Matematyka 1NI/Szeregi potegowe

Z Brain-wiki

Szeregi Potęgowe

Zadanie 1

Obliczyć promień zbieżności szeregów i zbadać jego zbieżność na krańcach przedziału zbieżności.

a) [math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^n}{n^2+1} x^n[/math]

b) [math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^n}{n!} x^n[/math]

c) [math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n[/math]




Zadanie 2

Obliczyć promień zbieżności szeregu

[math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(7x+1)^{2n}}{n^7}[/math]




Zadanie 3

Całkując w kole zbieżności rozwinięcie w szereg Taylora funkcji [math] f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/math] znaleźć rozwinięcie w szereg Taylora arcus tangensa.




Zadanie 4

Udowodnij, że jeśli

[math] \cos z =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} [/math]

oraz

[math] \sin z =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} [/math]

to

[math] \cos^2 z+\sin^2 z=1[/math].



Dodając tak otrzymane wyniki i używając tożsamości zasugerowanej we wskazówce otrzymujemy [math] \cos^2 z+\sin^2 z=1[/math].