Funkcje i granice
Funkcje i ich granice
Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja wykładnicza i logarytmiczna.
Funkcja wykładnicza — kilka dopowiedzeń
Wartość funkcji wykładniczej dla argumentów niewymiernych
Mówiąc o funkcji wykładniczej [math]a^x\;[/math], wykładowca prześlizgnął się nad problemem definicji tejże dla [math]x\;[/math] niewymiernych (było konsekwentnie powiedziane jedynie, jak się liczy wartość [math]a^x\;[/math] dla [math]x\in \mathbb Q\;[/math]). Teraz będzie o tym dopowiedzenie. "Szkolny" sposób wprowadzenia potęgi [math]a^x\;[/math] dla [math]x\;[/math] niewymiernych polegał zazwyczaj na zdefiniowaniu [math]a^x\;[/math] jako granicy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^{r_n}\;[/math], gdzie [math]r_n\;[/math] był jakimś ciągiem monotonicznym liczb wymiernych zbieżnym do [math]x\;[/math] (np. ciągiem przybliżeń dziesiętnych [math]x\;[/math]).
W wykładzie szkolnym zazwyczaj nie dowodziło się istnienia granicy tego ciągu, poprzestając na argumentach intuicyjnych. Uzbrojeni w twierdzenia o granicach ciągów, możemy łatwo pokazać istnienie granicy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^{r_n}\;[/math]:
- Otóż jeśli [math]r_n\;[/math] jest ciągiem monotonicznym, to taki jest też ciąg [math]a^{r_n}\;[/math]; jest to ponadto ciąg ograniczony, więc zbieżny.
Funkcja wykładnicza o podstawie [math]e\;[/math]
Okazuje się dogodne (z przyczyn, które staną się jasne niedługo) wziąć w definicji funkcji wykładniczej [math]a=e\;[/math]. Funkcja odwrotna do [math]e^x\;[/math], tzn. [math]\log_e x\;[/math], nazywa się logarytmem naturalnym[1].
Granica funkcji w punkcie
Definicja Heinego
Liczbę [math]g\;[/math] nazywamy granicą funkcji [math]f\;[/math] w punkcie [math]a\;[/math] (co oznaczamy: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} f(x) = g\;[/math]) jeżeli dla każdego ciągu {[math]x_n[/math]} zbieżnego do [math]a\;[/math] i o wyrazach różnych od [math]a\;[/math] zachodzi równość:
Przykład
[math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}} (x^2) =0\;[/math]. Weźmy bowiem dowolny ciąg {[math]x_n[/math]} zbieżny do zera; mamy:
Przykład
Rozważmy funkcję [math]\mathrm{sgn}(x)\;[/math], definiowaną jako:
[math] \mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & \text{dla } x \lt 0, \\ 0 & \text{dla } x = 0, \\ 1 & \text{dla } x \gt 0. \end{cases}[/math]
Funkcja [math]\mathrm{sgn}(x)\;[/math] nie posiada granicy w punkcie [math]x=0\;[/math]. Weźmy bowiem: [math]x_n=\frac{1}{n}\;[/math]; mamy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=0\;[/math] oraz [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \mathrm{sgn} (x_n)=1\;[/math]. Weźmy teraz drugi ciąg [math]x'_n=-\frac{1}{n}\;[/math]; mamy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x'_n=0\;[/math] oraz [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \mathrm{sgn} (x'_n)=-1\;[/math], tak więc [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0} \mathrm{sgn}(x)\;[/math] nie istnieje.
Można jednak mówić tu o granicy jednostronnej w punkcie [math]0\;[/math].
Granica jednostronna
Liczbę [math]g\;[/math] nazywamy granicą lewostronną (prawostronną) funkcji [math]f\;[/math] w punkcie [math]a\;[/math], jeśli warunki: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;[/math] i [math]x_n\lt a\;[/math] (odpowiednio [math]x_n\gt a\;[/math]) implikują [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n)=g\;[/math]. Sytuacje te oznaczamy symbolami:
[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a^+}} f(x)=g \;\;[/math] — granica lewostronna i [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a^-}} f(x)=g \;\;[/math] — granica prawostronna.
