Twierdzenie Wienera-Chinczyna: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
(Utworzono nową stronę "==Twierdzenie Wienera-Chinczyna== Transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fouriera. ''Dowód'' Kładąc <math>f = g</mat...")
 
 
(Nie pokazano 3 wersji utworzonych przez 2 użytkowników)
Linia 1: Linia 1:
==Twierdzenie Wienera-Chinczyna==
 
Transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fouriera.
 
  
''Dowód''
 
Kładąc <math>f = g</math> [[STAT:Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#label-eq:29|we wzorze na funcję korelacji sygnałów ''f'' i ''g'']], dostajemy
 
 
<math>
 
\mathcal{F} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) =
 
</math>
 
<math>
 
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega \tau} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) d\tau  =
 
</math>
 
<math>
 
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)}  e^{i\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt d\tau =
 
</math>
 
<math>
 
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)}  f(t+\tau) d\tau \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} f(t)  dt =
 
</math>
 
<math>
 
\hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} = |\hat{f}(\omega)|^2
 
</math>
 

Aktualna wersja na dzień 17:36, 3 lis 2016