Twierdzenie Wienera-Chinczyna: Różnice pomiędzy wersjami
Z Brain-wiki
Linia 3: | Linia 3: | ||
''Dowód'' | ''Dowód'' | ||
− | Kładąc <math>f = g</math> [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#label-eq:29|we wzorze na | + | Kładąc <math>f = g</math> [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#label-eq:29|we wzorze na funkcję korelacji sygnałów ''f'' i ''g'']], dostajemy |
<math> | <math> |
Wersja z 17:10, 3 lis 2016
AS/ Twierdzenie Wienera-Chinczyna
Transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fouriera.
Dowód Kładąc [math]f = g[/math] we wzorze na funkcję korelacji sygnałów f i g, dostajemy
[math] \mathcal{F} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega \tau} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) d\tau = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} e^{i\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt d\tau = [/math] [math] \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} f(t+\tau) d\tau \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} f(t) dt = [/math] [math] \hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} = |\hat{f}(\omega)|^2 [/math]