W ten sposób, mamy
Przykład (c.d.)
Symbolu [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a}} f(x)\;[/math] używamy również na oznaczenie granicy niewłaściwej:
Przykład
Mamy: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}}\,\frac{1}{x^2}=\infty \;[/math]; natomiast
Przykład
[math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}}\,\frac{1}{x}\;[/math] nie istnieje; natomiast:
Przykład
Podobnie: [math] \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \mathrm{tg}(x) [/math] nie istnieje; natomiast: [math]\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-}{\mathrm{tg}(x)} = -\infty[/math]
[math]\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^+}{\mathrm{tg}(x)} = +\infty[/math]
Funkcje bez jednostronnych granic
Istnieją jednak funkcje, które nie posiadają nawet jednostronnych granic (właściwych, ani niewłaściwych). Należy do nich np. funkcja:
W punkcie [math]x=0\;[/math] nie posiada ona jednostronnej granicy (ani lewo-, ani prawostronnej). Aby pokazać nieistnienie granicy prawostronnej, weźmy dwa ciągi [math]\left\{x_n\right\}[/math],[math]\left\{x_n'\right\}[/math] o wyrazach dodatnich: [math]x_n =\frac{2}{(4n+1)\pi}\;[/math], [math]x'_n =\frac{2}{(4n+3)\pi}\;[/math]. Oba ciągi są zbieżne do zera.
Mamy
i podobnie
Widzimy, że nie istnieje granica prawostronna w zerze (podobnie przekonujemy się, że nie istnieje też granica lewostronna).
Prócz granicy funkcji dla skończonego [math]a\;[/math], rozważamy też granicę w nieskończoności.
Granica w nieskończoności
Mówimy, że granicą funkcji [math]f(x)\;[/math] w nieskończoności jest liczba [math]g\;[/math] (ozn. [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \infty} f(x)=g\;[/math]), jeżeli dla każdego ciągu {[math]x_n[/math]} takiego, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x_n}=g\;[/math] zachodzi: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n)=g\;[/math].
Przykład
Mamy: [math] \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0,\;\;\;\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \infty} e^x=\infty,\;\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to -\infty} e^x=0. \;[/math]
Przykład
Funkcje trygonometryczne: [math]\sin x, \cos x, \mathrm{tg}\, x\;[/math] nie posiadają granic w [math]\pm\infty\;[/math].
Działania na granicach
Twierdzenie
Przy założeniu, że granice [math]\lim_{x \to a}{f(x)}[/math] i [math]\lim_{x \to a}{g(x)}[/math] istnieją i są skończone, zachodzą wzory:
[math]\begin{matrix} \lim\limits_{x \to a} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &+& \lim\limits_{x \to a} g(x) \\ \lim\limits_{x \to a} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &-& \lim\limits_{x \to a} g(x) \\ \lim\limits_{x \to a} & (f(x)\cdot g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &\cdot& \lim\limits_{x \to a} g(x) \\ \lim\limits_{x \to a} & (f(x)/g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &/& \lim\limits_{x \to a} g(x) \end{matrix} [/math]
Wzory te pozostają też prawdziwe, jeśli [math]a\;[/math] jest [math]\pm\infty\;[/math], jak też są prawdziwe dla granic jednostronnych.
Dowód
Dowody są takie same jak dla granic ciągów z poprzedniego rozdziału.
Analogony twierdzeń z rozdziału o granicach ciągów
Mamy też analogony innych twierdzeń dla granic ciągów:
Twierdzenie
Jeśli granice [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x)\;[/math] i [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x)\;[/math] istnieją, to
nierówności [math]f(x)\leq h(x)\leq g(x)\;[/math] wraz z równością [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x) =\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x)\;[/math]
implikują [math]\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x) = \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, h(x) = \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x). \;[/math]
Jak poprzednio, wzory te są też prawdziwe dla [math]a=\pm \infty\;[/math] oraz dla granic jednostronnych.
Dowód
Dowody są analogiczne jak w przypadu granic ciągów.
