WnioskowanieStatystyczne/MLF

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład

Metoda (funkcja) największej wiarygodności

W procesie estymacji na podstawie próby [math]\mathbf{x}=\{x_{i}\}_{i=1\ldots N}[/math] wyznaczamy parametr [math]\lambda[/math] opisujący domniemany rozkład prawdopodobieństwa. Na podstawie tegoż rozkładu możemy z kolei określić a posteriori prawdopodobieństwo zmiennej losowej [math]x_i[/math]: [math]P(x_i | \lambda)[/math].

Logicznym wydaje się postulat, aby parametr(y) [math]\lambda[/math] dobierać tak, aby zmaksymalizować łączny rozkład prawdopodobieństw a posteriori wszystkich prób [math]x_i[/math], zwany funkcją wiarygodności. Dla zmiennych niezależnych łączny rozkład prawdopodobieństwa będzie iloczynem prawdopodobieństw:

[math] L= P(\mathbf{x} | \lambda) = \underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}P(x_{i},\lambda );\quad [/math]

Maksimum tej funkcji będzie w tym samym punkcie, co maksimum jej logarytmu ():

[math] l=\ln (L)=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\ln P(x_{i},\lambda) [/math]

Przykład

Wyznaczanie stałej fizycznej na podstawie [math]N[/math] różnych eksperymentów (o różnej dokładności). Niech błędy podlegają rozkładowi Gaussa.

Estymowany parametr [math]\lambda[/math] to wartość oczekiwana stałej. Prawdopdobieństwo a posteriori wyniku [math]x_{i}[/math] eksperymentu o danej wariancji [math]\sigma _{i}^{2}[/math]

[math] { P(x^{i},\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{i}}e^{\frac{ -(x^{i}-\lambda )^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}}\ } [/math]

Funkcja wiarygodności

[math] L=\underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}P(x_{i},\lambda )={ \ }\underset{ i=1}{\overset{N}{\prod }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{i}}e^{\frac{ -(x^{i}-\lambda )^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}} [/math]

Ponieważ logarytm iloczynu jest równy sumie logarytmów, logarytmiczna funkcja wiarygodności

[math] l=\ln\left( \underset{ i=1}{\overset{N}{\prod }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{i}}e^{\frac{ -(x^{i}-\lambda )^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}} \right) = \ln\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\prod }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma _{i}} \right) + \ln\left( \underset{i=1}{\overset{N}{\prod }} e^{\frac{ -(x^{i}-\lambda )^{2}}{2\sigma _{i}^{2}}} \right) \\ = -\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\ln (\sqrt{2\pi }\sigma _{i}) -\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\frac{(x_{i}-\lambda )^{2}}{2\sigma _{i}^{2}} [/math]

Maksimum przewidujemy w zerze pochodnej

[math] \frac{\delta l}{\delta \lambda }=\underset{i=1}{\overset{N}{\sum }} \frac{x_{i}-\lambda }{\sigma _{i}^{2}}=0\Rightarrow \underset{i=1}{\overset{N }{\sum }}\frac{x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}=\lambda \underset{i=1}{\overset{N}{ \sum }}\frac{1}{\sigma _{i}^{2}}\Rightarrow \lambda _{NW}=\frac{\underset{i=1 }{\overset{N}{\sum }}\frac{x_{i}}{\sigma _{i}^{2}}}{\underset{i=1}{\overset{N }{\sum }}\frac{1}{\sigma _{i}^{2}}} [/math]