Matematyka 1NI/Dwumian Newtona
Dwumian Newtona
Zadanie 1
Znaleźć współczynnik przy [math]x^{334}\, [/math] w rozwinięciu wyrażenia [math]\displaystyle \left(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}\right)^{1001}\, [/math].
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
Wykorzystamy wzór dwumienny Newtona:
przyjmując:
Z żądania aby
wynika, że
co daje [math]k=2\, [/math]. W konsekwencji, jak wynika z (1), poszukiwany współczynnik równy jest
Zadanie 2
W wielomianie [math]\displaystyle w(x)=\sum_{k=0}^{10}(1+x)^k\, [/math] znaleźć wyraz zawierający [math]x^4\, [/math].
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
W każdym z nawiasów postaci [math](1+x)^k\, [/math] znajdzie się wyraz zawierający [math]x^4\, [/math], o ile [math]k\geq 4\, [/math], przy czym współczynnik równy będzie
Wnosimy stąd, że poszukiwany wyraz ma postać:
Zadanie 3
Wykazać tożsamość:
Należy wykorzystać wzór dwumienny Newtona dla [math](a+b)^{n-1}\, [/math] dobierając odpowiednio [math]a\, [/math] i [math]b\, [/math].
Wyrażenie [math]2^{n-1}\, [/math] zapiszemy w postaci [math](1+1)^{n-1}\, [/math] i wykorzystamy wzór dwumienny Newtona. Otrzymamy:
W otrzymanym wyrażeniu przesuniemy zmienną sumowania pisząc [math]k=k'-1\, [/math], przy czym sumowanie po [math]k'\, [/math] bądzie przebiegać zakres od [math]1\, [/math] do [math]n\, [/math]. Opuszczając nieistotny prim przy [math]k\, [/math] mamy:
skąd wynika już (8).
Zadanie 4
Wykazać tożsamość:
dla [math]n\gt 1\, [/math].
Należy wykorzystać wzór dwumienny Newtona dla [math](a+b)^{n-1}\, [/math] dobierając odpowiednio [math]a\, [/math] i [math]b\, [/math].
Wyrażenie [math]0^{n-1}\, [/math] zapiszemy w postaci [math](-1+1)^{n-1}\, [/math] i wykorzystamy wzór dwumienny Newtona. Otrzymamy:
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, dokonamy teraz przesunięcia zmiennej sumowania: [math]k=k'-1\, [/math]. Sumowanie po [math]k'\, [/math] przebiegać będzie zakres od [math]1\, [/math] do [math]n\, [/math]. Opuszczając nieistotny prim przy [math]k\, [/math] otrzymujemy pożądany wynik:
Zadanie 5
Wykazać tożsamość:
Należy wykorzystać tożsamość:
Wykorzystamy wzór (tożsamość), która zachodzi dla każdego [math]x\neq 0\, [/math]:
Lewą i prawą jej stronę można rozwinąć (niezależnie) korzystając z wzoru dwumiennego Newtona. Współczynniki przy każdej potędze [math]x\, [/math] muszą być po obu stronach równe. Nas interesować będą te przy [math]x^0\, [/math]. Po lewej stronie mamy:
Współczynnik przy [math]x^0\, [/math] znajdziemy dopisując pod podwójną sumą deltę Kroneckera postaci [math]\delta_{k-l,0}\, [/math], co oznacza, że suma po [math]l\, [/math] zniknie i zredukuje się do jednego wyrazu, dla którego [math]l=k\, [/math]. Poszukiwany współczynnik jest zatem równy:
Po prawej stronie równania (16) współczynnik przy [math]x^0\, [/math] równy jest współczynnikowi przy [math]x^n\, [/math] dla wyrażenia wewnątrz nawiasu, czyli
skąd wynika, że faktycznie zachodzi (14).
Zadanie 6
Wykazać tożsamość:
Należy wykorzystać tożsamość:
Wykorzystamy wzór (tożsamość), która zachodzi dla każdego [math]x\neq 0\, [/math]:
Lewą i prawą stronę (22) rozwiniemy (niezależnie) korzystając z wzoru dwumiennego Newtona. Ponieważ mamy do czynienia z tożsamością, więc współczynniki przy każdej potędze [math]x\, [/math] po obu stronach muszą być równe. Nas interesować będą te przy [math]x^0\, [/math]. Po lewej stronie mamy:
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, współczynnik przy [math]x^0\, [/math] znajdziemy dopisując pod podwójną sumą deltę Kroneckera postaci [math]\delta_{k-l,0}\, [/math]. Suma po [math]l\, [/math] zredukuje się wówczas do jednego wyrazu, dla którego [math]l=k\, [/math]. Poszukiwany współczynnik jest zatem równy:
Po prawej stronie równania (22) współczynnik przy [math]x^0\, [/math] równy jest współczynnikowi przy [math]x^{2n}\, [/math] dla wyrażenia wewnątrz nawiasu, czyli
Widzimy, że faktycznie zachodzi tożsamość (20).
Zadanie 7
Wykazać tożsamość:
Należy wykorzystać tożsamość:
dla [math]x\neq 0\, [/math].
Wykorzystamy tę samą tożsamość, z której zrobiliśmy użytek w poprzednim zadaniu, jednakże tym razem dla nieparzystej potęgi:
Obie strony (28) niezależnie rozwiniemy, korzystając z wzoru dwumiennego Newtona. Jak wiemy, współczynniki przy każdej potędze [math]x\, [/math] po obu stronach muszą być równe, przy czym dla naszych celów wystarczy rozpatrzenie [math]x^0\, [/math]. Po lewej stronie mamy:
Współczynnik przy [math]x^0\, [/math] uzyskamy żądając aby [math]l=k\, [/math]. Poszukiwany współczynnik jest więc równy:
Natomiast po prawej stronie równania(28) współczynnik przy [math]x^0\, [/math] równy jest zero, gdyż występują tam wyłącznie nieparzyste potęgi [math]x\, [/math]. Oznacza to, że faktycznie zachodzi tożsamość (26).