Liczby rzeczywiste

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być:

1. Pojęcie prędkości chwilowej w mechanice. Jeżeli mamy do czynienia z ruchem jednostajnym, to określenie prędkości nie sprawia kłopotu: Prędkość jest to iloraz przebytej drogi i czasu:[math] v=\frac{\Delta s}{\Delta t}\;[/math] Jeśli jednak w przeciągu czasu [math]\Delta t\;[/math] prędkość się zmienia, to powyższa definicja daje prędkość średnią na odcinku czasu [math]\Delta t\;[/math]. Dopóki mamy do czynienia ze skończonymi odcinkami czasu [math]\Delta t\;[/math], dopóty — używając powyższej definicji — możemy mówić jedynie o prędkościach średnich. Z drugiej strony, intuicyjnie czujemy, że istnieje coś takiego jak prędkość chwilowa — prędkość w danej konkretnej chwili czasu (np. gdy jadąc samochodem rzucamy okiem na prędkościomierz), a nie jedynie prędkość średnia na jakimś odcinku czasu. Pojawia się więc potrzeba należytej definicji prędkości chwilowej.
2. Długość krzywej. Nie nastręcza problemów zmierzenie długości odcinka linii prostej. Ale jak zmierzyć długość krzywej, nie będącej prostą? Receptą na rozwiązanie przybliżone jest zastąpienie krzywej przez łamaną złożoną z odcinków i zsumowanie ich długości. Postępując w ten sposób, mierzymy długość krzywej z pewnym błędem, który można uczynić dowolnie małym, ale który jest skończony, jeśli długości odcinków łamanej są niezerowe. Znów czujemy, że takie pojęcie, jak długość krzywej, jest dobrze określone (np. długość węża ogrodowego albo nitki ma określoną wartość). Chcielibyśmy nadać dokładniejsze znaczenie powiedzeniu: "dążymy z długością odcinka łamanej do zera, a jednocześnie z ilością tych odcinków do nieskończoności, i to co otrzymamy W GRANICY, to długość krzywej." Ale jak to porządnie zdefiniować?

Zanim zaczniemy powyższe problemy analizować, zastanówmy się, jakich liczb będziemy używać. Liczby: naturalne [math]\mathbb N\;[/math] i całkowite [math]\mathbb Z\;[/math] są w oczywisty sposób zbyt ubogie, aby przy ich użyciu analizować pojęcie granicy (np. nie jest w wielu przypadkach wykonalne dzielenie). Następnym nasuwającym się kandydatem są liczby wymierne [math]\mathbb Q\;[/math]. Takie wielkości, jak długość, położenie itd. można z dowolną dokładnością określić używając liczb wymiernych. Okazuje się jednakże, że w zbiorze liczb wymiernych są luki. Pozostając przy mierzeniu odległości: istnieją dobrze określone obiekty, np. długość przekątnej kwadratu o boku 1, które nie są liczbami wymiernymi. Powoduje to, że granica ciągu liczb wymiernych może nie być liczbą wymierną i do uprawiania analizy trzeba mieć większy zbiór liczbowy — zbiór liczb rzeczywistych [math]\mathbb R\;[/math].

Zacznijmy od pokazania, że długość przekątnej kwadratu o boku długości 1, tzn. [math]\sqrt{2}\;[/math], nie jest liczbą wymierną. Przyjmijmy, że jest przeciwnie; wtedy możemy zapisać ją w postaci ułamka nieskracalnego:

[math] \sqrt{2}=\frac{p}{q},\;\;\mbox{czyli} \;\;\; p^2 = 2q^2 \;[/math]

gdzie [math]p,q\;[/math] są względnie pierwsze. Mamy w takiej sytuacji trzy możliwości:

1. obie liczby [math]p,\ q\;[/math] są nieparzyste,
2. [math]p\;[/math] jest parzysta, [math]q\;[/math] jest nieparzysta,
3. [math]p\;[/math] jest nieparzysta, [math]q\;[/math] jest parzysta.

Patrząc na sytuację pierwszą mamy: [math]p^2=2 cos[/math], czyli [math]p^2\;[/math] jest parzysta, a więc [math]p\;[/math] też jest parzysta — wbrew założeniu. W sytuacji drugiej skoro [math]p\;[/math] jest parzysta, to zapiszmy: [math]p=2p'\;[/math] i równość [math]p^2=2 q^2\;[/math] jest równoważna [math]4p'^2=2 q^2\;[/math], czyli [math]2p'^2= q^2\;[/math], co znaczy, że [math]q\;[/math] jest parzysta — wbrew założeniu. Wreszcie w trzeciej mamy: [math]p^2=2 q^2\;[/math] znaczy, że [math]p\;[/math] jest parzysta — znów w sprzeczności z założeniem.

