Fizyka I FM/Kinematyka3

Wstęp

Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. Do jego opisu dla wygody zastosowaliśmy biegunowy układ współrzędnych. Skorzystaliśmy przy tym z pewnego uproszczenia — w ruchu po okręgu, odległość obiektu od środka układu współrzędnych pozostaje stała. W przypadku ogólnym odległość ta jednak może się zmieniać i taką sytuację rozważymy w poniższym rozdziale.

Uwaga, zakładamy że wektor położenia ([math]\vec{r}[/math])), obydwie współrzędne wektora położenia w układzie biegunowym ([math]\vec{\rho}[/math] i [math]\vec{\phi}[/math]), prędkość oraz przyspieszenie zależą od czasu. Aby jednak uprościć od strony graficznej zapis, we wszystkich poniższych wzorach nie występują jawnie zależności od czasu. Wektor położenia w układzie biegunowym może wyrazić w następujący sposób:

[math] \vec{r} = \rho\vec{e}_\rho(\phi) [/math]

Prędkość jest pochodną wektora położenia po czasie. Zgodnie z zasadami różniczkowania wielkości wektorowych, liczymy pochodną długości wektora po czasie oraz pochodną wersora po czasie. Proszę zauważyć, iż w porównaniu z kartezjańskim układem współrzędnych, w którym wersory były zawsze równoległe do osi układu, w biegunowym układzie współrzędnych wersory [math]\vec{e}_\rho[/math] i [math]\vec{e}_\phi[/math] zmieniają swój kierunek.

[math] \vec{V} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\rho}{dt}\vec{e}_\rho+\rho\frac{d\vec{e}_\rho}{dt} [/math]

Pochodną wersora [math]\vec{e}_\rho[/math] po czasie obliczymy, korzystając z rozłożenia tego wersora na składowe w układzie kartezjańskim (wzór11 z poprzedniego rozdziału (ruch po okręgu)).

[math] \vec{e}_\rho= [\cos(\phi)\vec{e}_x + \sin(\phi)\vec{e}_y] [/math]

Po obliczeniu pochodnej wektora [math]\vec{e}_\rho[/math] dostajemy:

[math] \frac{d\vec{e}_\rho}{dt} = \frac{d}{dt}[\cos(\phi)\vec{e}_x + \sin(\phi)\vec{e}_y] = -\frac{d\phi}{dt}\sin(\phi)\vec{e}_x + \frac{d\phi}{dt}\cos(\phi)\vec{e}_y = \frac{d\phi}{dt}[-\sin(\phi)\vec{e}_x+\cos(\phi)\vec{e}_y]=\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\phi [/math]

Podstawiając wzór (%i 4) do wzoru %i 2 ostatecznie dostajemy:

[math] \vec{V}=\frac{d\rho}{dt}\vec{e}_\rho+\rho\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\phi=V_\rho\vec{e}_\rho+V_\phi\vec{e}_\phi [/math]

Jak można zauważyć, w układzie biegunowym wektor prędkości posiada dwie składowe:

• [math]V_\rho\vec{e}_\rho[/math] — prędkość radialna,
  
• [math]V_\phi\vec{e}_\phi[/math] — prędkość transwersalna (styczną do toru).

W analogiczny do sposób obliczymy przyspieszenie w układzie biegunowym. Z definicji przyspieszenie to pochodna prędkości po czasie.

[math] \vec{a}=\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = \frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{d}{dt}[V_\rho\vec{e}_\rho+V_\phi\vec{e}_\phi] = \frac{d^2\rho}{dt^2}\vec{e}_\rho+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\vec{e}_\rho}{dt}+\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\phi+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2}\vec{e}_\phi+\rho\frac{d\phi}{dt}\frac{d\vec{e}_\phi}{dt} [/math]

Pochodną wersora [math]\vec{e}_\phi[/math] po czasie, znajdziemy korzystając z rozłożenia tego wersora na składowe w kartezjańskim układzie współrzędnych.

[math] \frac{d\vec{e}_\phi}{dt} = \frac{d}{dt}[-\sin(\phi)\vec{e}_x + \cos(\phi)\vec{e}_y] = -\frac{d\phi}{dt}\cos(\phi)\vec{e}_x - \frac{d\phi}{dt}\sin(\phi)\vec{e}_y = -\frac{d\phi}{dt}[\cos(\phi)\vec{e}_x+\sin(\phi)\vec{e}_y]=-\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\rho [/math]

Po podstawieniu wyniku ze wzoru (%i 7) do wzoru %i 6 dostajemy:

[math] \vec{a} = \frac{d^2\rho}{dt^2}\vec{e}_\rho+2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}\vec{e}_\phi+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2}\vec{e}_\phi+\rho(\frac{d\phi}{dt})^2\vec{e}_\rho = (\frac{d^2\rho}{dt^2}-\rho(\frac{d\phi}{dt})^2)\vec{e}_\rho+(2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2})\vec{e}_\phi [/math]

Podobnie jak prędkość, przyspieszenie w układzie biegunowym możemy rozłożyć na składową radialną oraz transwersalną:

• [math](\frac{d^2\rho}{dt^2}-\rho(\frac{d\phi}{dt})^2)\vec{e}_\rho[/math] — przyspieszenie radialne,
• [math](2\frac{d\rho}{dt}\frac{d\phi}{dt}+\rho\frac{d^2\phi}{dt^2})\vec{e}_\rho[/math] — przyspieszenie transwersalne.

Zadanie 1.

Ilustracja do zadania 1.

Rozważyć ruch narciarza na torze przedstawionym na rysunku %i 1. Narysować wektory przyspieszenia w punktach toru B, D, E i F.

Zadanie 2.

"Teoria lotu ćmy". Ćma leci ze stałą prędkością, która tworzy stały kąt pomiędzy kierunkiem lotu a promieniem światła. Znaleźć tor lotu ćmy.