Matematyka 1NI/Dowodzenie tożsamości i nierówności

Z Brain-wiki

Dowodzenie tożsamości i nierówności

Zadanie 1

Wykazać, że:

[math] \mathrm{arctg}\frac{1+x\sqrt{3}}{x-\sqrt{3}}-\mathrm{arcctg}\, x=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle -\frac{2\pi}{3} & \mathrm{dla} & x\lt \sqrt{3}\; ,\\ \\ \displaystyle \frac{\pi}{3} & \mathrm{dla} & x\gt \sqrt{3}\; .\end{array}\right. \, [/math]




Zadanie 2

Wykazać, że:

[math] 2\mathrm{arctg}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+\arcsin\left(2x\sqrt{1-x^2}\right)=\pi\; , \, [/math]

dla [math]\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\lt x\lt 1\,[/math].



Zadanie 3

Wykazać, że dla każdego [math]x\in\mathbb{R}\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] x^2-2x\sin x-2\cos x+2\geq 0\; . \, [/math]




Zadanie 4

Wykazać, że dla każdego [math]x\in\mathbb{R}\,[/math] i [math]x\neq 0\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] 2x\,\mathrm{arctg}\, x\gt 1-\frac{\log(1+x^2)}{x^2}\; . \, [/math]




Zadanie 5

Wykazać, że dla każdego [math]x\gt 0\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] (2x^2+1)\,\mathrm{arsinh}\, x\gt x\sqrt{x^2+1}\; , \, [/math]

a dla [math]x\lt 0\,[/math] nierówność jest odwrotna.



Zadanie 6

Wykazać, że dla każdego [math]x\geq 1\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] \log x\leq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\; . \, [/math]




Zadanie 7

Wykazać, że dla każdego [math]x\in]0, 1]\,[/math] spełniona jest nierówność:

[math] \log x\leq \sqrt{1-x^2}\; . \, [/math]




Zadanie 8

Wykazać, że dla każdego [math]x\in \mathbb{R}\,[/math] prawdziwa jest nierówność:

[math] \log(x+\sqrt{x^2+1})-\log(1+\sqrt{2})\leq \sqrt{x^2+1}-\sqrt{2}\;. \, [/math]