Stwierdziliśmy więc, że nie istnieje ułamek [math]\frac{p}{q}\;[/math] taki, że [math]\frac{p^2}{q^2}=2\;[/math], co znaczy, że [math]\sqrt{2}\;[/math] nie jest liczbą wymierną — tzn. jest liczbą niewymierną.

Uzupełniając liczby wymierne o liczby niewymierne, otrzymamy zbiór liczb rzeczywistych [math]\mathbb R\;[/math]. Działania na nich są takie same, jak na liczbach wymiernych, a różnica pomiędzy zbiorami [math]\mathbb Q\;[/math] a [math]\mathbb R\;[/math] leży w tym, że dla [math]\mathbb R\;[/math] spełniona jest zasada ciągłości Dedekinda.

Zasada ciągłości (Dedekinda)

Zasada ciągłości zbioru [math]\mathbb R\;[/math] zwana też zasadą Dedekinda mówi, że: Jeśli podzielimy [math]\mathbb R\;[/math] na dwa podzbiory [math]A\;[/math] oraz [math]B\;[/math]: [math]A\cup B=\mathbb R\;[/math] w taki sposób, że

[math] \forall_{ a\in A} \forall_{b\in B}: a\lt b,\;\;\; \;[/math]

(stąd od razu wynika, że [math]A\cap B =\emptyset\;[/math]), to albo w zbiorze [math]A\;[/math] istnieje największa liczba, albo w zbiorze [math]B\;[/math] istnieje najmniejsza liczba. (Zakładamy tu, że żaden ze zbiorów [math]A\;[/math], [math]B\;[/math] nie jest pusty).

Sytuację tę można zilustrować geometrycznie: Jeśli podzielimy prostą na dwie części [math]A\;[/math] i [math]B\;[/math] tak, by każdy punkt części [math]A\;[/math] leżał na lewo od każdego punktu części [math]B\;[/math], to albo istnieje ostatni punkt w części [math]A\;[/math], albo pierwszy w części [math]B\;[/math]. Nie może wystąpić "luka" w "przekroju", który właśnie zdefiniowaliśmy.

Na tym polega różnica między zbiorami [math]\mathbb Q\;[/math] a [math]\mathbb R\;[/math]: w zbiorze [math]\mathbb R\;[/math] nie mogą istnieć luki, a w [math]\mathbb Q\;[/math] mogą. Przykład takiej luki: Podzielmy zbiór [math]\mathbb Q\;[/math] na dwie części [math]A\;[/math] i [math]B\;[/math]: Do [math]A\;[/math] zaliczymy liczby mniejsze od [math]\sqrt{2}\;[/math], a do [math]B\;[/math] liczby większe od [math]\sqrt{2}\;[/math]. Spełniony jest tu warunek (9) ale w części [math]A\;[/math] nie istnieje liczba największa, a w części [math]B\;[/math] nie istnieje liczba najmniejsza. Wynika to z możliwości przybliżania [math]\sqrt{2}\;[/math] z góry i z dołu z dowolną dokładnością przez liczby wymierne; przykład ciągu takich przybliżeń z góry i z dołu: [math]l_n\;[/math] — rozwinięcie dziesiętne do [math]n\;[/math]—tego miejsca; [math]u_n=l_n+10^{-n}\;[/math].

Wartość bezwzględna

Przypomnimy tu własności wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej [math]a\in\mathbb R\;[/math], które będą wykorzystywane w różnych miejscach.

Def. Wartością bezwzględną (moduł) liczby [math]a\in\mathbb R\;[/math] nazywamy liczbę nieujemną [math]|a|\in \mathbb R\cup\{0\}\;[/math] określaną przez warunki:

• Jeśli [math]a\geq 0\;[/math], to [math]|a|=a\;[/math];
• Jeśli [math]a\lt 0\;[/math], to [math]|a|=-a\;[/math].

Od razu z definicji wynika, że

[math] \forall_{a\in\mathbb R}: |a|\geq 0, \;\;\; { oraz} \;\;\;||a|| = |a|. \;[/math]

Własności wartości bezwględnej

Mają miejsce następujące wzory:

Własność 1

[math] |a| = |-a|;\;\;\;\;\;\; \;[/math]

Dowód

Dla [math]a\geq 0\;[/math] mamy [math]|-a|=-(-a)=a=|a|\;[/math]. Dla [math]a\lt 0\;[/math] mamy: [math]|a|=-a\;[/math], [math]|-a|=-a\;[/math].

Własność 2

[math] -|a| \leq a\leq |a| [/math]

Dowód

Dla [math]a\geq 0\;[/math]: Po lewej stronie pierwszej nierówności mamy liczbę [math]\leq 0\;[/math], po prawej zaś liczbę [math]\geq 0\;[/math]. W drugiej nierównosći mamy równość. Dla [math]a\lt 0\;[/math]: Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej zachodzi [math]|a|=-a\;[/math], więc w pierwszej nierówności mamy równość. W drugiej nierówności: Po lewej stronie mamy liczbę mniejszą od zera, po prawej liczbę większą od zera.

