FizykaII OO/Klasyczna teoria dyspersji

Z Brain-wiki

Pokazy

  1. Dielektryk w jednorodnym polu elektrycznym: elektroskop, płyta dielektryczna, maszyna elektrostatyczna.
  2. Rozszczepienie światła białego w pryzmacie.
  3. Bieg światła monochromatycznego ( laserowego) w pryzmacie.

Dielektryk w polu elektrycznym kondensatora płaskiego

[math]E_0[/math] — pole bez dielektryka

[math]E[/math] — pole z dielektrykiem

[math]\varepsilon[/math] — stała dielektryczna (względna przenikalość elektryczna)

[math]\varepsilon E= E_0[/math]

[math] E_0= \frac{\sigma}{\varepsilon_0}[/math]

[math]\sigma[/math] — gęstość powierzchniowa ładunków swobodnych na okładkach kondensatora

[math]\sigma_d[/math] — gęstość powierzchniowa ładunku indukowanego w dielektryku

[math]\sigma_{eff}[/math] — gęstość powierzchniowa efektywna, która daje pole wypadkowe E

[math] E = \frac{\sigma_{eff}}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma-\sigma_d}{\varepsilon_0} = E_0-\frac{\sigma_d}{\varepsilon_0}[/math]

[math]E_0 = E+\frac{\sigma_d}{\varepsilon_0} = E_1+\frac{\sigma_s}{\varepsilon_0E}[/math]

Gęstość powierzchniowa ładunku indukowanego jest proporcjonalna do natężenia pola, zatem wielkość w nawiasie jest stała i równa stałej dielektrycznej [math]\varepsilon[/math]

[math]\frac{\sigma}{E\varepsilon_0}=\chi[/math] — podatność dielektryczna

[math]\varepsilon = 1+\chi[/math]

P — wektor polaryzacji związany z ładunkiem indukowanym, równy co do wartości [math]\sigma_d[/math].

[math]E=E_0-\frac{P}{\varepsilon_0}[/math]

Interpretacja drobinowa

Pole elektryczne powoduje przesunięcie chmury elektronowej i cząsteczka (atom) staje się dipolem elektrycznym. Elektryczny moment dipolowy

[math] p_e = qx[/math],

x — odległość rozsunięcia ładunków

[math] N p_e = P[/math] — wartość wektora polaryzacji

N — liczba atomów w jednostce objętości

Klasyczna teoria dyspersji

Współczynnik załamania zgodnie z teoria Maxwella wynosi

[math] n = \sqrt{\mu\varepsilon}[/math],

[math]\varepsilon[/math] — stała dielektryczna substancji

[math]\mu[/math] — przenikalność magnetyczna substancji

Przyjmijmy [math]\mu = 1[/math]

Wyniki doświadczenia pokazują, że współczynnik silnie zależy od częstości. Zależność inny ma charakter dla fal długich i krótkich (krzywa dyspersji).

[math] n = A+\frac{B}{\lambda^2}+\frac{C}{\lambda^4}[/math]

[math]\frac{dn}{d\lambda}=-\frac{2b}{\lambda^3}[/math]

Dyspersja zmienia się, jak odwrotność trzeciej potęgi długości fali Mała długość fali [math]\rightarrow[/math] duża zmiana dyspersji.

Dyspersja anomalna

występuje wtedy, gdy w materiale dla określonej częstości mamy absorpcję

ze podręcznika do Fizyki III prof. J.Gintera:

Wyniki doświadczalne dla fluorku sodu:

  1. w częstości [math]\omega_0=2\pi\nu_0=\unit{4,5\cdot 10^{13}}{Hz}[/math] ( podczerwień) fluorek sodu silnie pochłania promieniowanie.
  2. Poniżej tej częstości współczynnik załamania rośnie, osiągając wartość większą od 4.
  3. W częstości [math]\omega_0[/math] następuje skokowy spadek współczynnika załamania. Najmniejsza jego wartość jest równa 0,2. Ze wzrostem  wartość n rośnie.
  4. W obszarze widzialnym przebieg prawie płaski. W nadfiolecie zaczyna się znowu wzrost dla częstości [math]\unit{6\cdot 10^{16}}{Hz}[/math], gdzie znów jest absorpcja.

