Tekst źródłowy strony Wstep

==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]]Sygnał==
W języku potocznym sygnał to [http://sjp.pwn.pl/lista.php?co=sygnał|''wszelki umowny znak o treści informacyjnej''].  Z kolei w ramach tego wykładu przez
''sygnał'' rozumieć będziemy funkcję (zależną zwykle od
czasu<ref>Uzyskane rezultaty nie zależą od fizycznej postaci
zmiennej zależnej (<math>t</math>) i większość z nich stosowana jest np. w
analizie obrazów. </ref>) <math>s(t)</math>.  Czy mówimy o tym samym?

Rozważmy przykładowe znaki umowne: czerwone światło na
skrzyżowaniu to docierająca do naszych oczu fala
elektromagnetyczna o długości ok. 0,0000007 metra;
znaczeniem tego sygnału jest "stój".  Litery, które czytasz, to
pewien rozkład zaczernienia kartki, dający się niewątpliwie opisać
z pomocą funkcji matematycznych, gdyż w tej właśnie formie
przechodził kolejne etapy poprzedzające druk. Ich znaczenie...

Wydaje się, że fizyczną postać informacji &mdash; umożliwiającą jej przekaz
czy przechowywanie &mdash; można nazwać sygnałem. A odwrotnie? Czy każdy
sygnał niesie ze sobą jakąś informację?  Owszem, tylko niekiedy może
ona być nieskończenie trudna do odczytania (dokładam wszelkich starań,
aby nie miało to miejsca w przypadku tego tekstu :-). A sygnały zupełnie
przypadkowe? Okazuje się, że nie są wcale powszechne ani łatwe do
wytworzenia <ref>Za sygnał przypadkowy możemy uznać sekwencję
liczb, przyjmującym wartości z określonego przedziału, np. od 0 do 1,
z jednakowym prawdopodobieństwem. Ponadto w takiej sekwencji nie
powinny występować ''żadne''  zależności między prawdopodobieństwem
"wylosowania" następnej liczby a wartościami poprzednich, gdyż w
nich właśnie może być zakodowana informacja. W przyrodzie znamiona
takiej przypadkowości noszą zjawiska związane z rozpadem
promieniotwórczym.</ref>, więc właśnie całkowitą przypadkowość można uznać
za niesioną przez sygnał informację.

==Analiza==
Informację niesioną przez milion liczb, wylosowanych niezależnie
spomiędzy 0 i 1, można przedstawić krócej niż przez wyliczenie ich
wszystkich &mdash; choćby tym właśnie zdaniem. Opis ten jest nie tylko
bardziej zwięzły niż przytaczanie miliona wartości, ale oddaje
jednocześnie najważniejsze ich cechy &mdash; ''istotę'' 
sygnału. Zwięzłych, trafny i kompletny opis sygnałów występujących w
przyrodzie to właśnie Święty Graal analizy sygnałów.  Ta książka to
zaledwie zbiór wskazówek, które przy rozsądnym stosowaniu mogą nas
czasem doprowadzić w jego pobliże.

Zastanówmy się więc, na czym właściwie ma polegać analiza czy opis
sygnału, w przypadku bardziej skomplikowanym niż przytoczony powyżej?
Sięgniemy raz jeszcze do [http://sjp.pwn.pl/|''Słownika języka polskiego'']:

'''analiza''' 1. myślowe, pojęciowe wyodrębnienie cech,
części, lub składników badanego zjawiska lub przedmiotu; badanie cech
elementów lub struktury czegoś oraz zachodzących między nimi związków
(...)

Skoncentrujmy się najpierw na "wyodrębnianiu części lub składników".
Ilustrację tego podejścia stanowi rysunek <xr id="fig:1"> %i</xr>.