CBDO
Kilka warunków dostatecznych istnienia granicy
Najsampierw przenieśmy definicję ciągu ograniczonego na funkcje:
Ograniczenie funkcji
Mówimy, że funkcja [math]f(x)\;[/math] jest ograniczona z góry (dołu), jeżeli istnieje taka stała [math]M\;[/math], że dla każdego [math]x\;[/math] z dziedziny zachodzi: [math]f(x)\lt M\;[/math] (odpowiednio [math]f(x)\gt M\;[/math]). Wśród różnych analogonów na istnienie granic ciągów i funkcji, mamy następujący odpowiednik twierdzenia o zbieżności ciągów monotonicznych ograniczonych:
Twierdzenie
Jeśli funkcja jest niemalejąca i ograniczona z góry, to istnieje granica [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to { a}} f(x)\;[/math] dla dowolnego [math]a\;[/math].
Uwaga
Niezbędne jest tu założenie o monotoniczności funkcji. Dla funkcji niemonotonicznych twierdzenie to nie zachodzi — przypomnijmy sobie przykład funkcji [math]f(x)=\sin\frac{1}{x}\;[/math].
Dowód
Ciąg [math]\left\{ a-\frac{1}{n} \right\}[/math] jest rosnący, a stąd ciąg [math]\left\{f\left (a-\frac{1}{n} \right)\right\}[/math] jest niemalejący; a ponieważ jest też ograniczony, to jest zbieżny. Niech
Pozostaje pokazać, że przy narzuceniu warunków: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;[/math] oraz [math]x_n\lt a\;[/math] zachodzi
Weźmy jakieś [math]\epsilon\gt 0\;[/math]. Istnieje wówczas [math]N\;[/math] takie, że [math]g-f\left( a-\frac{1}{N} \right)\lt \epsilon\;[/math]. Mając to [math]N\;[/math] bierzemy takie [math]k\;[/math], żeby dla [math]n\gt k\;[/math] zachodziła nierówność [math]a-\frac{1}{N}\lt x_n\;[/math]. Stąd
skąd
Jednocześnie: Ponieważ [math]x_n\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow}a\;[/math], to dla każdego [math]n\;[/math] istnieje [math]r_n\;[/math] takie, że [math]x_n\lt a-\frac{1}{r_n}\;[/math]. Mamy stąd
Z obu nierówności: (1) i (2) mamy:
CBDO
Twierdzenie dla funkcji nierosnących lub niemalejących i oraniczonych
W analogiczny sposób dowodzi się twierdzeń dla funkcji nierosnących oraz dla granic prawostronnych. Można to podsumować jako
Tw.Jeśli funkcja jest nierosnąca lub niemalejąca i ograniczona, to granice [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a^\pm } f(x)\;[/math] istnieją w każdym punkcie [math]a\;[/math]. Dla [math]a=\pm\infty\;[/math], istnieje granica [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \pm\infty} \,f(x)\;[/math].
CBDO
Zachodzi też twierdzenie w pewnym sensie odwrotne:
Twierdzenie XX
Jeśli funkcja [math]f\;[/math] nie posiada granicy skończonej w punkcie [math]a\;[/math], to istnieje ciąg {[math]x_n[/math]} taki, że [math]x_n\ne a\;[/math], [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x}=a\;[/math] oraz ciąg [math]\{f(x_n)\}\;[/math] jest rozbieżny.
Bez dowodu.
Definicja Cauchy'ego
Prócz definicji Heinego, jest jeszcze jedna, inna ale równoważna, i równie ważna, definicja Cauchy'ego.
Def. Mówimy, że funkcja [math]f\;[/math] posiada w punkcie [math]a\;[/math] granicę [math]g\;[/math], jeżeli
A oto obiecana równoważność:
Twierdzenie XXX
Obie definicje granicy funkcji w punkcie: Cauchy'ego i Heinego są równoważne.[2]
Dowód
Przypuśćmy najsampierw, że warunek Cauchy'ego nie jest spełniony, tzn.
W szczególności, biorąc [math]\delta=\frac{1}{n}\;[/math], wnioskujemy, że istnieje ciąg {[math]x_n[/math]} taki, że
oraz
Warunek (3) mówi, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;[/math] oraz [math]x_n\ne a\;[/math]. Gdyby więc przypuścić, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a}}\,f(x)=g\;[/math], to musiałaby być spełniona równość [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \, f(x_n)=g\;[/math]; ale ta równość jest sprzeczna z (4).
