Fizyka I FM/Kinematyka i dynamika relatywistyczna

Przydatne wzory i pojęcia

Zdarzenie (punty świata.)

Zjawisko fizyczne, którego rozciągłość w przestrzeni i czas trwania możemy pominąć;charakteryzuje je więc punkt w przestrzeni [math]x, y, z[/math] i chwila czasu t, w której to zjawisko nastąpiło (Wstęp do Fizyki t. 1, A. K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski , PWN).

Linia świata punktu materialnego.

Krzywa poprowadzona przez punkty świata.

Transformacja Lorenzta

Transformacja zdarzenia z inercjalnego układu odniesienia U do inercjalnego układu odniesienia U', poruszającego się względem układu U ze stałą prędkością [math]\vec{V}[/math]. W najprostszym przypadku przyjmuje się, że osie układów odniesienia U i U' są do siebie wzajemnie równolegle, zaś układ U' porusza się równolegle do osi OX układu U. Wtedy transformacja Lorentza przyjmuje następującą postać:

[math] \left\{ \begin{array}{l} x' = \gamma (x - vt) \\ y' = y\\ z' = z\\ t' = \gamma \left(t - \frac{v \cdot x}{c^{2}}\right) \end{array} \right. [/math]

gdzie:
[math]x,\ y,\ z,\ t[/math] — współrzędne zdarzenia w układzie odniesienia U,
[math]x',\ y',\ z',\ t'[/math] — współrzędne zdarzenia w układzie odniesienia U',
[math]\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}[/math]
lub:
[math]\beta = \frac{V}{c}[/math], [math]\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}[/math]

Transformacja Lorenzta prędkości.

Podobnie jak w poprzednim rozdziale, w najprostszym przypadku przyjmuje się, że osie układów odniesienia U i U' są do siebie wzajemnie równolegle, zaś układ U' porusza się równolegle do osi OX układu U.

[math] \left\{ \begin{array}{l} V'_x = \frac{dx'}{dt'}=\frac{\gamma(dx-Vdt)}{\gamma(dt-\frac{V}{c^2}dx}) =\frac{\frac{dx}{dt}-V}{1-\frac{V}{c^2}\frac{dx}{dt}}=\frac{V_x-V}{1-\frac{V}{c^2}}\\ \\ V'_y = \frac{dy'}{dt'}=\frac{dy}{\gamma(dt-\frac{V}{c^2}dx)}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\gamma(1-\frac{V}{c^2}\frac{dx}{dt})} = \frac{V_y}{\gamma(1-\frac{V}{c^2}V_x)}\\ \\ V'_z = \frac{dz'}{dt'}=\frac{dz}{\gamma(dt-\frac{V}{c^2}dx)}=\frac{\frac{dz}{dt}}{\gamma(1-\frac{V}{c^2}\frac{dx}{dt})} = \frac{V_z}{\gamma(1-\frac{V}{c^2}V_x)} \end{array} \right. [/math]

gdzie:
[math]V_x,\ V_y,\ V_z[/math] — prędkość cząstki w układzie U,
[math]V'_x,\ V'_y,\ V'_z[/math] — prędkość cząstki w układzie U'

Transformacja Lorentza energii i pędu.

Po raz kolejny rozważymy najprostszy przypadek, przyjmując, że osie układów odniesienia U i U' są do siebie wzajemnie równolegle, zaś układ U' porusza się równolegle do osi OX układu U.

[math] \left\{ \begin{array}{l} p'_x = \gamma(p_x-V\frac{E}{c^2})\\ \\ p'_y=p_y\\ \\ p'_z=p_z\\ \\ E'=\gamma(E-Vp_x) \frac{V_z}{\gamma(1-\frac{V}{c^2}V_x)} \end{array} \right. [/math]

gdzie:
[math]p_x,\ p_y,\ p_z,\ E[/math] — składowe pędu oraz energia cząstki w układzie U,
[math]p'_x,\ p'_y,\ p'_z,\ E'[/math] — składowe pędu oraz energia cząstki w układzie U'

Niezmienniki transformacji.

Interwał

Niech będą dwa zdarzenia 1 i 2 nie zachodzą jednocześnie w układzie odniesienia U. Zdarzeniom tym, obserwator znajdujący się w spoczynku w środku układów współrzędnych przypisuje współrzędne:

• zdarzenie 1 — [math]x_1,\ y_1,\ z_1,\ t_1[/math],.
• zdarzenie 2 — [math]x_2=x_1+\Delta x,\ y_2=y_1 + \Delta y,\ z_2=z_1 + \Delta z,\ t_2=t_1+\Delta t[/math].

