FizykaII OO/Energia fali elektromagnetycznej

Gęstość pola elektrycznego i magnetycznego

Gęstość energii zdefiniowana jest jako: [math]\sigma = \frac{d\Gamma}{dV}[/math], gdzie V — objętość, [math]\Gamma[/math] — energia. W przypadku pola jednorodnego można wzór zapisać w postaci: [math]\sigma = \frac{\Gamma}{V}[/math]. Wykorzystując tę definicję i stosując pewne uproszczenia, które doprowadzą nas do wniosku słusznego ogólnie, wyprowadzimy wzory na gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego.

W przypadku pola elektrycznego posłużymy się uproszczeniem, obliczając gęstość energii zawartej w naładowanym kondensatorze płaskim. Niech kondensator charakteryzują wymiary S — powierzchnia, d — odległość płyt, [math]\varepsilon[/math] — stała dielektryczna wypełniającego dielektryka. Kondensator naładowany jest do napięcia U.

Pojemność kondensatora [math]C=\varepsilon_r\varepsilon_0 \frac{S}{d}[/math]

Energia zmagazynowana w kondensatorze jest równa pracy ładowania go i obliczamy tę energię następująco:

[math]\Gamma = W = \int Q dU = \int CUdU = \frac{1}{2} CU^2[/math]

Natężenie pola elektrycznego w kondensatorze jest równe [math] E = \frac{U}{d}[/math]

Zatem gęstość energii obliczamy:

[math]\sigma_E = \frac{\Gamma}{V} = \frac{\frac{1}{2}\varepsilon_r\varepsilon_0}{Sd}\frac{S}{d} E^2d^2= \frac{1}{2}\varepsilon_r\varepsilon_0 E^2[/math]

Gęstość energii pola elektrycznego jest proporcjonalna do kwadratu natężenia pola elektrycznego.

Gęstość energii pola magnetycznego wyznaczamy korzystając z definicji gęstości pola oraz z następującego założenia: rozważamy zmiany energii w obwodzie elektrycznym składającym się z połączonych szeregowo — źródła napięcia o sile elektromotorycznej [math]\mathrm{E}[/math], opornika o oporności R oraz zwojnicy o indukcyjności L. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa można napisać:

[math]\mathrm{E} = L\frac{dI}{dt}+RI[/math]

Mnożymy dwustronnie przez natężenie prądu I.

[math]I\mathrm{E} = IL\frac{dI}{dt}+RI^2[/math]

Wyraz po lewej stronie równania oznacza moc źródła, pierwszy wyraz po prawej jest równy szybkości zmian energii elektrycznej na magnetyczną w zwojnicy, drugi wyraz to moc wydzielana w postaci ciepła.

[math]\frac{d\Gamma_b}{dt} = LI\frac{dI}{dt}[/math]

[math]\Gamma_B - \int LIdI = \frac{1}{2}LI^2[/math]

Powyższy wzór wyraża energię zawartą w zwojnicy, przez którą płynie prąd o natężeniu I. Wartość wektora indukcji magnetycznej w zwojnicy jest równa [math]B=\mu\mu_0\frac{In}{l}[/math], gdzie n — liczba zwojów, l — długość zwojnicy, [math]\mu[/math] — przenikalność magnetyczna rdzenia.

[math] I = \frac{Bl}{n\mu\mu_0}[/math] a [math] L= n%2\mu\mu_0 \frac{S}{l}[/math]

Podstawiając do wzoru na gęstość energii, otrzymujemy:

[math]\sigma_B = \frac{\Gamma_B}{Sl} = \frac{\frac{1}{2}\frac{n^2S\mu\mu_0}{l}\frac{B^2l^2}{n^2\mu\mu_0}}{Sl} = \frac{1}{1}\frac{B^2}{\mu\mu_0}[/math]

Gęstość energii pola magnetycznego jest proporcjonalna do kwadratu wartości wektora indukcji magnetycznej.

Wektor Pointinga

W fali elektromagnetycznej w każdej chwili [math]E\perp B\perp c[/math]. Wektory natężenia pola elektrycznego i indukcji są prostopadłe do kierunku prędkości rozchodzenia się fali. Ponadto wartości tych wektorów pozostają w związku:

[math] c = \frac{E}{B}[/math] oraz [math]c^2=\frac{1}{\mu_0\varepsilon_0}[/math]

Wielkością, która określa szybkość przepływu energii przypadającej na jednostkową powierzchnię w fali elektromagnetycznej jest wektor Poytinga [math]\vec{S}[/math]

[math]\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\left(\vec{E}\times\vec{B}\right)[/math]

[math] S = \frac{EB}{\mu_0} = \frac{E^2}{\mu_0c}[/math] — chwilowa szybkość przepływu energii przez jednostkową powierzchnię.

[math] E = E_0 \sin(kx-\omega t)[/math]

[math] S = \frac{E_0^2\sin^2(kx-\omega t)}{\mu_0 c}[/math] — jest to wielkość zmieniająca się w czasie.

Natężenie fali oblicza się uśredniając po okresie zmienności funkcji [math]\sin^2[/math], co daje

[math] I = S_{sr} = \frac{E_0^2}{2c\mu_0}[/math]

Gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego w każdym punkcie fali elektromagnetycznej jest taka sama

[math]\sigma_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2c^2\mu_0}B^2 c^2 = \sigma_B [/math]