Tekst źródłowy strony STAT:Przekształcenie Fouriera

{{poprzedni|STAT:Szereg_Fouriera}}
==Przekształcenie Fouriera==

 wykład 24 października odwołany 

 -> http://www.kozminski.edu.pl/innowacjespoleczne/

A jeśli sygnał nie jest ''ściśle''  okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie 
na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości <math>\forall t \, s(t + T) = s(t)</math>?

Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: <math>T\rightarrow\infty</math>. 
Wtedy odstęp <math>\left(\frac{2\pi}{T}\right)</math>
między częstościami kolejnych elementów sumy z wyprowadzonego w poprzednim rozdziale  [[STAT:Szereg_Fouriera#label-eq:15|wzoru na szereg Fouriera]]

<math> 
s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n},
</math>

dąży do <math>0</math> i suma przechodzi w całkę 

<equation id="eq:21">
<math> 
s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f 
</math>
</equation>
 
funkcja <math>\hat{s}(f)</math>, zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera

<math>
c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t 
</math>

to transformata Fouriera sygnału <math>s(t)</math>, czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera <math>\mathcal{F}</math>.
  
<equation id="eq:22">
<math> 
\mathcal{F}\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t 
</math> 
</equation>

<!--
Aby sprawdzić, że <xr id="eq:21">(%i)</xr> faktycznie pozwala odtworzyć sygnał <math>s(t)</math> z transformaty Fouriera <math>\hat{s}(f)</math>, wstawiamy <xr id="eq:22">(%i)</xr> do <xr id="eq:21">(%i)</xr>

<math> 
s(t)=\int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t \right) e^{-i 2\pi t f} d f 
</math>
-->

Jak widać, transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości. 
Jej moduł dla danej częstości <math>f</math> opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał <xr id="eq:21">(%i)</xr>.

Moduł transformaty Fouriera odpowiada<ref>
Jeśli znamy dokładnie wartości sygnału od <math>-\infty</math> do <math>\infty</math>; w praktyce tak się nie zdarza, stąd 
m. in. rozdział [[STAT:Reprezentacje przybliżone| o reprezentacjach przybliżonych]].</ref>
na postawione na początku tego rozdziału pytanie o opis częstości zawartych 
w sygnale niekoniecznie okresowym, jak miało to miejsce w przypadku 
[[STAT:Szereg_Fouriera#label-eq:15|szeregów Fouriera]]. Tak naprawdę, to dla sygnału okresowego, 
opisanego równaniem <xr id="eq:21">(%i)</xr>, nie da się policzyć transformaty Fouriera, 
bo całka <xr id="eq:22">(%i)</xr> jest nieskończona. Ogólnie dla sygnałów okresowych nie jest spełniony warunek <math>\int_{-\infty}^{\infty} |s(t)| d t < \infty</math>. Na szczęście sygnały występujące w przyrodzie,
szczególnie po przekształceniu na formę dyskretną, zawsze spełniają warunki istnienia transformaty Fouriera
<ref>poza rozbieżnością całki modułu, "popsuć" wzory <xr id="eq:22">(%i)</xr> i <xr id="eq:21">(%i)</xr>
może wyjątkowo patologiczne zachowanie funkcji, jak nieskończona liczba ekstremów lub punktów nieciągłości 
w skończonym przedziale. Podobnie wygląda sytuacja dla szeregów Fouriera.</ref>.


===Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera===
<math>
\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}( f ) |^2 d f
</math>

''Dowód'':

<math>
\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty}  s(t) \overline{s(t)} dt = 
\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right)  dt =
</math>

<math>
= \int_{-\infty}^{\infty}  \overline{ \hat{s}(f)}  \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df  =

\int_{-\infty}^{\infty}  \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty}  | \hat{s}(f) |^2 d f
</math>

Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego:
: ''Niech <math>g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}</math> &mdash; funkcja ciągła. Wówczas'' 
: <math>\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\,d(x,y)</math>.



===Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera=== 
 
Szczególna postać wzorów <xr id="eq:21">(%i)</xr> i <xr id="eq:22">(%i)</xr>
wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu:
<math>f = \frac{1}{T}</math> (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku - we wzorze na transformatę odwrotną <xr id="eq:21">(%i)</xr> 
lub we wzorze <xr id="eq:22">(%i)</xr>. Z kolei przyjęcie częstości kołowej <math>\omega = \frac{2\pi}{T}</math>
(w radianach) przenosi czynnik <math>2\pi</math> (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę.  
Stąd różnorodność możliwych par wzorów:
<!--pamiętne z <xr id="eq:21">(%i)</xr> i <xr id="eq:22">(%i)</xr>:-->


<math>
s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f  \rightarrow
\hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t 
</math>

<math>
s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{i 2\pi t f} d f  \rightarrow
\hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i 2\pi f t} d t 
</math>

<math>
s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow
\hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t 
</math>

<math>
s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow
\hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t 
</math>

<math>
s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega  \rightarrow
\hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t 
</math>

<math>
s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow
\hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t 
</math> 

Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację 
<xr id="eq:22">(%i)</xr> i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną 
<xr id="eq:21">(%i)</xr>; ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu
<math>\omega</math> jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja 
ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.