[[Plik:wstep_rys_1.jpg|thumb|center|600px|alt=Sumowanie sygnałów|<figure id="fig:1"></figure> (a) = (b) + (c) + (d)<br/>(b)=<math>  0.3 \sin(2\pi 12 t)</math> (sinus)<br/>(c)=<math> 0.7 e^{{-(t-0.8)^2}/{0.2}} \sin(2\pi 20 t)</math> (funkcja Gabora)<br/> (d)=<math>0.5 \sin(2\pi\,2\, t\; t )</math> (chirp)]]

"Tajemnicę" konstrukcji sygnału z górnej części rysunku
<xr id="fig:1"> %i</xr> odkrywają wyrysowane pod nim funkcje składowe. Sygnał
(a) jest ich (liniową) sumą. Taki przypadek sygnału będącego liniową
kombinacją znanych funkcji możemy przedstawić ogólnie jako

<equation id="eq:suma_syg">
<math>
s(t) = \sum_{k} \alpha_k g_k
</math>
</equation>

gdzie <math>\{g_i\}</math> to zbiór "znanych" funkcji, a <math>\alpha_i</math> to
współczynniki określające ich wkłady. W konkretnym przypadku sygnału z
rysunku <xr id="fig:1"> %i</xr> wyglądałyby one następująco:
<equation id="eq:zlozenie_sygnalow">
<math>
\left \{
\begin{matrix}
\alpha_1 = 0.3, & g_1 = \sin(2 \pi 12 t)\\
\alpha_2 = 0.7,  &g_2 = e^{{-(t-0.8)^2}/{0.2}} \sin(2\pi 20 t)\\
\alpha_3 = 0.5, &g_3 =  \sin(2\pi\,2\, t\; t )
\end{matrix}
\right .
</math>
</equation>

Załóżmy, że interesująca nas w sygnale informacja została faktycznie
zakodowana według równania <xr id="eq:suma_syg">(%i)</xr>. Niestety, dokładne
"odgadnięcie" reprezentacji typu równania <xr id="eq:zlozenie_sygnalow">(%i)</xr> jest
w ogólnym przypadku &mdash; czyli w braku pewnej wiedzy a priori o sygnale
&mdash; niemożliwe. Już sam wybór ''rodzaju''  funkcji (np. sinusy i
kosinusy) jest nieskończenie trudny &mdash; wszak różnych funkcji jest
nieskończenie wiele! Nawet gdy już zdecydujemy, jakiego rodzaju
funkcje powinny najlepiej opisywać analizowany sygnał, to dobranie ich
parametrów wciąż pozostaje poważnym problemem (patrz np. rozdział [[Reprezentacje_przybliżone#Przybliżenia_adaptacyjne(adaptive_approximations)|o algorytmie Matching Pursuit]]).


Ale analiza to również "badanie cech elementów lub struktury (...)
oraz zachodzących między nimi związków".  Możemy pokusić się o
ustalenie związku między wartością sygnału w danej chwili i w chwilach
poprzednich, w postaci zależności liniowej -- takie założenie realizuje [[Klasyczna#Model_AR|opisany w jednym z następnych rozdziałów model AR]]:

<equation id="eq:zal_lin">
<math>
s(t) = \alpha_1 s(t - \Delta t) + \alpha_2 s(t -2\Delta t) + \alpha_3 s(t - 3 \Delta t) + ...
</math>
</equation>

Jeśli weźmiemy pod uwagę czynniki przypadkowe, jak np. niedokładność
pomiarów, do równań <xr id="eq:suma_syg">(%i)</xr> i <xr
id="eq:zal_lin">(%i)</xr> należy dodać element stochastyczny &mdash; nie
podlegający opisowi w ramach modelu szum <math>\epsilon</math>
([[Reprezentacje przybliżone|patrz rozdział o reprezentacjach przybliżonych]]):

<equation id="eq:suma_z_szumem">
<math>\begin{matrix}
s(t) = \sum_{k=0}^{M} \alpha_k g_k + \epsilon_M \\
s(t) = \sum_{k=0}^{M} \alpha_k s (t - k \Delta t) + \epsilon_t
\end{matrix}</math>
</equation>

Na koniec zauważmy, że zaproponowane dotychczas modele mają postać
liniowych sum.  Uwzględnienie nieliniowości otwiera nowe, nie
uwzględnione w tej książce rozdziały, jak np. chaos deterministyczny,
fraktale...

