Matematyka 1NI/Calka Riemanna

Z Brain-wiki

Zadanie 1

Znajdź sumę

[math] \displaystyle \sum_{k=1}^n k^2 [/math].





Zadanie 2

Oblicz z definicji [math] \int_{0}^{1} x^2 \, dx [/math].





Zadanie 3

Oblicz [math] \int_{-e}^{-1} \frac{1}{x} \, dx [/math].




Zadanie 4

Pokaż, że [math] I_n:=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2n+1} x \, dx=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k} \frac{1}{2k+1}=\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}. [/math]




Zadanie 5

Znaleźć pole figury ograniczonej osią x i wykresem funkcji [math] {\mathbb R} \ni x \mapsto f(x)=(x^2-1)(x^2-4) [/math].




Zadanie 6

Znaleźć pole elipsy o półosiach a i b.






Zadanie 7

Znaleźć pole pod jednym łukiem cykloidy tzn. krzywej zadanej parametrycznie przez

[math] x=R(t-\sin t), \,\,\, \,\,\, y=R(1-\cos t) , \,\,\,\,\,\, t \in [0, 2\pi]. [/math]





Zadanie 8

Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi

[math] y=e^{7x}=: \, f(x) [/math] ,

[math] y=-x^4-1=: \, g(x) [/math] ,

[math] x=0 [/math] ,

[math] x=1 [/math] .





Zadanie 9

Znaleźć objętość kuli.




Zadanie 10

Oblicz pochodną funkcji [math]h(x)=\int^{x}_{x^2} \frac{dt}{1+t^{100}}[/math].




Zadanie 11

Całki z funkcji nieograniczonych

Dla jakich wartości parametru [math] p [/math] zbieżna jest całka [math] \int_0^7 x^p \; dx [/math].

Obliczyć [math] \int_0^1 \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \; dx [/math]




Zadanie 12

Całki na zbiorach nieograniczonych

Dla jakich wartości parametru $p$ zbieżna jest całka [math] \int_7^{\infty} x^p \; dx [/math].

Obliczyć [math] \int_1^{\infty} \frac{1}{x^\frac{3}{2}} \; dx [/math].




Zadanie 13

Oblicz [math]\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/math].




Zadanie 14

Oblicz [math]\int_0^{\infty} e^{-x} \sin x \; dx[/math].




Zadanie 15

Oblicz [math] \int_1^\infty \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \, dx [/math].





Zadanie 16

oblicz [math]\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2-1}[/math].




Zadanie 17

Obliczyć [math]\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2(e^{\frac{1}{x}}+ e^{-\frac{1}{x}})} \; dx[/math].