Matematyka 1NI/Calka nieoznaczona
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Funkcją pierwotną funkcji [math] f(x) [/math] w przedziale [math] X [/math] nazywamy funkcję [math] F(x) [/math] taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi
[math] F'(x)=f(x) [/math].
Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale [math] X [/math] danej funkcji jest funkcją stałą.
Dla wyrażenia [math] F(x)+C [/math] rezerwujemy nazwę całka nieoznaczona i symbol [math] \int f(x) \, dx [/math].
Zadanie 1
Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji
[math] f(x)=\frac{1}{x} [/math].
Uwaga, zadanie nie jest sformułowane zbyt precyzyjnie. Dziedzina naturalna funkcji nie jest przedziałem. Rozważ dwa przedziały [math]]-\infty,0[[/math] i [math] ]0,\infty[ [/math].
Funkcją pierwotną w przedziale [math] ]-\infty,0[ [/math] jest [math]\displaystyle F(x)=\log(-x) +c_1 \, , [/math] zaś w przedziale [math] ]0,\infty[ [/math] to [math]\displaystyle F(x)=\log x +c_2 \, , [/math] gdzie [math]c_1[/math] i [math]c_2[/math] są pewnymi liczbami rzeczywistymi.
Zwyczajowo stosowany zapis [math]\int \frac{1}{x} \, dx=\log|x|+c[/math] może prowadzić do nieporozumień.
Całkowanie przez części
Uwagi wstępne
Wzór na całkowanie przez części: [math] \displaystyle \int u(x) v'(x) \, dx =u(x) v(x)- \int u'(x) v(x) \, dx[/math] o ile funkcje [math] u' [/math] i [math] v' [/math] są ciągłe na przedziale [math] X [/math] .
Zadanie 1
Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji
[math] f(x)=x \cos x [/math].
Przyjmij [math] u(x)=x [/math] i [math] v'(x)=\cos x [/math].
[math]\displaystyle \int x \cos x \, dx =\left| \begin{matrix} u(x)=x & u'(x)=1 \\ v'(x)=\cos x & v(x)=\sin x \end{matrix}\right|= x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x +\cos x+c [/math].
Podobnie obliczamy całki [math] \int x^2 \sin (2x) \, dx [/math], [math] \int x^2 e^{7x} \, dx [/math].
Zadanie 2
Znajdź związek rekurencyjny między całkami [math] I_n= \int x^n e^{ax} \;dx [/math] gdzie [math] a \neq 0 [/math].
Wykonaj całkowanie przez części przyjmując [math] u(x)=x^n [/math] i [math] v'(x)=e^{ax}[/math].
[math] I_n= \int x^n e^{ax} \;dx=\frac{1}{a}x^n e^{ax}-\frac{n}{a} \int x^{n-1} e^{ax} \;dx \, \, [/math]
czyli
[math] I_n=\frac{1}{a}x^n e^{ax}-\frac{n}{a}I_{n-1}[/math].
Oblicz [math] I_3 [/math]. Metodę tę można zastosować do obliczania całek [math] J_n= \int x^n \cos (ax) \;dx [/math], [math] K_n= \int x^n sin (ax) \;dx [/math] wyrażając całki [math] J_n [/math] i [math] K_n [/math] przez całki [math] J_{n-1} [/math] i [math] K_{n-1} [/math].
Zadanie 3
Oblicz całkę [math]\displaystyle \int \arctan x \, dx [/math].
Połóż [math] u(x)=\arctan x [/math] i [math] v'(x)=1 [/math].
[math] \int \arctan x \, dx=\left| \begin{matrix} u(x)=\arctan x & u'(x)=\frac{1}{1+x^2} \\ v'(x)=1 & v(x)=x \end{matrix}\right|=x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx=x \arctan x-\frac{1}{2}\log (1+x^2)+c[/math]
Obliczyć [math]\displaystyle \int \log x \, dx [/math].
Zadanie 4
Oblicz całkę [math]\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx [/math].
