcia możemy przesunąć argument <math>x</math> o <math>-y</math> czyli <math>x \rightarrow (x+y)</math>: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \int_{-\infty}^\infty g(x-y) h(u-x)\,dx | ||
+ | = \int_{-\infty}^\infty g((x+y)-y) h(u-(x+y))\,dx | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) h((u-y)-x)\,dx = (g*h)(u-y). | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Tak więc pokazaliśmy, że | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | ((f*g)*h)(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)(g*h)(u-y)\,dy | ||
+ | = (f*(g*h))(u)</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
<references/> | <references/> |
Wersja z 18:30, 7 lip 2020
AS/ Twierdzenie o splocie
Korelacja i splot
Korelacja jest miarą podobieństwa lub wzajemnej zależności. Jeśli mówimy, że występuje korelacja między wydajnością i ceną komputerów, to mamy na myśli stwierdzenie, że droższe komputery mają zwykle większą moc obliczeniową — im mniej przypadków przeciwnych, tym korelacja silniejsza. Silna korelacja sygnałów [math]x[/math] i [math]y[/math] oznacza, że wzrostowi [math]x[/math] towarzyszy najczęściej wzrost [math]y[/math] [math]\left( x_\nearrow\; \rightarrow y_\nearrow \right)[/math]. Jeśli przeważa sytuacja odwrotna [math]\left( x_\nearrow\; \rightarrow y_\searrow \right)[/math] mówimy o korelacji ujemnej.
Miarą współzmienności (kowariancji) dwóch sygnałów jest ich iloczyn. Przed obliczeniem tego iloczynu (w ogólnym przypadku mówimy o jego wartości oczekiwanej) od każdego z sygnałów warto odjąć wartość średnią:
[math] \sigma_{x y}=\int \left(x(t)-\bar{x}\right)\left(y(t)-\bar{y}\right) dt [/math]
Dzięki temu w przypadku, gdy sygnały są od siebie niezależne, [math]\sigma_{x y}[/math] będzie bliska zeru — uniezależnia to miarę kowariancji od wartości średnich sygnałów. Aby otrzymać wartości z przedziału [math][ -1, 1 ][/math] wprowadzamy jako czynnik normalizacyjny wariancję sygnału:
[math] \sigma^2_s=\int\left( s(t)-\bar{s}\right)^2 dt [/math]
Znormalizowaną w ten sposób kowariancję zwiemy korelacją:
[math] \mathrm{korelacja}_{x y} = \frac{\sigma_{x y}}{\sqrt{\sigma^2_x\sigma^2_y}} [/math]
Może się zdarzyć, że dwa sygnały są bardzo podobne, tylko przesunięte względem siebie w czasie. W wykryciu takiej sytuacji pomaga funkcja korelacji wzajemnej, czyli korelacja dwóch sygnałów w funkcji ich wzajemnego przesunięcia. Z kolei autokorelacja to miara korelacji sygnału [math]s(t)[/math] z jego kopią przesuniętą o [math]\tau[/math]. Pomijając normalizację i odejmowanie średnich otrzymamy
[math] \sigma_{s, s}(\tau)=\int s(t) s(t+\tau) dt [/math]
Funkcja autokorelacji będzie miała oczywiście maksimum w zerze, a istnienie innych maksimów związane jest z występowaniem w sygnale okresowo powtarzających się zjawisk. Twierdzenie Wienera-Chinczyna mówi wręcz, że widmo mocy obliczać możemy jako transformatę Fouriera funkcji autokorelacji.
[math] \mathrm{corr}\left(x(t),y(t)\right) = \frac{\sigma^2_{x y}}{\sigma_x \sigma_y} = \frac{\int (x(t)-\mu_x)( y(t)-\mu_y) dt } {\sqrt{ \int (x(t)-\mu_x)^2 dt \int (y(t)-\mu_y)^2 dt }} [/math]
lub
[math] \frac{\sum_i (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)} {\sqrt{\sum_j (x_j-\mu_x)^2 \sum_k (y_k-\mu_y)^2}} [/math]
Rozważmy transformatę Fouriera funkcji korelacji sygnałów [math]f[/math] i [math]g[/math], dla uproszczenia pomijając normalizację: [math] s(\tau)=\int f(t) g(t+\tau) dt [/math]
[math] =\int e^{-i\omega (t+\tau)} g(t+\tau)\; dt \int e^{i\omega t} f(t) \; d\tau [/math]
[math] = \int e^{-i\omega u} g(u) du \int e^{i\omega t } f(t) dt = \hat{g}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} [/math]Jak widać, operator korelacji odpowiada w przestrzeni transformat Fouriera iloczynowi transformaty jednego sygnału ze sprzężeniem zespolonym transformaty drugiego.
Twierdzenie o splocie
... czyli splot w przestrzeni czasu odpowiada iloczynowi w przestrzeni transformat Fouriera.
Jest to wynik wygodniejszy od wzoru (1), stąd filtrowanie realizowane jest właśnie z pomocą splotu, który jak widać z równania (1) jest korelacją z sygnałem o odwróconym kierunku czasu.
Dowód:
[math] \hat{s}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} s(t) d t = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega t} f(u) g(t-u) \,d u \,d t [/math] [math] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega (t-u)}g(t-u) dt \right) du [/math]
Całka w nawiasie przebiega od [math]-\infty[/math] do [math]\infty[/math], więc możemy zamienić [math](t-u)[/math] na [math]t[/math]:
[math] = \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega u} f(u) \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{- i \omega t}g(t) dt \right) du = \hat{f}(\omega) \hat{g}(\omega) [/math]
Splot ma ponadto własność łączności, czyli [math](f*g)*h = f*(g*h)[/math]. Z definicji
[math] ((f*g)*h)(u) = \int_{-\infty}^{\infty} (f*g)(x) h(u-x)\,dx [/math]
[math] = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y)\,dy\right] h(u-x)\,dx [/math]
[math] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dy\,dx. [/math]
Zmieniamy kolejność całkowania na mocy twierdzenia Fubiniego:
[math] ((f*g)*h)(u) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(y) g(x-y) h(u-x)\,dx\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} f(y) \left[\int_{-\infty}^{\infty} g(x-y) h(u-x)\,dx\right]\,dy. [/math]
przyjrzyjmy się całce w nawiasie kwadratowym; całki są po [math]\mathbb{R}[/math], więc na mocy niezmienności względem przesunięcia możemy przesunąć argument [math]x[/math] o [math]-y[/math] czyli [math]x \rightarrow (x+y)[/math]:
[math] \int_{-\infty}^\infty g(x-y) h(u-x)\,dx = \int_{-\infty}^\infty g((x+y)-y) h(u-(x+y))\,dx [/math]
[math] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) h((u-y)-x)\,dx = (g*h)(u-y). [/math]
Tak więc pokazaliśmy, że
[math] ((f*g)*h)(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y)(g*h)(u-y)\,dy = (f*(g*h))(u)[/math]