Twierdzenie Wienera-Chinczyna: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
Linia 3: Linia 3:
  
 
''Dowód''
 
''Dowód''
Kładąc <math>f = g</math> [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#label-eq:29|we wzorze na funcję korelacji sygnałów ''f'' i ''g'']], dostajemy
+
Kładąc <math>f = g</math> [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#label-eq:29|we wzorze na funkcję korelacji sygnałów ''f'' i ''g'']], dostajemy
  
 
<math>
 
<math>

Wersja z 17:10, 3 lis 2016

AS/ Twierdzenie Wienera-Chinczyna

Transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fouriera.

Dowód Kładąc [math]f = g[/math] we wzorze na funkcję korelacji sygnałów f i g, dostajemy

[math] \mathcal{F} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega \tau} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) d\tau = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} e^{i\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt d\tau = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} f(t+\tau) d\tau \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} f(t) dt = [/math] [math] \hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} = |\hat{f}(\omega)|^2 [/math]