===Symetrie i własności Transformaty Fouriera===

{| class="wikitable"
|-
!''jeśli sygnał <math>s(t)</math> jest<math>\ldots</math>''
!''to''  <math>\mathcal{F} s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots</math> 
|-
| parzysty  (<math>s(t)=s(-t)</math>)
| parzysta
|-
|nieparzysty (<math>s(t)=-s(-t)</math>)
|nieparzysta
|-
|rzeczywisty
|<math> s(-\omega) = \overline{\hat{s}(\omega})</math> 
|-
|urojony
|<math>s(-\omega) = -\overline{\hat{s}(\omega})</math>
|-
|rzeczywisty i parzysty
|rzeczywista i parzysta
|-
|rzeczywisty i nieparzysty 
|urojona i nieparzysta
|-
|urojony i parzysty
|urojona i parzysta
|-
|urojony i nieparzysty
|rzeczywista i nieparzysta
|-
|+<figure id="24"> ''Symetrie transformat Fouriera''</figure>
|}


{| class="wikitable"
|-
| skalowanie w czasie:
| <math>s(a t)</math> & <math>\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}</math> & <math>\frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})</math>
|-
| skalowanie w częstości:
| <math>\frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a})</math> & <math>\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}</math> &  <math>\hat{s}(a f)</math>
|-
| przesunięcie w czasie:
| <math>s(t - t_0)</math> & <math>\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}</math> & <math>\hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}</math>
|-
| przesunięcie w częstości:
| <math>s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t}</math> & <math>\stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow}</math> & <math>\hat{s}(f - f_0)</math>
|-
|+<figure id="25">''Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera''</figure>
|}

Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z definicji 
<xr id="eq:21">(%i)</xr> i <xr id="eq:22">(%i)</xr>.

===Częstość===

Według [http://sjp.pwn.pl/|''Słownika języka polskiego'']

'''częstość'''<ref>W kręgach inżynierskich po wojnie wprowadzonono
termin "częstotliwość", którego rozróżnienie od częstości nie jest
powszechnie jednoznaczne; brak takich rozróżnień np. w innych językach
europejskich, a w polskim wydaje się on równie potrzebny jak
np. "gęstotliwość" \emph{(na podstawie informacji
prof. A. K. Wróblewskiego)}.</ref> <math>(\ldots)</math> '''2.'''
''fiz.''  <<liczba zdarzeń lub cyklów zjawiska okresowego w jednostce
czasu>>

Szukamy narzędzia, które wskazałoby występujące w sygnale częstości i
ich względny wkład.  Konieczny jest do tego wybór "wzorca", czyli
podstawowego kształtu (funkcji), którym będziemy mierzyć częstość.
Standardem jest tu sinus (w parze z kosinusem) lub odpowiadające im
oscylacje zespolone <math>e^{i\omega t}</math>. Dzieje się tak głównie
dlatego, że funkcje te są [[STAT:Systemy_liniowe_niezmiennicze_w_czasie_(LTI)#label-eq:13|wektorami własnymi systemów liniowych
niezmienniczych w czasie]] oraz
zbiór <math>\left\{e^{ik\omega}\right\}_{k\in\mathbb{Z}}</math> jest
ortonormalną bazą <math>L^2([0,2\pi])</math>.




===Praktyczna estymacja widma Fourierowskiego sygnałów===

====Periodogram====

Periodogram to
<math>
P_N(\omega_k) = \frac{2}{N} \sum_{n=1}^N x[n] e^{-i\omega_k n}
</math>

gdzie <math>\omega_k = \frac{2\pi k}{N}</math>.  Poznajemy, że to po
prostu transformata Fouriera sygnału dyskretnego próbkowana w
dyskretnych punktach <math>\omega_k</math>.  Równomierne próbkowanie
periodogramu w takiej ilości punktów, ile punktów jest w badanym
sygnale, to konwencja dająca przy okazji statystyczną niezależność
wielkości <math>P_N(\omega_k)</math>.  Jeśli w sygnale występuje
dokładnie któraś z częstości <math>\omega_k</math>, to dla tej
wartości otrzymamy wysoki pik. Jednak te akurat częstości nie są w
ogólnym przypadku w żaden sposób wyróżnione.

Ta estymata obarczona jest dużym błędem <math>\ldots</math>

====Efekt okna prostokątnego====

Obliczanie transformaty Fouriera dla skończonego odcinka niesie ze
sobą dodatkowe komplikacje.  Znamy wartości sygnału <math>x[n]</math>
dla <math>i=1\ldots N</math>. Odpowiada to iloczynowi sygnału
<math>\left\{s[n]\right\}_{n\in\mathbb{Z}}</math> z oknem prostokątnym
<math>w_p[k]</math>: 

<math> w_p[k]=\left\{\begin{array}{rl}
1 & \mathrm{dla} \;k=1 .. N\\
0 & \mathrm{dla} \;k<0 \vee k>N\\
\end{array}
\right.
</math>

W efekcie [[STAT:Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)|(patrz twierdzenie o splocie)]] otrzymujemy splot transformaty Fouriera
sygnału (nieskończonego) z transformatą Fouriera okna
<math>\hat{w}_p[k]</math>. Dlatego w praktyce stosujemy okna o
łagodniejszym przebiegu transformaty Fouriera&mdash;np. Gauss.


Praktyczna estymacja widma w oparciu o periodogram przebiega w następujących krokach:
#Obliczamy iloczyn sygnału <math>s[n]</math> z wybranym oknem <math>w[n]</math>, dopasowanym do jego rozmiaru
#Obliczamy periodogram sygnału <math>s[n] w[n]</math>
Dla zmniejszenia błędu estymaty stosuje się jescze podział sygnału na
krótsze (zachodzące na siebie) odcinki i uśrednianie wyników powyższej
procedury dla tych odcinków.
<references/>
{{następny|STAT:Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)}}