==Sygnały ciągłe i dyskretne==

Wartości akcji w chwilach zamknięcia kolejnych sesji giełdy tworzą
sygnał z natury dyskretny.  Jednak w przyrodzie większość stanowią
sygnały ciągłe, jak dźwięk (zmiany ciśnienia powietrza w czasie) czy
elektroencefalogram ([[EEG|EEG, potencjał elektryczny mózgu mierzony z
powierzchni czaszki]]). Niezależnie od tego, współczesna analiza
sygnałów odnosi się w praktyce głównie do sygnałów
dyskretnych. "Winne" są oczywiście komputery, urządzenia z natury
cyfrowe, czyli "rozumiejące" wyłącznie dyskretne wartości. Zastanówmy
się nad wynikającymi stąd korzyściami i stratami.

Jeśli sygnał z natury ciągły (np. dźwięk) zdecydujemy się analizować
lub przechowywać w formie cyfrowej, to ciągłą funkcję (np. ciśnienia
powietrza) w czasie musimy zastąpić jej wartościami zmierzonymi w
określonych (najlepiej jednakowych) odstępach czasu, jak na
rys. <xr id="fig:7"> %i</xr>.

[[Plik:wstep_rys_2.jpg|thumb|center|600px|alt=próbkowanie zmienia ciągłys sygnał| <figure id="fig:7"></figure> Próbkowanie zamienia ciągły sygnał
(a) na punkty (b) o współrzędnych w chwilach
próbkowania i odpowiadających im wartościach sygnału ciągłego. Jeśli dysponujemy tylko
sygnałem próbkowanym (b), to możemy "uzupełnić" wartości spomiędzy próbek
przyjmując, że sygnał pomiędzy nimi jest np. liniowy (c) lub
stały od poprzedniego punktu (d) &mdash; widzimy rozbieżności z sygnałem oryginalnym (a).
Faktyczną reprezentacją funkcji po próbkowaniu jest ciąg liczb (e) plus znajomość odstępu próbkowania <math>\Delta t</math>. Optymalny sposób odzyskania wartości spomiędzy
próbek, jeśli próbkowanie przeprowadzono zgodnie z regułami sztuki, podaje [[STAT:Klasyczna#Twierdzenie_o_pr.C3.B3bkowaniu| rozdział o próbkowaniu]]]]

Przy przejściu z reprezentacji ciągłej (rys. <xr id="fig:7"> %i</xr> a) do dyskretnej (b) tracimy informację o
wartościach sygnału pomiędzy próbkami, a naiwne próby ich rekonstrukcji (c i d)
znacznie odbiegają od oryginału (a).


[[Plik:wstep_rys_3.jpg|thumb|center|600px|alt=próbkowanie zmienia ciągłys sygnał| <figure id="fig:8"></figure> Próbkowane z częstością 1 oscylacje o częstościach ''f'', od góry: 1,3, 1, 0,5 i 0,3.
Sinusa o częstości 0,3 można odtworzyć dokładnie z samych wartości dyskretnych (kropki),
podobnie dla granicznej częstości 0,5. Natomiast próbkowane z tą samą częstością szybsze
oscylacje wprowadzają przekłamania &mdash; widoczna na samej górze oscylacja o częstości 1,3
daje w chwilach próbkowania wartości ''dokładnie takie same''  jak sygnał na dole.
Zjawisko to nosi nazwę ''aliasingu''  ([[STAT:Klasyczna#Przekszta.C5.82cenie_Fouriera_sygna.C5.82.C3.B3w_dyskretnych.2C_aliasing | porównaj)]].]]


