Matematyka 1NI/Granice funkcji

Z Brain-wiki

Granice funkcji

Zadanie 1

Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć

[math] \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2x}}{\sqrt[3]{x}-1} \, [/math]




Zadanie 2

Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć

[math] \lim_{x\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\; ,\;\;\;\; \mathrm{oraz}\;\;\;\; \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\; . \, [/math]




Zadanie 3

Wykorzystując definicję Heinego granicy funkcji, znaleźć

[math] \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x-\mathrm{tg}\,x}{\sin^3 x}\; . \, [/math]




Zadanie 4

Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica (20) z poprzedniego zadania równa jest [math]\displaystyle -\frac{1}{2}\, [/math].



Zadanie 5

Wykorzystując definicję Cauchy'ego granicy funkcji wykazać, że granica

[math] \lim_{x\rightarrow 2}\left(\frac{8}{x-2}-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x}-\sqrt{2}}\right) \, [/math]

równa jest [math]-1\, [/math].



Zadanie 6

Zbadać, czy istnieje granica:

[math] \lim_{x\rightarrow 0}\mathrm{tgh}\,\frac{1}{x}\; . \, [/math]




Zadanie 7

Zbadać, czy istnieje granica:

[math] \lim_{x\rightarrow -2}\frac{x+2+2|x+2|}{x+2+3|x+2|}\; . \, [/math]




Zadanie 8

Zbadać, czy istnieje granica:

[math] \lim_{x\rightarrow 0}f(x)\; , \, [/math]

gdzie

[math] f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}\displaystyle \frac{\sin x-\mathrm{tg}\, x}{x^3} & \mathrm{dla} & x\gt 0\; ,\\ \displaystyle \frac{\sinh x-\mathrm{tgh}\, x}{x^3} & \mathrm{dla} & x\lt 0\; . \end{array}\right.\, [/math]




Zadanie 9

Znaleźć granicę:

[math] \lim_{x\rightarrow 1}\frac{\mathrm{tg} (x-1)}{\sin(x\sqrt{x}-1)}\; . \, [/math]




Zadanie 10

Znaleźć granicę:

[math] \lim_{x\rightarrow \frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{4x -\pi}\; . \, [/math]




Zadanie 11

Zbadać, dla jakiej wartości parametrów [math]a,b\in\mathbb{R}\, [/math] istnieje granica:

[math] \lim_{x\rightarrow\infty}\left(\sqrt{x^2+2x}-ax-b\right) \, [/math]

i równa jest [math]1\, [/math].