Własność 3

[math] |a+b|\leq |a| + |b|;\;\;\;\;\;\; \;[/math]

Dowód

Jeśli któraś z liczb [math]a,b\;[/math] jest równa zeru, to mamy równość. Jeśli obie liczby są większe od zera, to mamy równość. Jeśli obie liczby są mniejsze od zera, to mamy równość. Jeśli [math]a\gt 0, b\lt 0\;[/math] i [math]a+b\gt 0\;[/math], to [math]|a+b|=a+b\lt a\lt a+|b|=|a|+|b|\;[/math]. Jeśli [math]a\gt 0,b\lt 0\;[/math] i [math]a+b\lt 0\;[/math], to [math]|a+b|=-a-b\lt -b=|b|\lt |a|+|b|\;[/math].

Własność 4

[math] |a|-|b|\leq |a-b| \leq |a|+|b| [/math]

Dowód

Drugą z powyższych nierówności otrzymuje się przez wzięcie [math]-b\;[/math] zamiast [math]b\;[/math] w (5). Pierwsza zaś jest równoważna [math]|a|\leq |a-b| + |b|\;[/math] i znów otrzymuje się ją z (5), jeśli zamienić [math]a\to a-b, a+b\to a\;[/math].

Własność 5

[math] |ab|=|a||b| [/math]

Dowód

Dla [math]a,b\geq 0\;[/math], mamy [math]a=|a|, b=|b|\;[/math] i [math]|ab|=ab=|a||b|\;[/math]. Dla [math]a\gt 0,b\lt 0\;[/math] jest: [math]a=|a|, b=-|b|\;[/math] i [math]ab = |a| (-|b|) = -|a||b|\lt 0\;[/math], skąd [math]|ab| =(-)(-)|a||b| = |a||b|\;[/math]. Dla [math]a\lt 0, b\lt 0\;[/math]: [math]a=-|a|, b=-|b|\;[/math] i [math]ab= |ab| = (-|a|)(-|b|) = |a||b|\;[/math].

Własność 6

Z nierówności [math]|a|\leq c[/math] i [math]|b|\leq d[/math] wynika, że [math]|a+b|\leq c+d[/math]

Ten wzór można nazwać wzorem na "dodawanie pod znakiem wartości bezwzględnej".

Dowód

Wynika on z (4), ponieważ: [math]|a+b|\leq |a|+|b|\leq c+d\;[/math].

Równoważność trzech nierówności

[math] |a|\lt b\;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; -b\lt a\lt b \;\;\;\Longleftrightarrow\;\;\; a\lt b\;{ i}\;-a\lt b. \;[/math]

Zbiory ograniczone. Kres górny i dolny zbioru

Niech [math]Z\subset \mathbb R\;[/math]. Przypomnijmy definicję zbioru ograniczonego z góry:

Def. Mówimy, że [math]Z\subset \mathbb R\;[/math] jest ograniczony z góry, jeśli

[math] \exists M\in\mathbb R:\;\;\;\forall z\in Z: \;\;\;M\geq z. [/math]

Każde [math]M\;[/math], spełniające (8), nazywamy ograniczeniem górnym. Jeśli [math]M\;[/math] — ograniczenie górne, to [math]M+m\;[/math], gdzie [math]m\gt 0\;[/math], również jest ograniczeniem górnym. Mamy więc cały zbiór ograniczeń górnych; oznaczmy go [math] M \;\;[/math].

Twierdzenie o kresie górnym

Niech [math]\mathbb Z\subset \mathbb R\;[/math] — zbiór ograniczony z góry. Wtedy w zbiorze [math] M \;\;[/math] ograniczeń górnych zbioru [math]Z\;[/math] istnieje liczba najmniejsza. Nazywamy ją kresem górnym zbioru [math]Z\;[/math].

Dowód

W dowodzie posłużymy się zasadą ciągłości Dedekinda (9).

Podzielmy wszystkie liczby rzeczywiste na dwie klasy (podzbiory [math]\mathbb R\;[/math]):

• Do drugiej klasy [math]II\;[/math] zaliczamy liczby [math]M\;[/math], spełniające: [math]\forall z\in Z:\; M\geq z\;[/math]. Tak więc [math]II\;[/math] to zbiór ograniczeń górnych zbioru [math]Z\;[/math]. Ponieważ zbiór [math]Z\;[/math] jest ograniczony z dołu, to [math]II\;[/math] jest niepusty i różny od [math]\mathbb R\;[/math].
• Do pierwszej klasy zaliczmy wszystkie pozostałe liczby, tzn. [math]I=\mathbb R\setminus II\;[/math]. (Zbiór [math]I\;[/math] również jest niepusty.) Zapiszmy równoważną definicję [math]I\;[/math]: Do [math]I\;[/math] należą elementy [math]M'\;[/math] takie, że [math]\sim (\forall z\in Z:\; M'\geq z)\;[/math], tzn. [math]\exists z\in Z: \; M'\lt z\;[/math].