Wykonaj dwa razy całkowanie przez części
[math]\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx= \left| \begin{matrix} u(x)=\cos{b x} & u'(x)=-b\sin(b x) \\ v'(x)=e^{ax} & v(x)=\frac{1}{a} e^{ax}\end{matrix}\right|= \frac{1}{a} e^{ax} \cos{b x}+\frac{b}{a} \int e^{ax} \sin(b x) \, dx= \left| \begin{matrix} u(x)=\sin{b x} & u'(x)=b\cos(b x) \\ v'(x)=e^{ax} & v(x)=\frac{1}{a} e^{ax}\end{matrix}\right|= [/math] [math] \frac{1}{a} e^{ax} \cos{b x}+\frac{b}{a^2} e^{ax} \sin{b x}-\frac{b^2}{a^2} \int e^{ax} \cos(b x) \, dx [/math]
Otrzymaliśmy więc równość między całkami nieoznaczonymi
[math]\displaystyle a^2 \int e^{ax} \cos(b x) \, dx= a e^{ax} \cos{b x}+ b e^{ax} \sin{b x}-b^2 \int e^{ax} \cos(b x) \, dx [/math].
Przenosząc całki na jedną stroną otrzymujemy
[math]\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx= \frac{a}{a^2+b^2} e^{ax} \cos{b x}+ \frac{b}{a^2+b^2} e^{ax} \sin{b x}+c [/math].
Zadanie 5
Oblicz całkę [math]\displaystyle \int \sin^2 (7x) \, dx[/math].
Wykonaj całkowanie przez części a następnie skorzystaj z jedynki trygonometrycznej
[math]\displaystyle \int \sin^2 (7x) \, dx= \left| \begin{matrix} u(x)=\sin (7x) & u'(x)=7 \cos(7 x) \\ v'(x)=\sin (7x)& v(x)=-\frac{1}{7} \cos(7 x)\end{matrix}\right|= -\frac{1}{7}\sin (7x)\cos(7 x)+ \int \cos^2 (7 x) \, dx=-\frac{1}{7}\sin (7x)\cos(7 x)+ \int [1- \sin^2 (7 x)] \, dx= [/math]
[math] -\frac{1}{7}\sin (7x)\cos(7 x)+ x-\int \sin^2 (7x) \, dx [/math]
Czyli ostatecznie postępując jak w poprzednim zadaniu mamy [math]\int \sin^2 (7x)=-\frac{1}{14}\sin (7x)\cos(7 x)+\frac{1}{2} x+c[/math]
Metoda działa dla [math]\displaystyle \int \sin^{2 n} (7x) \, dx[/math] dla dowolnego [math] n [/math] naturalnego.
Zadanie 6
Oblicz całkę [math]\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx [/math].
Scałkuj przez części.
[math]\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx= \left| \begin{matrix} u(x)=\sqrt{x^2+1} & u'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\ v'(x)=1 & v(x)=x \end{matrix}\right|= x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \, dx=x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{x^2+1-1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx= [/math][math] =x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1} \, dx+\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx= x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1} \, dx+ \hbox{ar sinh} \, x=x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1} \, dx+ \log ( x +\sqrt{x^2+1}) [/math].
Postępując jak w dwóch ostatnich zadaniach mamy
[math]\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx=\frac{x}{2} \sqrt{x^2+1}+ \frac{1}{2}\log (x +\sqrt{x^2+1})+c[/math].
Dużo bardziej ogólną metodą pozwalającą obliczyć nie tylko tę całkę ale również szereg innych jest podstawienie [math]x= \sinh t [/math] patrz Uwagi końcowe na tej stronie.
Całkowanie przez podstawienie
Uwagi wstępne
Wzór na całkowanie przez podstawienie
[math]\displaystyle \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(y) \, dy |_{y=f(x)} [/math]
gdzie zakładamy ciągłość funkcji [math]f[/math] i [math]g'[/math] na przedziale [math]X[/math].
Zadanie 1
Oblicz całki nieoznaczone [math] \int (\frac{1}{7}x+1)^{76} \, dx [/math], [math] \int (x^2+1)\sqrt[7]{1+x} \, dx [/math], [math] \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx [/math].
Podstawienie odpowiednia funkcja liniowa (w trzecim przykładzie sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej).