W układzie U', obserwator O' spoczywający w środku układu odniesienia przypisze z kolei tym dwóm zdarzeniom:

• zdarzenie 1 — [math]x'_1,\ y'_1,\ z'_2,\ t'_1[/math],.
• zdarzenie 2 — [math]x'_2=x'_1+\Delta x',\ y'_2=y'_1 + \Delta y',\ z'_2=z'_1 + \Delta z',\ t'_2=t'_1+\Delta t'[/math].

Jak możemy zauważyć, różnice współrzędnych między zdarzeń 1 i 2 w układach U i U' wynoszą odpowiednio: [math]\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z,\ \Delta t[/math] i [math]\Delta x',\ \Delta y',\ \Delta z',\ \Delta t'[/math]. Następująca wielkość, nazywana interwałem:

[math] s=c^2\Delta t^2 -\Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 [/math]

jest niezmienniczy względem transformacji Lorenzta, tzn. interwał obliczony w układzie U, pomiędzy zdarzeniami 1 i 2:

[math] s_{12}=c^2\Delta t^2 -\Delta x^2 - \Delta y^2 - \Delta z^2 [/math]

jest równy interwałowi obliczonemu w układzie U':

[math] s'_{12}=c^2\Delta t'^2 -\Delta x'^2 - \Delta y'^2 - \Delta z'^2 [/math]

Masa niezmiennicza (inwariantna).

Niech będzie układ cząstek, które względem układu obserwatora O w układzie współrzędnych U posiadają pęd [math]\vec{P}[/math] i energię E oraz względem obserwatora O' znajdującego się w układzie współrzędnych U' pęd [math]\vec{P'}[/math] i energię E'. Następująca wielkość, nazywana masą niezmienniczą (masa inwariantną) układu cząstek:

[math] M=\frac{1}{c^2}\sqrt{(\sum E_i)^2-(\sum\vec{p}_i)^2c^2} [/math]

jest niezmiennicza względem transformacji Lorentza, czyli masa inwariantna policzona dla układu cząstek w układzie U i U' jest taka sama.

Zadanie 1.

Niech będzie dany układ odniesienia [math]U[/math]. Statek kosmiczny porusza się w tym układzie z prędkością [math]V[/math] wzdłuż osi [math]x[/math]. Niech ze statkiem związany będzie układ odniesienia [math]U_0[/math]. Narysuj odpowiedni wykres Minkowskiego w przypadku nierelatywistycznym i na podstawie analizy tego wykresu przedyskutuj transformacje Galileusza.

Zadanie 2.

Dane są układy odniesienia jak w Zadaniu 1, a w każdym układzie znajduje się obserwator.

• Narysuj odpowiedni wykres Minkowskiego w przypadku relatywistycznym, który uwzględniałby stałość prędkości światła względem dowolnego inercjalnego układu odniesienia.
• Przedyskutuj transformacje Lorentza wychodząc z transformacji Galileusza, zakładając symetrie nowej transformacji względem współrzędnych ([math]ct,\ x[/math]) oraz ([math]ct_0,\ x_0[/math]) i wprowadzając i wyznaczając czynnik skalujący jednostki na osiach (jest to oczywiście znany czynnik [math]\gamma[/math]).

Zadanie 3.

Statek kosmiczny wrogich Kasjopejan porusza się radialnie ku Ziemi z prędkością [math]V = \unit{0.4}{c}[/math]. Kasjopejanie wystrzeliwują do przodu (czyli ku Ziemi) rakietę z prędkością [math]u = \unit{0.8}{c}[/math] względem układu odniesienia związanego z tym statkiem. Jaka jest prędkością tej rakiety w układzie odniesienia Ziemi (innymi słowy: z jaka prędkością rakieta ta uderzy w Ziemię)?

Zadanie 4.

Niech dany będzie peron i związany z nim układ odniesienia [math]U[/math] oraz pociąg jadący z prędkością [math]V = \unit{100}{\frac{m}{s}}[/math] i związany z nim układ odniesienia [math]U_0[/math]. Na peronie, po słupie trakcyjnym wspina się monter ze stałą prędkością [math]V_y = u = \unit{1}{\frac{m}{s}}[/math]. Jaką składową pionową prędkości montera zaobserwuje osoba siedząca w wagonie? Jaka będzie całkowita prędkość montera, widziana przez tego obserwatora?

