FizykaII OO/Prawa Maxwella

I Prawo Maxwella

Doświadczenie, które pozwoliło nam odkryć i poznać zjawisko indukcji elektromag­netycznej, polegało na tym, że do zwojnicy wprowadzaliśmy magnes lub elektromagnes. Zwojnica połączona była z czułym miernikiem prądu, na przykład galwanometrem. którego wskazówka wychylała się, gdy w zwojnicy następowała zmiana strumienia wektora indukcji magnetycznej. Zmiana taka towarzyszyła wsuwaniu i wysuwaniu magnesu ze zwojnicy. Jeśli w zwojnicy płynął prąd, to znaczy, że ładunki znalazły się pod działaniem siły pola elektrycznego. W zwojnicy pojawiło się pole elektryczne, które spowodowało przepływ prądu. Zwojnica była tylko magazynem ze swobodnymi elektro­nami.

Można sobie zadać takie pytanie:

Czy w przestrzeni pojawi się pole elektryczne towarzyszące zmianom strumienia indukcji magnetycznej, jeśli w tym miejscu nie będzie przewodnika i nie będzie miernika prądu? Właściwie odpowiedź powinna być twierdząca, bo przewodnik i galwanometr są tylko przyrządami, które pozwalają wykryć prąd elektryczny, czyli już skutek istnienia pola. Przeanalizujmy bliżej to zagadnienie.

Problem sformułujemy tak:

w jednorodnym polu magnetycznym, którego indukcja zmienia się proporcjonalnie do czasu, znajduje się przewodnik w kształcie pierścienia o promieniu r. Niech

[math]B = kt[/math],

gdzie [math]k = \frac{dB}{dt}[/math] jest szybkością zmian pola magnetycznego.

Płaszczyzna przewodnika jest prostopadła do linii pola. Od czego zależy natężenie pola elektrycznego, które zostało wytworzone w tym pierścieniu?

Strumień pola magnetycznego przenikający przez obwód zmienia się również proporcjonalnie do czasu

[math]\Phi = \pi r^2 kt[/math].

Zgodnie z prawem Faradaya wytworzona w pierścieniu siła elektromotoryczna wynosi

[math] \mathrm{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -\pi r^2 k[/math].

Siła elektromotoryczna, zgodnie z definicją tej wielkości, jest równa liczbowo energii elektrycznej wytworzonej przez źródło, przypadającej na jednostkowy ładunek przepływający w ob­wodzie. Dzięki tej energii w przewodniku pod działaniem siły elektrycznej ,poruszają się ładunki. Pole elektryczne o natężeniu [math]\vec{E}[/math] działa siłą [math]F=Eq[/math] i przesuwając ładunki wykonuje pracę

[math] W = Eq 2\pi r[/math].

Zatem

[math] \mathrm{E} = \frac{Eq 2\pi r}{q} = 2\pi r W[/math].

Z drugiej strony siła elektromotoryczna równa jest szybkości zmian strumienia wektora indukcji pola magnetycznego, czyli

[math]-\pi r^2 \frac{dB}{dt} = E2\pi r [/math]

lub w tym konkretnym przypadku

[math]\mathrm{E} = -\frac{r}{2}k = -\frac{r}{2}\frac{db}{dt}[/math].

Wektor natężenia pola elektrycznego jest styczny do obwodu pierścienia i ma dla określonej wartości promienia r jednakową wartość. Wartość tego wektora nie zależy od żadnej wielkości charakteryzującej właściwości elektryczne przewodnika. Istnienie przewodnika lub jego brak są zupełnie nieistotne.

Choć założenia, które przyjęliśmy przy sformułowaniu problemu, były nieco uprosz­czone, żeby uniknąć skomplikowanych przekształceń matematycznych, to jednak wnio­ski. do jakich doszliśmy, dadzą się uogólnić. Można je sformułować tak:

Zmieniające się w czasie pole magnetyczne powoduje powstanie wirowego pola elektrycznego.

Wniosek ten jest treścią I prawa Maxwella.

II prawo Maxwella

Wokół przewodnika prostoliniowego z prądem powstaje wirowe pole magnetyczne. Wartość wektora indukcji tego pola jest określone przez prawo Ampere'a

[math]\oint \vec{B}d\vec{l} = \mu_0 \sum_{k=1}^n I_k[/math].

Jeśli przez przewodnik płynie prąd zmienny, to oczywiście pole magnetycz­ne wokół przewodnika też będzie zmienne. Kondensator nie stanowi przeszkody dla prądu przemiennego. Włączenie kondensatora płaskiego w dowolnym miejscu przewodnika prostoliniowego pozwoli na przeanalizowanie, co dzieje się między jego okładkami.

Natężenie pola elektrycznego [math]\vec{E}[/math] w kondensatorze płaskim, którego pojemność można wyrazić wzorem [math]C=\frac{\varepsilon_0 S}{d}\frac{q}{U}[/math] można zapisać jako:

[math] E = \frac{U}{d}=\frac{1}{d}\frac{qd}{\varepsilon_0 S}= \frac{q}{S\varepsilon_0}[/math],

zależy więc od ładunku q na powierzchni okładek, wielkości okładek S. Zatem strumień wektora natężenia pola elektrycznego [math]\Phi_E[/math] przenikający przez powierzchnię S jest równy

[math]\Phi_E=\frac{q}{\varepsilon_0}[/math]

a jego zmiana — [math]\Delta\Phi=\frac{\Delta q}{\varepsilon_0}[/math].

Widać, że zmiana strumienia wektora natężenia pola elektrycznego zależy od zmiany ładunku na okładkach. Obliczając dwustronnie pochodną względem czasu, otrzymujemy:

[math]\frac{d\Phi}{dt} = \frac{dq}{\varepsilon_0 dt}[/math].

Wielkość [math]\frac{dq}{dt}[/math] nazywamy prądem przesunięcia, bo jest jak gdyby prądem płynącym przez kondensator. „Jak gdyby", bo przez kondensator ładunki nie przepływają. Prąd przesunięcia jest równy szybkości zmian strumienia pola elektrycznego w kondensatorze, pomnożonej przez stałą [math]\varepsilon_0[/math]

[math] I_p=\varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} [/math].

Można powiedzieć tak — źródłami pola magnetycznego wirowego, które powstaje wokół przewodnika i kondensatora, są: prąd elektryczny i zmienny w czasie strumień pola elektrycznego. Innymi słowy, wokół kondensatora, w którym jest zmienne pole elektryczne powstaje wirowe pole magnetyczne. Ogólnie powiemy tak:

Zmienne w czasie pole elektryczne powoduje powstanie wirowego pola magnetycznego. Jest to treść II prawa Maxwella.

Prawa Maxwella w postaci całkowej:

[math]\oint \vec{E}d\vec{l} = \frac{d\Phi_B}{dt}[/math],

[math]\oint \vec{B}d\vec{l} \mu_0 \left( I + \varepsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}\right)[/math].

James Maxwell, analizując prawo Faradaya i prawo Ampere'a oraz rozszerzając je podobnie do tego, jak my to zrobiliśmy przed chwilą, przewidział możliwość istnienia i wytwarzania fal elektromagnetycznych — czyli rozchodzącego się w przestrzeni zaburzenia pola elektrycznego i magnetycznego. Ponadto jego równania połączyły dwa osobne dotąd działy: magnetyzm i elektryczność.