[math] \int (\frac{1}{7}x+1)^{76} \, dx = \left| \begin{matrix} y=\frac{1}{7}x+1\\ dy = \frac{1}{7}dx \end{matrix}\right|=7 \int y^{76} \, dy= 7 \frac{1}{77} y^{77}+c=\frac{1}{11}(\frac{1}{7}x+1)^{77}+c [/math],
[math] \int (x^2+1)\sqrt[7]{1+x} \, dx = \left| \begin{matrix} y=x+1\\ dy = dx \end{matrix}\right|=\int ((y-1)^2+1)\sqrt[7]{y} \, dy= \int y^{\frac{15}{7}}-2y^{\frac{8}{7}}+2y^{\frac{1}{7}}\, dy=\frac{7}{22} (x+1)^{\frac{22}{7}}- \frac{14}{15}(x+1)^{\frac{15}{7}}+ \frac{7}{4}(x+1)^{\frac{8}{7}}+c [/math],
[math] \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \, dx = \left| \begin{matrix} \sqrt{\frac{3}{4}}y=x+\frac{1}{2}\\ \sqrt{\frac{3}{4}} dy = dx \end{matrix}\right|= \sqrt{\frac{4}{3}}\int \frac{1}{y^2+1} \, dy= \sqrt{\frac{4}{3}} \arctan\left[\sqrt{\frac{4}{3}}(x+\frac{1}{2})\right]+c [/math].
W pierwszym rzędzie student powinien mieć świadomość, że podstawienie liniowe pozwala sprowadzać całki do pewnych kanonicznych form.
Zadanie 2
Oblicz całki nieoznaczone [math] \int e^{3 x^2} x \, dx [/math], [math] \int \frac{\sin x}{\sqrt[4]{2+\cos x}} \, dx [/math].
[math] \int e^{3 x^2} x \, dx = \left| \begin{matrix} y=3 x^2 \\ dy = 6 x dx \end{matrix}\right|=\frac{1}{6} \int e^y \, dy= \frac{1}{6}e^y + c=\frac{1}{6}e^{3 x^2}+c [/math],
[math] \int \frac{\sin x}{\sqrt[4]{2+\cos x}} \, dx = \left| \begin{matrix} y=2+\cos x \\ dy = -\sin x dx \end{matrix}\right|= -\int y^{-\frac{1}{4}} \, dy=-\frac{4}{3}y^{\frac{3}{4}}+c=-\frac{4}{3}(2+\cos x)^{\frac{3}{4}}+c [/math].
Zadanie 3
Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \sqrt{x^2-a^2} \, dx [/math], [math] a\gt 0 [/math].
Na przedziale [math] [a,\infty[ [/math] podstaw [math] y= \hbox{ar cosh}\frac{x}{a} [/math], natomiast na przedziale [math] ]-\infty,-a] [/math] podstaw [math] y= \hbox{ar cosh}\left(-\frac{x}{a}\right). [/math]
Zgodnie ze wskazówką dla całki nieoznaczonej na przedziale [math] [a,\infty[ [/math] podstawiamy [math] y= \hbox{ar cosh}\frac{x}{a} [/math], czyli [math] x= a \cosh y[/math], [math] dx= a \sinh y \, dy[/math] i wyjściowa całka to
[math] a^2 \int \sinh^2 y \, dy =a^2 \int \left(\frac{e^{2y}}{4}+\frac{e^{-2y}}{4}- \frac{1}{2}\right) \, dy= a^2 \left( \frac{e^{2y}}{8}-\frac{e^{-2y}}{8}- \frac{y}{2}\right)+c=\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\log\left(x+ \sqrt{x^2-a^2}\right) +c [/math].
Na przedziale [math] ]-\infty,-a] [/math] kładziemy [math] y= \hbox{ar cosh}\left(-\frac{x}{a}\right) [/math], czyli [math] x= -a \cosh y [/math], [math] dx= -a \sinh y \, dy[/math] otrzymując
[math]-a^2 \int \sinh^2 y \, dy =-a^2 \int \left(\frac{e^{2y}}{4}+\frac{e^{-2y}}{4}- \frac{1}{2}\right) \, dy= a^2 \left( \frac{e^{2y}}{8}-\frac{e^{-2y}}{8}- \frac{y}{2}\right)+c=\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}\log\left(-x+ \sqrt{x^2-a^2}\right) +c= [/math][math] =\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\log\left(-x- \sqrt{x^2-a^2}\right) +c_1. [/math]
Ostatecznie [math]\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\log\left| x+ \sqrt{x^2-a^2}\right| +c [/math].
Narzucamy sposób rozwiązywania tego zadania by przypomnieć funkcje hiperboliczne i polowe. Ewentualnie wspominamy o alternatywnych podstawieniach ([math] y=\frac{1}{\cos x} [/math], [math] y=\frac{1}{\sin x} [/math], podstawienia Eulera) i przypominamy,że akurat to zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie 6 z ustępu całkowanie przez części.
