Fizyka I OO/Wykład VI
Pojęcia fizyczne wprowadzone na wykładzie
- wielkości charakteryzujące ruch harmoniczny prosty i ich zależność od czasu
Pokazy
- Wahadło matematyczne, ciężarek na sprężynce obserwacja i analiza ruchu drgających ciał
- Zależność [math]x(t)=A\sin\alpha t[/math] — rysunek rozsypanej kaszy na kartonie ciągniętym pod wahadłem matematycznym
- Animacja komputerowa ruchu drgającego, stałość energii.
Ruch drgający harmoniczny
jest to ruch wywołany niezrównoważoną siłą, której wartość nie jest stała, ale zależy od wychylenia z położenia równowagi. Wahadło matematyczne, czyli kulka o niewielkich rozmiarach zawieszona na długiej nieważkiej i nierozciągliwej nitce porusza się takim ruchem. Aby rozpoczął się ruch należy, co oczywiste, wychylić kulkę z położenia, w którym równoważyła się siła ciężkości i siła naprężenia nitki, czyli z położenia równowagi. Niezrównoważoną siłą, która powoduje ruch wahadła matematycznego jest wypadkowa siły ciężkości i siły naprężenia nitki. Wartość tej siły wynosi [math]F=mg\sin\alpha[/math] i zmienia się w czasie ruchu, bo zmienia się kąt wychylenia nici. Dla małych kątów wartość sinusa można przybliżyć wartością kąta, więc siłę zapisujemy jako:
[math]\vec{F} = -mg \frac{\vec{x}}{l}[/math]
Znak "–" oznacza, że zwrot siły jest przeciwny do zwrotu wychylenia. Wartość tej siły jest wprost proporcjonalna do wychylenia x.
Drugi przykład
ruch ciężarka na sprężynce. W tym przypadku niezrównoważona siła jest siłą sprężystości odkształconej sprężyny. Jej wartość jest również proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi
[math] F = -\kappa x[/math]
[math]\kappa[/math] — współczynnik sprężystości sprężyny.
Oba ruchu charakteryzuje periodyczność. Wszystkie fazy ruchu okresowo powtarzają się. Czas jednego cyklu nazywa się okresem — T. Częstotliwość f — to liczba cykli w jednostce czasu:
[math] T=\frac{1}{f}[/math]
Definicja
Ogólnie mówimy, że
jeśli działa na ciało niezrównoważona siła proporcjonalna do wychylenia i jej zwrot jest przeciwny do zwrotu wektora przemieszczenia, to porusza się ono ruchem drgającym harmonicznym.
[math]F = -m\omega^2 x[/math]
m — masa ciała, [math]\omega[/math] — częstość kołowa — wielkość stała, która zależy od układu drgającego. Związana jest z częstotliwością f zależnością :
[math] \omega = 2\pi f[/math]
Zgodnie z II zasadą dynamiki [math] F=am[/math], gdzie m — masa ciała, a — przyspieszenie: [math] a = \frac{d^2 x}{dt^2}[/math] — jest drugą pochodną wychylenia x względem czasu, zatem równanie ma ogólną postać następującą:
[math]m\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 mx [/math]
Jest to równanie różniczkowe, którego rozwiązaniem jest funkcja [math]x=A \cos \omega t [/math]. Pochodna tej funkcji jest równa [math] - \omega \sin \omega t[/math], zatem prędkość, która jest pochodną wychylenia względem czasu wynosi:
[math] \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin\omega t[/math]
Iloczyn [math] A\omega[/math] jest stałą, którą oznaczamy jako [math]v_0[/math]. Ma ona wartość maksymalnej prędkości. Znak „minus” oznacza, że zwrot prędkości jest przeciwny do wychylenia. Przyspieszenie jest pochodną prędkości względem czasu i jednocześnie drugą pochodną, (czyli pochodną pochodnej) wychylenia względem czasu.
Pochodna funkcji [math]\sin \omega t[/math] jest równa:
[math]\frac{d(\sin\omega t)}{dt} = \omega \cos\omega t [/math]
Przyspieszenie
[math] s = \frac{dv}{dt} = -\omega v_0 \cos\omega t = -A\omega^2 \cos\omega t [/math]
Widać, że
[math] a = -\omega^2 x[/math]
a jeśli obie strony pomnoży się przez masę m, to uzyskamy:
[math] ma = -\omega^2 x[/math],
Powyższe równanie jest równaniem, które usiłowaliśmy rozwiązać, a uzyskany rezultat pozwala stwierdzić, że rozwiązanie [math]x= A\cos\omega t[/math] jest prawidłowe.
Podsumowując, zapiszmy trzy podstawowe zależności dla ruchu drgającego:
[math] x = A \cos\omega t[/math]
[math] v = -v_0 \sin \omega t[/math]
[math] a = -a_0 \cos\omega t[/math]
Energia kinetyczna w ruchu drgającym wyraża się wzorem:
[math] E_p = \frac{kA^2 \cos^2 \omega t}{2}[/math]
i zmienia się z czasem jak funkcja cosinus kwadrat. W czasie ruchu zamienia się ona na energię potencjalną. W omawianych przykładach jest to energia potencjalna grawitacji lub sprężystości. Gdy nie ma tarcia, suma energii potencjalnej i kinetycznej jest stała.
