Matematyka 1NI/Elementy logiki i teorii zbiorów

Z Brain-wiki

Elementy logiki

Zadanie 1

Niech [math] x^2=1 [/math]. Wynika stąd, że

a) [math] x=1 [/math],

b) [math] x=1 \, \wedge \, x=-1 [/math],

c) [math] x=1 \, \vee \, x=-1 [/math],

d) [math] x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7 [/math].




Zadanie 2

Dla jakich wartości parametru [math] a [/math] prawdziwe są zdania

a)   [math] 7^2=50 \implies a=7 [/math],     b)   [math] 7^2=50 \iff a=7 [/math],     c)   [math] 7^2=50 \, \vee \, a=7 [/math],     d)   [math] 7^2=50 \, \wedge \, a=7 [/math].





Zadanie 3

Sprawdź, że tautologią jest (prawo zaprzeczenia implikacji)

[math] \sim (p\implies q) \iff (p \wedge \sim q) [/math].

Zdefiniuj implikację za pomocą

a) negacji i koniunkcji,

b) negacji i alternatywy.




[math]p[/math] [math]q[/math] [math]p \implies q [/math] [math]\sim q [/math] [math]\sim( p \implies q) [/math] [math] p \, \wedge \, \sim q [/math] [math] \sim (p\implies q) \iff (p \wedge \sim q) [/math]
1 1 1 0 0 0 1
1 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1

Zadanie 4

Sprawdź, że tautologią jest (prawo transpozycji)

[math] (p\implies q) \iff (\sim q \implies \sim p) [/math]




[math]p[/math] [math]q[/math] [math] \sim p [/math] [math] \sim q [/math] [math] p \implies q [/math] [math]\sim q \implies \sim p [/math] [math] (p\implies q) \iff (\sim q \implies \sim p) [/math]
1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 1
0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1


Zadanie 5

Sprawdź, że tautologią jest (przechodniość implikacji)

[math] [(p\implies q) \, \wedge \, (q\implies r)] \implies (p \implies r) [/math]




[math]p[/math] [math]q[/math] [math]r[/math] [math] p \implies q [/math] [math] q \implies r [/math] [math] (p \implies q) \wedge (q \implies r) [/math] [math] p\implies r [/math] [math] [(p\implies q) \, \wedge \, (q\implies r)] \implies (p \implies r) [/math]
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 0 1 0 0 0 1
1 0 1 0 1 0 1 1
1 0 0 0 1 0 0 1
0 1 1 1 1 1 1 1
0 1 0 1 0 0 1 1
0 0 1 1 1 1 1 1
0 0 0 1 1 1 1 1


Zadanie 6

Zaprzecz następujące zdanie logiczne

[math] \forall x \in \mathbb{R}:\, x^2=1 \implies x=1 \, \vee \, x=-1 \, \vee \, x=7 [/math].

Rezultat podaj w takiej formie by negacja nie występowała ostatecznym wyniku.




Zbiory i sposoby ich opisu

Zadanie 7

Wypisz wszystkie elementy zbiorów

[math] \left\{ x \in \mathbb{R}:\, \frac{x}{2} \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\} [/math],

[math] \left\{ \frac{x}{2}:\, x \in \mathbb{N} \, \wedge \, x\lt 7 \right\} [/math],




Uwagi

Ćwiczenia kończymy powtórzeniem wiadomości z wykładu sprawdzając czy studenci potrafią zdefiniować sumę i różnicę zbiorów, znają pojęcie zawierania się zbiorów i ich równości. Znają oznaczenia [math] \mathbb{N},\, \mathbb{Z},\, \mathbb{Q},\,\mathbb{R}[/math]. Znają pojęcie iloczynu kartezjańskiego zbiorów (np. [math]\mathbb{R}^2[/math]). Znają stosowane na wykładzie oznaczenia dla przedziałów liczbowych.