Rozkład na ułamki proste
Uwagi wstępne
Funkcję wymierną nazywamy ułamkiem właściwym jeśli stopień jej licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdą funkcję wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego. Ułamkami prostymi pierwszego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci
[math]\displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \hbox{ gdzie } n \in {\mathbb N}, A \in {\mathbb R} \setminus {0}, \, B \in {\mathbb R} [/math]
Ułamkami prostymi drugiego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci
[math]\displaystyle \frac{a x+d}{(x^2+bx+c)^n} \hbox{ gdzie } n \in {\mathbb N}, \, a,b,c,d \in {\mathbb R}, \, a^2+d^2 \ne 0,\, b^2-4c\lt 0 [/math]
Każdy ułamek właściwy można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych.
Zadanie 1
Rozłóż funkcję wymierną [math]Q(x)=\frac{x^6}{x^4-1}[/math] na sumę pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego.
Podziel wielomian [math]x^6[/math] przez wielomian [math]x^4-1[/math].
[math]\displaystyle \frac{x^6}{x^4-1}=\frac{x^6-x^2+x^2}{x^4-1}=\frac{x^2(x^4-1)}{x^4-1}+\frac{x^2}{x^4-1}=x^2+\frac{x^2}{x^4-1} \, . [/math]
Celem tego zadania nie jest nauka dzielenia wielomianów (bo tę umiejętność studenci nabywają wcześniej), lecz zaznajomienie słuchaczy po pierwsze z pojęciem ułamka właściwego i po drugie z pierwszym krokiem algorytmu rozkładania funkcji wymiernych na ułamki proste.
Zadanie 2
W jakiej postaci należy szukać rozkładu na ułamki proste następującej funkcji wymiernej
[math] Q(x)=\frac{x^{10}+1}{(x^2+1) x^2 (x+1)^2(x^2-1)(x^2+4)^3} \, . [/math]
Zauważ, że mianownik nie jest rozłożony na czynniki (o współczynnikach rzeczywistych) stopnia możliwie najniższego.
Ponieważ podana funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym można ją przedstawić w postaci sumy ułamków prostych. Rozkładamy mianownik na czynniki stopnia co najwyżej drugiego i możliwie najniższego, w naszym przypadku wystarczy położyć [math]x^2-1=(x-1)(x+1)[/math] czyli
[math] \displaystyle \frac{x^{10}+1}{(x^2+1) x^2 (x+1)^3(x-1)(x^2+4)^3} \,. [/math]
Postać rozkładu to
[math]\displaystyle \frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x^2}+\frac{d}{x}+\frac{\alpha}{(x+1)^3}+\frac{\beta}{(x+1)^2}+\frac{\gamma}{x+1}+ \frac{\delta}{x-1}+\frac{Ax+B}{(x^2+4)^3}+\frac{Cx+D}{(x^2+4)^2}+\frac{Fx+G}{x^2+4} \, , [/math]
gdzie [math] a,\, b\, ,c\, ,d\, ,\alpha,\, \beta,\, \gamma,\, \delta,\, A,\, B,\, C,\, D,\, F,\, G [/math] to poszukiwane współczynniki rozkładu.
Zwracamy uwagę osobom nieobecnym na wykładzie, że w ogólności w rozkładzie na ułamki proste występują wszystkie ułamki proste o następującej własności: mianownik rozkładanej funkcji jest podzielny przez mianownik ułamka prostego. Ponadto przypominamy techniki znajdowania pierwiastków szczególnych klas wielomianów.
