Matematyka 1NI/Calka nieoznaczona

Z Brain-wiki


Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Funkcją pierwotną funkcji [math] f(x) [/math] w przedziale [math] X [/math] nazywamy funkcję [math] F(x) [/math] taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi

[math] F'(x)=f(x) [/math].

Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale [math] X [/math] danej funkcji jest funkcją stałą.

Dla wyrażenia [math] F(x)+C [/math] rezerwujemy nazwę całka nieoznaczona i symbol [math] \int f(x) \, dx [/math].


Zadanie 1

Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji

[math] f(x)=\frac{1}{x} [/math].




Całkowanie przez części

Uwagi wstępne

Wzór na całkowanie przez części: [math] \displaystyle \int u(x) v'(x) \, dx =u(x) v(x)- \int u'(x) v(x) \, dx[/math] o ile funkcje [math] u' [/math] i [math] v' [/math] są ciągłe na przedziale [math] X [/math] .

Zadanie 1

Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji

[math] f(x)=x \cos x [/math].




Zadanie 2

Znajdź związek rekurencyjny między całkami [math] I_n= \int x^n e^{ax} \;dx [/math] gdzie [math] a \neq 0 [/math].




Zadanie 3

Oblicz całkę [math]\displaystyle \int \arctan x \, dx [/math].





Zadanie 4

Oblicz całkę [math]\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx [/math].




Zadanie 5

Oblicz całkę [math]\displaystyle \int \sin^2 (7x) \, dx[/math].




Zadanie 6

Oblicz całkę [math]\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx [/math].




Całkowanie przez podstawienie

Uwagi wstępne

Wzór na całkowanie przez podstawienie

[math]\displaystyle \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(y) \, dy |_{y=f(x)} [/math]

gdzie zakładamy ciągłość funkcji [math]f[/math] i [math]g'[/math] na przedziale [math]X[/math].

Zadanie 1

Oblicz całki nieoznaczone [math] \int (\frac{1}{7}x+1)^{76} \, dx [/math], [math] \int (x^2+1)\sqrt[7]{1+x} \, dx [/math], [math] \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx [/math].




Zadanie 2

Oblicz całki nieoznaczone [math] \int e^{3 x^2} x \, dx [/math], [math] \int \frac{\sin x}{\sqrt[4]{2+\cos x}} \, dx [/math].




Zadanie 3

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \sqrt{x^2-a^2} \, dx [/math], [math] a\gt 0 [/math].





Rozkład na ułamki proste

Uwagi wstępne

Funkcję wymierną nazywamy ułamkiem właściwym jeśli stopień jej licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdą funkcję wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego. Ułamkami prostymi pierwszego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci

[math]\displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \hbox{ gdzie } n \in {\mathbb N}, A \in {\mathbb R} \setminus {0}, \, B \in {\mathbb R} [/math]

Ułamkami prostymi drugiego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci

[math]\displaystyle \frac{a x+d}{(x^2+bx+c)^n} \hbox{ gdzie } n \in {\mathbb N}, \, a,b,c,d \in {\mathbb R}, \, a^2+d^2 \ne 0,\, b^2-4c\lt 0 [/math]

Każdy ułamek właściwy można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych.


Zadanie 1

Rozłóż funkcję wymierną [math]Q(x)=\frac{x^6}{x^4-1}[/math] na sumę pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego.




Zadanie 2

W jakiej postaci należy szukać rozkładu na ułamki proste następującej funkcji wymiernej

[math] Q(x)=\frac{x^{10}+1}{(x^2+1) x^2 (x+1)^2(x^2-1)(x^2+4)^3} \, . [/math]




Zadanie 3

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję wymierną [math] \displaystyle Q(x)= \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2} \, . [/math]




Zadanie 4

Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie [math] \displaystyle \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \, . [/math]




Zadanie 5

Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie [math] \displaystyle \frac{x-1}{x^2(x+1)} \, . [/math]




Całkowanie funkcji wymiernych

Uwagi wstępne Każdą funkcję wymierną można zapisać jako sumę pewnego wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych. Dzięki liniowości całki całkowanie dowolnej funkcji wymiernej można sprowadzić do całkowania wielomianów i ułamków prostych.


Zadanie 1

Scałkuj ułamki proste pierwszego rodzaju [math] \int \displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \, dx [/math].





Zadanie 2

Znajdź związek rekurencyjny między całkami [math] I_n:=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}\, dx \,\,\, a\gt 0 [/math].





Zadanie 3

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{x^3+2x^2}{x^2-1} \, dx [/math].





Zadanie 4

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1}{x^4+1}\, dx [/math].




Zadanie 5

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{x^2(x^2-x+2)}{(x^2+1)^2(x+1)} \, dx [/math].





Zadanie 6

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1}{(x^2+x+1)^2} \, dx [/math].




Całki sprowadzalne do całkowania funkcji wymiernych

W tym rozdziale [math] Q(a,b) [/math] oznacza funkcję wymierną dwóch argumentów.

Zadanie 1

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1+\cos x}{2+\sin x} \, dx [/math].




Zadanie 2

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1}{\cos^3 x} \, dx [/math].




Uwagi końcowe

Następujące całki dają się sprowadzić do całkowania funkcji wymiernych


[math] \int Q(e^x,1) \, dx [/math] podstawienie [math]y=e^x[/math]

[math] \int Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) \, dx [/math] dla przypadku [math]a\gt 0[/math] i [math]\Delta\gt 0[/math] podstawienie [math]y=\pm\hbox{ar cosh}\left[\frac{2a}{\sqrt{\Delta}} \left(x+\frac{b}{2a}\right)\right][/math] a dla przypadku [math]a\gt 0[/math] i [math]\Delta\lt 0[/math] podstawienie [math]y=\hbox{ar sinh}\left[\frac{2a}{\sqrt{-\Delta}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right][/math] sprowadzają tego rodzaju całki do przypadku [math] \int Q(e^x,1) \, dx [/math]. Natomiast przypadek [math]a\lt 0[/math] i [math]\Delta\gt 0[/math] sprowadzamy do przypadku całkowania funkcji [math]Q(\sin x,\cos x)[/math] na przykład przez podstawienie [math]y=\hbox{arc sin}\left[\frac{2a}{\sqrt{\Delta}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right][/math]

[math] \int Q(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}) \, dx [/math] podstawienie [math]y=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}[/math].