|
|
| Linia 1: |
Linia 1: |
| − | ==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Twierdzenie Wienera-Chinczyna==
| |
| − | Transformata Fouriera funkcji autokorelacji jest równa kwadratowi modułu transformaty Fouriera.
| |
| | | | |
| − | ''Dowód''
| |
| − | Kładąc <math>f = g</math> [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)#label-eq:29|we wzorze na funkcję korelacji sygnałów ''f'' i ''g'']], dostajemy
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \mathcal{F} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) =
| |
| − | </math>
| |
| − | <math>
| |
| − | \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega \tau} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt \right) d\tau =
| |
| − | </math>
| |
| − | <math>
| |
| − | \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} e^{i\omega t} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f(t+\tau) dt d\tau =
| |
| − | </math>
| |
| − | <math>
| |
| − | \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega(t+\tau)} f(t+\tau) d\tau \int_{-\infty}^{\infty} e^{i\omega t} f(t) dt =
| |
| − | </math>
| |
| − | <math>
| |
| − | \hat{f}(\omega) \overline{\hat{f}(\omega)} = |\hat{f}(\omega)|^2
| |
| − | </math>
| |