Zadanie 3
Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję wymierną [math] \displaystyle Q(x)= \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2} \, . [/math]
Rozkładu szukaj w postaci (dlaczego?) [math] \displaystyle \frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}\, . [/math]
Stopień licznika podanej funkcji wymiernej jest mniejszy od stopnia jej mianownika, przystępujemy więc od razu do rozkładu na ułamki proste. Mianownik jest wielomianem dwukwadratowym łatwo dokonujemy więc jego rozkładu (podstawienie [math]t=x^2[/math]) na iloczyn wielomianów stopnia drugiego [math]x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+4)[/math]. Oba wielomiany stopnia drugiego nie dają się rozłożyć na wielomiany stopnia pierwszego (o współczynnikach rzeczywistych) postać rozkładu na ułamki proste wygląda więc następująco
[math] \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}= \frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2} [/math]
Monożąc obie strony ostatniej równości przez mianownik wyjściowej funkcji wymiernej mamy
[math] x^2+x+2=(Ax+B)(x^2+2)+ (Cx+D)(x^2+1)[/math]
co po wymnożeniu nawiasów i uporządkowaniu daje
Dwa wielomiany są sobie równe gdy ich współczynniki są sobie równe (równanie (1) ma być spełnione dla dowolnej wartości [math]x\, [/math]), otrzymujemy więc następujący układ równań
[math] \left\{ \begin{matrix} A+C=0 \\ B+D=1 \\ 2A+C =1 \\ 2B+D=2 \end{matrix} \right. \, , [/math]
którego rozwiązaniem jest
[math] \left\{ \begin{matrix} A=1 \\ B=1 \\ C =- 1 \\ D=0 \end{matrix} \right. \, . [/math]
Ostatecznie otrzymujemy
[math] \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}= \frac{x+1}{x^2+1}+\frac{-x}{x^2+2} \, .[/math]
Zadanie 4
Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie [math] \displaystyle \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \, . [/math]
Rozkładu szukaj w postaci [math] \displaystyle \frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}+ \frac{d}{x+3}\, . [/math]
Mnożąc równość
[math] \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)}= \frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}+ \frac{d}{x+3}[/math]
przez [math] x(x+1)(x+2)(x+3)[/math] otrzymujemy (lub innymi słowy sprowadzają prawą stronę do wspólnego mianownika i porównując liczniki lewej i prawej strony równości)
[math]\displaystyle 1= a (x+1)(x+2)(x+3)+b x(x+2)(x+3)+c x(x+1)(x+3)+d x(x+1)(x+2) [/math]
Wstawiając do powyższej równości kolejno [math]x=0[/math], [math]x=-1[/math], [math]x=-2[/math], [math]x=-3[/math] otrzymujemy odpowiednio [math]a=\frac{1}{6}\,[/math], [math] b=-\frac{1}{2}\, [/math], [math] c=\frac{1}{2} \,[/math], [math]d=-\frac{1}{6}\, [/math] i ostatecznie [math]\frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)}= \frac{1}{6}\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{(x+1)}+\frac{1}{2}\frac{1}{(x+2)}- \frac{1}{6} \frac{1}{(x+3)}[/math]
Używając liczb zespolonych zastosuj zaprezentowaną tu metodą do Zadania 3
Zadanie 5
Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie [math] \displaystyle \frac{x-1}{x^2(x+1)} \, . [/math]
Rozkładu szukaj w postaci [math] \displaystyle \frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}\, . [/math]
Mnożąc równość
[math] \frac{x-1}{x^2(x+1)}= \frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}\,[/math]
przez [math]x^2(x+1) [/math] otrzymujemy
Wstawiając do powyższej równości kolejno [math]x=0[/math], [math]x=-1[/math] otrzymujemy odpowiednio [math]A=-1\,[/math], [math] C=-2\, [/math], z kolei wstawiając otrzymane wartości [math]A\,[/math] i [math] C\, [/math] do równości (2) otrzymujemy [math]2 x=B(x^2+x)-2 x^2\,[/math] czyli [math]B=2\,[/math]. Ostatecznie mamy
[math]\frac{x-1}{x^2(x+1)}= -\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}[/math].
Można pokazać trick z obustronnym różniczkowaniem równości (2).
Całkowanie funkcji wymiernych
Uwagi wstępne Każdą funkcję wymierną można zapisać jako sumę pewnego wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych. Dzięki liniowości całki całkowanie dowolnej funkcji wymiernej można sprowadzić do całkowania wielomianów i ułamków prostych.
Zadanie 1
Scałkuj ułamki proste pierwszego rodzaju [math] \int \displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \, dx [/math].
Zrób zadanie 1 z ustępu całkowanie przez podstawienie.
Podstawienie [math] \displaystyle y=x-B [/math] sprowadza nasz problem do całkowania [math] \int \displaystyle \frac{1}{y^n} \, dy [/math]. Odpowiedź :
[math] \int \displaystyle \frac{A}{(x-B)} \, dx = A \log|x-B|+c [/math],
[math] \int \displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \, dx = \frac{1}{1-n} \frac{A}{(x-B)^{n-1}} +c \hbox{ dla } n \ne 1 [/math].
