Matematyka 1NI/Indukcja matematyczna

Z Brain-wiki

Indukcja matematyczna

Zadanie 1

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}[/math] prawdziwa jest równość:

[math]1^3+3^3+\ldots +(2n+1)^3=2(n+1)^4-(n+1)^2\; .\,[/math]




Zadanie 2

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\,[/math] i [math]n\geq 2\,[/math] prawdziwa jest równość:

[math] \frac{1}{2^2-1}+\frac{1}{3^2-1}+\ldots\frac{1}{n^2-1}=\frac{(3n+2)(n-1)}{4n(n+1)}\; . \,[/math]




Zadanie 3

Wykazać wzór de Moivre'a:

[math] (\cos\phi +i\sin\phi)^n=\cos n\phi +i\sin n\phi\; ,\,[/math]

dla dowolnego [math]\phi\in\mathbb{R}\, [/math] oraz [math]n\in \mathbb{N}\, [/math].



Zadanie 4

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\,[/math] i [math]n\geq 2\, [/math] zachodzi nierówność:

[math] \frac{\sqrt{2}}{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\ldots\frac{\sqrt{n}}{n-1}\gt \sqrt{n-1}\; .\, [/math]




Zadanie 5

Wiadomo, iż

[math]|x_1+x_2|\leq |x_1|+|x_2|,\,[/math]

dla [math]x_1,x_1\in\mathbb{R}\,[/math]. Wykazać na tej podstawie, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\,[/math] i [math]n\geq 2\,[/math] zachodzi także

[math] |x_1+x_2+\ldots+x_n|\leq |x_1|+|x_2|+\ldots+|x_n|\; .\,[/math]




Zadanie 6

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\,[/math] zachodzi nierówność:

[math] (1+2+\ldots + n)\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\ldots\frac{1}{n}\right)\geq n^2\; . [/math]




Zadanie 7

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\,[/math] zachodzi nierówność:

[math] (2n-1)!!\leq n^n\; .\,[/math]




Zadanie 8

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\,[/math] i [math]n\geq 2\,[/math] liczba postaci [math]n^7-n\,[/math] jest podzielna przez [math]7\,[/math].



Zadanie 9

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\,[/math] liczba postaci [math]n(n+1)(2n+1)\,[/math] jest podzielna przez [math]6\,[/math].




Zadanie 10

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\,[/math] i [math]n\geq 2\,[/math] liczba postaci [math]4^n+6n-10\,[/math] jest podzielna przez [math]9\,[/math].



Zadanie 11

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\,[/math] wielomian:

[math] w_n(x)=(4n+3)x^{n+2}-(7n+6)x^{n+1}+(3n+2)x^n+1\; , \,[/math]

jest podzielny przez [math](x-1)^2\,[/math].



Zadanie 12

Wykazać, że dla dowolnego [math]n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\,[/math] wielomian:

[math] w_n(x)=(n+2)x^{n+2}+(n+4)x^{n+1}+x^n+(-1)^n\; , \,[/math]

ma podwójne miejsce zerowe dla [math]x=-1\,[/math].