Pomimo tego, cyfrowy zapis dźwięku (płyty CD)
zastąpił całkowicie
analogowe "czarne płyty" z winylu &mdash; dlaczego?
<ref>
Odpowiedź nie kryje się (niestety) w niższej cenie nośnika. Pomimo, że
technologia cyfrowa faktycznie pozwala na znacznie tańszą produkcję (tj.
powielanie) przy zachowaniu wysokiej jakości &mdash; jak wyjaśnimy za chwilę &mdash; to
jednak cena średnio dwukrotnie wyższa niż cena odp. płyty winylowej, która w
pierwszym okresie była uzasadniona wysokimi kosztami  wprowadzania nowej
technologii, po jej rozpowszechnieniu pozostała na wywindowanym poziomie,
podwajając zyski wytwórni fonograficznych</ref>
* Po pierwsze, przy pewnych dodatkowych założeniach o sygnale ciągłym  <math>s(t)</math>, możliwe jest jego ''dokładne''  odtworzenie z dyskretnej sekwencji  próbek, jeśli odstęp próbkowania <math>\Delta t</math> dobrano odpowiednio dla danego  sygnału. Mówi o tym twierdzenie Nyquista.
* Po drugie, zapis cyfrowy umożliwia korekcję błędów.



===Zapis cyfrowy i korekcja błędów===
Aby zrozumieć, dlaczego łatwość korekcji błędów związana jest z
zapisem cyfrowym, przyjrzyjmy się bliżej analogowym i cyfrowym zapisom
dźwięku.  Na płycie analogowej dźwięk kodowany jest w zmiennym
wyżłobieniu rowka, w którym przemieszcza się igła gramofonu. W
przybliżeniu możemy wyobrazić sobie, że "podskok" igły w większym
wgłębieniu rowka odwzorowywany jest jako większe wychylenie membrany
głośnika (po zamianie w impuls elektryczny i przejściu przez
wzmacniacz). Tak więc wyżłobienie rowka płyty oryginalnie odwzorowuje
dokładnie zapisany dźwięk. Jego zarysowanie lub zabrudzenie wprowadzi
przy odtwarzaniu zakłócenia (zwykle trzaski).  Jednoznaczne
rozróżnienie, które z wyżłobień rowka winylowej płyty odzwierciedlają
oryginalny zapis muzyki, a które powstały skutkiem uszkodzeń, jest
właściwie niemożliwe, dlatego też muzyka ze starych płyt kojarzy nam
się z obecnością trzasków i szumu.<ref>Tak naprawdę sprawa nie
jest beznadziejna:
* część zakłócen pochodzi z zanieczyszczeń; w tym przypadku zwykle  pomaga delikatne czyszczenie płyty.
* Do pozostałych zakłóceń, których nie da się usunąć mechanicznie, stosuje  się potężną metodologię analizy sygnałów (będącą przedmiotem następnych  rozdziałów), która pomaga zgadnąć, które dźwięki w zapisie mogą pochodzić z  zakłóceń. Zwykle jednak nie da się usunąć dokładnie wszystkich zakłóceń bez  naruszenia brzmienia oryginału.</ref>

W przypadku zapisu cyfrowego możemy w prosty sposób ''wykryć''  fakt wystąpienie zakłóceń. Wyobraźmy sobie, że zapisujemy muzykę jako szereg liczb, opisujących amplitudę fali dźwiękowej mierzoną w ustalonych odstępach czasu (rys. <xr id="fig:9"></xr>; dla płyty kompaktowej <math>\Delta t = 1/44 100</math> sekundy).  Ponieważ urządzenie, które będzie zamieniać ten zapis z powrotem na muzykę, i tak musi być swego rodzaju specjalizowanym komputerem (odtwarzaczem
CD), to do programu odtwarzającego możemy wprowadzić pewną modyfikację. Umówmy się dla przykładu, że z każdych dziesięciu kolejnych liczb, do zapisu muzyki będziemy wykorzystywać tylko
dziewięć, a ostatnią będziemy dobierać tak, żeby suma kolejnych dziesięciu liczb zawsze wynosiła np. milion.