Przypomnieć uwagę z zadania 1 z ustępu Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości.
Zadanie 2
Znajdź związek rekurencyjny między całkami [math] I_n:=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}\, dx \,\,\, a\gt 0 [/math].
Wykonaj całkowanie przez części kładąc [math] u(x)=\frac{1}{(x^2+a^2)^n} [/math] i [math] v'(x)=1[/math].
Całkując przez części otrzymujemy
[math]\displaystyle \int\frac{1}{(x^2+a^2)^n} \, dx =\left| \begin{matrix} u(x)=\frac{1}{(x^2+a^2)^n} & u'(x)=-n\frac{2x}{(x^2+a^2)^{n+1}} \\ v'(x)=1 & v(x)= x \end{matrix}\right|=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+n \int \frac{2x^2+2a^2- 2a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}} \, dx = [/math]
[math] =\frac{x}{(x^2+a^2)^n}-2 n a^2 \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} \, dx +2n \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n}} \, dx [/math],
Co daje
[math]I_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n} -2 n a^2 I_{n+1}+2 n I_n[/math],
i ostatecznie
[math]I_{n+1}=\frac{1}{2 n a^2} \left(\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+(2 n-1) I_n \right) [/math].
Wypisać całki dla [math]n=1,2,3[/math].
Zadanie 3
Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{x^3+2x^2}{x^2-1} \, dx [/math].
Zacznij od podzielenia wielomianów i rozkładu na ułamki proste.
Funkcję podcałkową można zapisać jako [math]\displaystyle x+2 + \frac{\frac{3}{2}}{x-1}- \frac{\frac{1}{2}}{x+1}[/math] a stąd
[math] \int \frac{x^3+2x^2}{x^2-1} \, dx =\int x+2 + \frac{3}{2}\frac{1}{x-1}- \frac{1}{2}\frac{1}{x+1} \, dx= \frac{1}{2} x^2+2 x + \frac{3}{2} \log|x-1|- \frac{1}{2}\log|x+1|+c [/math]
Zadanie 4
Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1}{x^4+1}\, dx [/math].
Jeśli nie straszne Ci liczby zespolone to pewnie potrafisz obliczyć pierwiastki czwartego stopnia z -1, dzięki temu
[math] x^4+1=(x-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)(x-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i) (x+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)(x+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)= (x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1) [/math].
Ale czy nie można prościej? Tym razem można [math]x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2 [/math].
Po pracowitym rozłożeniu funkcji podcałkowej na ułamki proste (porównaj zadanie 3 w części rozkład na ułamki proste)
[math] \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} -\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}[/math]
przystępujemy do całkowania
[math] \int \frac{1}{x^4+1}\, dx =\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} \, dx -\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} \, dx= \int \frac{\frac{\sqrt{2}}{8}(2x+\sqrt{2})-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} \, dx -\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{8}(2x-\sqrt{2})+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} \, dx= [/math]
[math] = \frac{\sqrt{2}}{8}\int \frac{2x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}\, dx -\frac{\sqrt{2}}{8}\int \frac{2x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}\, dx +\frac{1}{4}\int\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1} \, dx +\frac{1}{4}\int\frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1} \, dx = [/math]
[math] =\frac{\sqrt{2}}{8}\log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1} +\frac{\sqrt{2}}{4}\left[ \arctan(\sqrt{2}x+1) + \arctan(\sqrt{2}x-1)\right]+c [/math].
Zadanie 5
Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{x^2(x^2-x+2)}{(x^2+1)^2(x+1)} \, dx [/math].
Wynik rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste to [math]\frac{x}{(x^2+1)^2}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x+1}[/math].
[math] \int \frac{x^2(x^2-x+2)}{(x^2+1)^2(x+1)} \, dx =\int \frac{1}{2} \frac{2x}{(x^2+1)^2}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x+1} \, dx= -\frac{1}{2} \frac{1}{(x^2+1)} -\arctan x +\log|x+1| +c [/math].
Zadanie 6
Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1}{(x^2+x+1)^2} \, dx [/math].
Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej. Użyj wyniku zadania 2.