Pokazaliśmy w ten sposób, że warunek Cauchy'ego jest konieczny, aby funkcja posiadała granicę w myśl definicji Heinego.
Teraz pokażemy, że jest on również warunkiem wystarczającym.
Niech będzie dane [math]\epsilon \gt 0\;[/math] i niech [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x}=a\;[/math] oraz [math]x_n\ne a\;[/math]. Ponieważ z założenia warunek Cauchy'ego jest spełniony, to istnieje [math]\delta\gt 0\;[/math] takie, że nierówność: [math]0\lt |x_n-a|\lt \delta\;[/math] implikuje [math]|f(x_n)-g|\lt \epsilon\;[/math]. Ponieważ spełniona jest równość [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x}=a\;[/math], to nierówność [math]|x_n-a|\lt \delta[/math] zachodzi dla wszystkich dostatecznie dużych [math]n[/math] (tzn. począwszy od pewnego [math]M\in \mathbb N[/math]). Dla tych [math]n\;[/math] mamy więc nierówność [math]|f(x_n)-g|\lt \epsilon[/math], a to znaczy, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \,f(x_n)=g[/math] — czyli [math] \lim_{n \to \infty}f(x_n) = g [/math].
Twierdzenie XXXX
W teorii ciągów mieliśmy warunek Cauchy'ego dla ciągów, którego spełnienie gwarantowało zbieżność ciągu. Przy granicy funkcji mamy analogiczne twierdzenie.
Tw.XXXX Warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie (skończonej) granicy funkcji [math]f\;[/math] w punkcie [math]a\;[/math] jest, aby dla dowolnego [math]\epsilon\gt 0\;[/math] istniało takie [math]\delta\gt 0\;[/math], że dla [math]x,x'\;[/math] spełniających:
zachodzi: [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\;[/math].
Dowód
Pokażemy najsampierw konieczność tego warunku. Jeśli [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {1}}\,f(x)=g\;[/math], to dla dowolnego zadanego [math]\epsilon\gt 0\;[/math] istnieje takie [math]\delta\gt 0\;[/math], że warunek: [math]0\lt |x-a|\lt \delta\;[/math] implikuje [math]|f(x)-g|\lt \frac{1}{2}\epsilon\;[/math]. Jeśli więc warunki (5) są spełnione, to zachodzą nierówności:
i po dodaniu tychże pod znakiem wartości bezwzględnej otrzymujemy [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\;[/math].
Jeśli chodzi o dostateczność warunku, to przypuśćmy, że granica funkcji [math]f\;[/math] w punkcie [math]a\;[/math] nie istnieje, mimo iż są spełnione założenia tw. XXXX. Istnieje wówczas na mocy tw. XX taki ciąg {[math]x_n[/math]}, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \, x_n= a\;[/math], [math]x_n\ne a\;[/math] oraz że ciąg [math]\{f(x_n)\} \;[/math] jest rozbieżny. Z równości [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;[/math] wynika, że istnieje takie [math]k\;[/math], że dla [math]n\geq k\;[/math] można w nierównościach (5) podstawić [math]x=x_n\;[/math] i [math]x'=x_k\;[/math]. To implikuje, że [math]|f(x_n)-f(k_k)|\lt \epsilon\;[/math]. Z twierdzenia Cauchy'ego dla ciągów wnioskujemy stąd, że ciąg [math]\{f(x_n)\}\;[/math] jest zbieżny — wbrew naszemu przypuszczeniu.
CBDO
Twierdzenie XXX'
Powyższe twierdzenia XXX i XXXX dają się rozszerzyć na przypadek [math]a=\infty\;[/math]. Brzmią one wtedy następująco:
Tw.XXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby zachodziła równość [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to { \infty}}\,f(x)=g\;[/math] jest, aby
Twierdzenie XXXX'
Tw.XXXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby istniała granica (skończona) [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {\infty}}\, f(x)\;[/math], jest, aby