Zadanie 5.

W układzie odniesienia [math]U[/math] dane są dwa zdarzenia [math]P_1[/math] i [math]P_2[/math] różniące się zarówno współrzędnymi czasowymi jak i przestrzennymi (dla ustalenia uwagi niech [math]P_1[/math] będzie wcześniejsze, a [math]P_2[/math] późniejsze). Zdarzenia te oddzielone są interwałem czasopodobnym. Daj odpowiedz przy pomocy rachunku oraz zilustruj na wykresie Minkowskiego:

• Czy istnieje układ odniesienia [math]U_0[/math] w którym te zdarzenia są jednoczesne?
• idem — zachodzą w tym samym miejscu przestrzeni?

Zadanie 6.

Układ [math]U’[/math] porusza się wzdłuż osi [math]x[/math] układu [math]U[/math] ze stałą prędkością [math]V[/math]. W układzie [math]U’[/math] wypromieniowana została pod kątem [math]\theta’[/math] do kierunku prędkości [math]V[/math] wiązka światła. Znaleźć kąt [math]\theta[/math], jaki tworzyć będzie ta wiązka z osią [math]x[/math] układu [math]U[/math]. Zbadać w szczególności przypadek [math]\theta' = \pi/2[/math]. Wyjaśnić na podstawie uzyskanego wyniku rozkład kątowy promieniowania synchrotronowego.

Zadanie 7.

Relatywistyczny pociąg o długości [math]l_0 =\unit{ 200}{m}[/math] porusza się po prostych torach z prędkością [math]V = \unit{0,6}{c}[/math]. W tej samej chwili [math]t’ = 0[/math] obserwatorzy znajdujący się na obu końcach pociągu wykonują za pomocą strzałów laserowych znaki na torach. Jaką odległość między znakami na torach zmierzy obserwator stojący przy torach? Jaką długość pociągu zmierzy ten obserwator? Jak należy wyjaśnić różnicę wyników tych pomiarów?

Zadanie 8.

Bombardując w akceleratorze folię aluminiową protonami można produkować bardzo szybkie mezony [math]\pi^+[/math]. Załóżmy, że mezony wylatujące z folii osiągają średnią prędkość [math]V =\sqrt{\unit{0.99\cdot}{ c}}[/math].

• Zbadać, jaka część produkowanych mezonów doleci do detektora umieszczonego w odległości [math]d = \unit{54}{ m}[/math] od folii, jeśli czas połowicznego rozpadu mezonu [math]\pi^+[/math] wynosi [math]T = \unit{1,8\cdot 10^{-8}}{s}[/math]. Wynik ten porównać z wynikiem nierelatywistycznym.
• Rozpatrzyć powyższy problem z punktu widzenia obserwatora związanego z układem mezonu, dla którego odległość do detektora ulegnie skróceniu Lorentza.

Zadanie 9.

Wiązka protonów pada na tarczę protonową (ciekły wodór). Jaka musi być minimalna energia wiązki, aby móc wyprodukować n = 5 mezonów [math]\pi[/math]/ Masa mezonów [math]\pi[/math] i protonu wynoszą odpowiednio [math]m_\pi = \unit{0,14}{GeV}[/math] i [math]m_\pi = \unit{0,94}{GeV}[/math].

Zadanie 10.

Pion [math]\pi^0[/math] o masie [math]m_\pi=\unit{140}{MeV}[/math] poruszający się z energia kinetyczną [math]E_k=\unit{35}{MeV}[/math] rozpada się na dwa fotony. Wyznacz maksymalną i minimalną energię fotonu, która może zostać zmierzona w układzie laboratoryjnym. Jaki kąt między fotonami zostanie zmierzony w układzie laboratoryjnym jeśli w układzie własnym pionu fotony zostaną wyemitowane prostopadle do kierunku ruchu.

Zadanie 11.

Dane są dwie cząstki o masach [math]m_1[/math] i [math]m_2[/math] oraz o czteropędach odpowiednio [math](E_1,\vec{p}_1)[/math] i [math](E_2,\vec{p}_2)[/math]. Cząstki te wskutek oddziaływania ”skleiły” się tworząc nowa cząstkę X. Jaki jest czteropęd tej nowej cząstki? Jaka jest jej masa niezmienicza?