Z zasady ciągłości wynika, że:

albo w klasie [math]I\;[/math] istnieje element największy,

albo w klasie [math]II\;[/math] istnieje element najmniejszy.

Pokażemy, że możliwość pierwsza nie zachodzi. Przyjmijmy, że jest przeciwnie, tzn. że w klasie [math]I\;[/math] istnieje element największy; nazwijmy go [math]a\;[/math]. Ale wtedy, z definicji klasy [math]I\;[/math]: [math]\exists z\in Z: z\gt a\;[/math]. Weźmy teraz [math]a' = \frac{1}{2} (z+a)\;[/math]. Wtedy [math]a'\lt z\;[/math], więc znów [math]a'\in I\;[/math], oraz [math]a'\gt a\;[/math], co znaczy, że [math]a\;[/math] NIE JEST elementem największym w klasie [math]I\;[/math] — wbrew założeniu. Otrzymaliśmy sprzeczność, co dowodzi, że zachodzi możliwość (10), tzn. w klasie [math]II\;[/math] istnieje element najmniejszy.

Bliźniacze twierdzenie

Jeśli zbiór [math]Z\subset \mathbb R\;[/math] jest ograniczony z dołu, to wśród ograniczeń dolnych zbioru [math]Z\;[/math] istnieje liczba największa, zwana kresem dolnym zbioru [math]Z\;[/math].

Dowód

jest również bliźniaczy.

Uwaga

Kresy zbioru nie muszą do niego należeć. Np. kresami przedziału otwartego [math]]a,b[: a\lt x\lt b\;[/math] są liczby [math]a\;[/math] (kres dolny) i [math]b\;[/math] (kres górny), nie należące do [math]]a,b[\;[/math].

Aksjomatyka liczb rzeczywistych

Podsumujmy znane własności liczb rzeczywistych. Można je też uznać za aksjomaty, które definiują liczby rzeczywiste; wszystkie znane nam własności liczb rzeczywistych można z nich wyprowadzić.

1. W [math]\mathbb R\;[/math] mamy działanie dodawania "[math]+[/math]". Jest ono przemienne: [math]x+y=y+x\;[/math] oraz łączne: [math](x+y)+z=x+(y+z)\;[/math] [math]\forall x,y,z\in\mathbb R\;[/math].
2. Istnieje element neutralny [math]0\;[/math] dla dodawania, tzn. [math]\forall x\in \mathbb R\;[/math]: [math]x+0=x\;[/math].
3. Dla każdego elementu [math]x\;[/math] istnieje element przeciwny [math]-x\;[/math]: [math]x+(-x)=0\;[/math].
4. W [math]\mathbb R\;[/math] mamy działanie mnożenia "[math]+[/math]". Jest ono przemienne: [math]x\cdot y=y\cdot x\;[/math] oraz łączne: [math](x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)\;[/math] [math]\forall x,y,z\in\mathbb R\;[/math].
5. Istnieje element neutralny [math]1\;[/math] dla mnożenia, tzn. [math]\forall x\in \mathbb R\;[/math]: [math]x\cdot 1=x\;[/math].
6. Dla każdego elementu [math]x\ne 0\;[/math] istnieje element przeciwny [math]\frac{1}{x}\;[/math]: [math]x\cdot\frac{1}{x}=1\;[/math]. Uwaga. Zbiór z tak określonymi działaniami nazywa się ciałem. Zatem [math]\mathbb R\;[/math] jest ciałem.
7. Istnieje w [math]\mathbb R\;[/math] relacja mniejszości "[math]\lt [/math]", tzn. każde dwie różne liczby [math]x,y\in \mathbb R\;[/math] spełniają: albo [math]x\lt y\;[/math], albo [math]y\lt x\;[/math]. Relacja ta jest przechodnia, tzn. jeżeli [math]x\lt y\;[/math] i [math]y\lt z\;[/math], to [math]x\lt z\;[/math].

Zachodzi też:

Jeżeli[math]\;\; x\lt y, \;\;[/math]to[math]\;\; x+ z\lt y+z\;[/math] i, jeżeli też [math]\; z\gt 0,\; \;\;[/math]to[math]\; xz \lt yz.[/math]

Uwaga

Wszystkie powyższe aksjomaty są też spełnione przez liczby wymierne. Zakładamy więc, prócz wszystkich powyższych, jeszcze

1. aksjomat ciągłości Dedekinda (9).