Wyniki doświadczeń dla par sodu.

W zakresie widzialnym linia absorpcyjna dla 589 nm — żółta linia sodu.

W ciele wykazującym dyspersję atomy modelujemy jako oscylatory

  • Drgania jąder w kryształach jonowych lub spolaryzowanych (NaCl)
  • Drgania chmur elektronowych (Na)

Model

Chmura elektronowa została wychylona przez pole E i jądro stara się przywrócić stan równowagi. Działa siła proporcjonalna do wychylenia: [math]F_1= -kx[/math] [math]F_2= qE[/math]

[math]F=-kx+qE[/math]

W stanie równowagi F=0.

[math]kx_0 = qE[/math]

[math]x_0=\frac{qE}{k}[/math]

[math]x_0 q =\frac{q^2E}{k} = p_e[/math]

N — liczba atomów w jednostce objętości, [math]Np_e= P[/math] — wektor polaryzacji

[math]P=Np_e=\frac{Nq^2}{k}E[/math]

[math]P=\varepsilon_0 \chi E = \frac{Nq^2E}{k}[/math]

[math] \chi = \frac{Nq^2}{k\varepsilon_0}[/math]

[math]\varepsilon = 1+\frac{Nq^2}{k\varepsilon_0}[/math]

Atom w zmiennym polu elektrycznym

[math] E(t) = E_m\cos\omega t[/math]

Równanie ruchu [math]F=am[/math] m masa chmury elektronowej

[math] am = -kx+qE_m\cos\omega t[/math]

[math]a = -\frac{kx}{m} +\frac{qE_m}{m}\cos\omega t [/math] — równanie różniczkowe drugiego rzędu

[math]a = -\frac{d^2x}{dt^2} [/math]

Podstawiamy [math] \omega_0^2 = \frac{k}{m}[/math]

[math]\frac{d^2x}{dt^2}+ \omega_0^2x = \frac{qE_m}{m}\cos\omega t [/math]

Podstawiam rozwiązanie równania w postaci [math] x =A\cos \omega t[/math]

[math] a\omega^2\cos\omega t +\omega_0^2 A \cos\omega t = \frac{q}{m}\cos\omega t [/math]

[math]A= \frac{qE_m}{m\left(\omega^2_0- \omega^2\right)}[/math]

Dyskusja

  • Dla [math] \omega\rightarrow 0 \ A_0=\frac{qE_m}{mw_0^2} = \frac{qE_m}{k}[/math] — nie ma fali, sytuacja statyczna.
  • Dla [math] \omega\rightarrow \omega_0\ A\rightarrow \infty[/math] — przez dodanie wartości — drgania wybuchają
  • [math] \omega\gt \omega_0[/math] — faza wychylenia przeciwna do pola

Przenikalność dielektryczna

[math]P(t) = \frac{q^2E_m N \cos\omega t}{m\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}[/math]

[math]\chi = \frac{q^2E_m }{m\varepsilon_0\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}[/math]

[math]\varepsilon(\omega)=1+\chi = 1+\frac{q^2E_m }{m\varepsilon_0\left(\omega_0^2-\omega^2\right)}[/math]

[math] n(\omega)=\sqrt{\varepsilon(\omega)}[/math]

Dyskusja stałej dielektrycznej

  • [math]\omega\rightarrow 0[/math] — wzór statyczny.
  • Dla [math]\omega\gt \omega_0[/math][math]\varepsilon(\omega)[/math] mniejsze od 1.
  • Dla [math]\omega\lt \omega_0[/math][math]\varepsilon(\omega)[/math] osiąga duże wartości.

Bieg światła monochromatycznego w pryzmacie

Przejście światła monochromatycznego przez pryzmat

Rozszczepienia światła białego w pryzmacie

Szkło wykazuje dyspersję. Współczynnik załamania zależy od częstości. W efekcie każda barwa załamuje się pod innym kątem. Rozszczepienie na barwną wstęgę ma miejsce tam, gdzie promień światła białego wchodzi do pryzmatu (na pierwszej ścianie).