Zgodnie ze wskazówką [math] \int \frac{1}{(x^2+x+1)^2} \, dx =\int \frac{1}{\left[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\right]^2} \, dx= \left| \begin{matrix} w=(x+\frac{1}{2}) \\ dw=dx \end{matrix}\right|= \int \frac{1}{\left(w^2+\frac{3}{4}\right)^2} \, dw= [/math] Używając wyniku zadania 2 mamy dalej [math] =\frac{2}{3}\left[\frac{w}{(w^2+\frac{3}{4})}+\int \frac{1}{\left(w^2+\frac{3}{4}\right)} \, dw \right]= \frac{2}{3} \left\{ \frac{x+\frac{1}{2}}{\left[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\right]} +\sqrt{\frac{4}{3}} \arctan \left[\sqrt{\frac{4}{3}}(x+\frac{1}{2})\right] \right\} +c [/math]
Całki sprowadzalne do całkowania funkcji wymiernych
W tym rozdziale [math] Q(a,b) [/math] oznacza funkcję wymierną dwóch argumentów.
Zadanie 1
Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1+\cos x}{2+\sin x} \, dx [/math].
Stosujemy uniwersalne podstawienie [math]t =\tan \frac{x}{2}[/math], wtedy [math]\sin x = \frac{2 t}{1+t^2}[/math], [math]\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/math] oraz [math]d x = \frac{2 dt}{1+t^2}[/math].
Stosując podstawienie [math]t =\tan \frac{x}{2}[/math] otrzymujemy [math] \int \frac{2}{(1+t+t^2)(1+t^2)} \, dt = \int \frac{2+2t}{(1+t+t^2)} \, dt-\int \frac{2t}{(1+t^2)} \, dt = \int \frac{1+2t}{(1+t+t^2)} \, dt+\int \frac{1}{(1+t+t^2)} \, dt -\int \frac{2t}{(1+t^2)} \, dt= [/math] [math] =\log (1+t+t^2)+\sqrt{\frac{4}{3}} \arctan \left[\sqrt{\frac{4}{3}}(t+\frac{1}{2})\right]-\log (1+t^2)+c [/math]
W szczególnych przypadkach gdy
1) [math]Q(\sin x, -\cos x)=-Q(\sin x,\cos x)[/math],
2) [math]Q(-\sin x, \cos x)=-Q(\sin x,\cos x)[/math],
3) [math]Q(-\sin x, -\cos x)=-Q(\sin x,\cos x)[/math],
wygodniejsze są następujące podstawienia, odpowiednio
1) [math]t=\sin x[/math],
2) [math]t=\cos x[/math],
3) [math]t=\tan x[/math].
Zadanie 2
Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1}{\cos^3 x} \, dx [/math].
Patrz uwagi do porzedniego zadania.
Podstawiając [math] t =\sin x[/math] otrzymujemy
[math] \int \frac{1}{(1-t^2)^2} \, dt =\frac{1}{4} \int \frac{1}{(1-t)^2}+\frac{1}{1-t}+\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{1}{1+t} \, dt = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-t}-\log|t-1| - \frac{1}{1+t}+\log|t+1| \right)+c. [/math]
Uwagi końcowe
Następujące całki dają się sprowadzić do całkowania funkcji wymiernych
[math]
\int Q(e^x,1) \, dx
[/math]
podstawienie [math]y=e^x[/math]
[math] \int Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) \, dx [/math] dla przypadku [math]a\gt 0[/math] i [math]\Delta\gt 0[/math] podstawienie [math]y=\pm\hbox{ar cosh}\left[\frac{2a}{\sqrt{\Delta}} \left(x+\frac{b}{2a}\right)\right][/math] a dla przypadku [math]a\gt 0[/math] i [math]\Delta\lt 0[/math] podstawienie [math]y=\hbox{ar sinh}\left[\frac{2a}{\sqrt{-\Delta}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right][/math] sprowadzają tego rodzaju całki do przypadku [math] \int Q(e^x,1) \, dx [/math]. Natomiast przypadek [math]a\lt 0[/math] i [math]\Delta\gt 0[/math] sprowadzamy do przypadku całkowania funkcji [math]Q(\sin x,\cos x)[/math] na przykład przez podstawienie [math]y=\hbox{arc sin}\left[\frac{2a}{\sqrt{\Delta}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right][/math]
[math] \int Q(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}) \, dx [/math] podstawienie [math]y=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}[/math].