[[Plik:wstep_rys_4.jpg|thumb|center|600px|alt=digitalizacja sygnału analogowego|<figure id="fig:9"></figure> Od góry: ciągły (analogowy) zapis fali dźwiękowej, poniżej próbkowanie, czyli wybór chwil, w których ją mierzymy, dalej zamiana zmierzonych wartości na liczby i liczb na bity. Pasek na dole może być np. fragmentem ścieżki na płycie CD: białe pola (zera) odbijają światło lasera, a czarne (jedynki) nie.]]

Taki sposób zapisu wprowadza redundancję, czyli
nadmiar informacji w zapisie, ponieważ przy prawidłowym odczycie
wystarczyłoby znać dziewięć kolejnych liczb, aby wyznaczyć dziesiątą
(jako milion minus suma pozostałych dziewięciu).  Jednak jeśli
wczytamy z takiego zapisu wszystkie liczby, i suma którejś dziesiątki
okaże się inna niz milion, to mamy pewność, że w tym miejscu wystąpił
błąd.<ref>Ale poprawna suma nie daje gwarancji, że błędu nie ma.
W jednej dziesiątce mogą wystąpić np. dwa jednakowe błędy o
przeciwnych znakach i suma pozostanie niezmieniona. Dlatego sumy
kontrolne liczy się w bardziej wyrafinowany sposób (np. CRC --
''Cyclic Redundancy Check'' ) </ref> Taka informacja jest bardzo cenna:
* Jeśli ''jesteśmy pewni'' , że nagły skok amplitudy w kilku kolejnych  próbkach jest wynikiem błędu zapisu, a nie efektem zamierzonym przez muzyka, to  możemy ten skok "przemilczeć", czyli np. zastąpić "popsute" próbki średnią  wartością poprzednich.
* Możemy zwiększyć redundancję i zapisać dwie jednakowe kopie;  jeśli uszkodzeniu ulegnie fragment pierwszej kopii, program może  automatycznie sięgnąć do odpowiedniego fragmentu drugiej  kopii<ref>Prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzeń w tych samych  fragmentach dwóch zapisów jest już bez porównania mniejsze niż  pojedynczego uszkodzenia. Sposobem wprowadzania nadmiarowości, który  minimalizuje prawdopodobieństwo wystąpienia takich pechowych  przypadków, rządzi dość złożona matematyka z pogranicza statystyki,  której nie będziemy tu omawiać. W każdym razie, dwie jednakowe kopie  umieszczone jedna za drugą zwykle nie okazują się rozwiązaniem  otymalnym.</ref>.   
* W przypadku transmisji przez modem, program może zażądać powtórnego  przesłania uszkodzonego fragmentu.

Niezależnie od tych korzyści, jeśli chcemy analizować sygnały z pomocą
komputera ''(maszyny cyfrowej)'', i tak jesteśmy "skazani" na
pracę z ich dyskretną formą.

Mimo tego, większość ogólnych twierdzeń będziemy rozważać w
przestrzeni funkcji ciągłych &mdash; o ile nie tyczą się ''explicite'' 
efektów próbkowania. Teoria funkcji ciągłych jest asymptotycznie
zgodna z wynikami dla sekwencji dyskretnych &mdash; dla odstępu próbkowania
dążącego do zera. Jej rezultaty, prostsze pojęciowo i łatwiejsze do
wyprowadzenia, są wystarczająco dokładne by wyjaśnić ogólne własności
dyskretnych obliczeń.

W uzasadnionych przypadkach będziemy oczywiście dyskutować efekty
próbkowania; w takich sytuacjach będziemy rozróżniać sygnał ciągły
<math>s(t)</math> od dyskretnej sekwencji <math>s[n]</math>.

[[TI:Technologia_Informacyjna/Cyfrowy_świat| Podobne tematy opisuje rozdział "Cyfrowy Świat"]] z podręcznika Technologii Informacyjnej.