Matematyka 1NI/Szeregi potegowe
Szeregi Potęgowe
Zadanie 1
Obliczyć promień zbieżności szeregów i zbadać jego zbieżność na krańcach przedziału zbieżności.
a) [math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^n}{n^2+1} x^n[/math]
b) [math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{7^n}{n!} x^n[/math]
c) [math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n^n} x^n[/math]
a)[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{7^n}{n^2+1}}=7 \,\,\, [/math] stąd promień zbieżności wynosi [math]\frac{1}{7}[/math]. Na prawym krańcu przedziału zbieżności mamy szereg [math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}[/math] zbieżny (bo jego zbieżność jest równoważna zbieżności szeregu harmonicznego drugiego rzędu) na lewym krańcu przedziału zbieżności mamy szereg [math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1}[/math], który również jest zbieżny (a nawet zbieżny bezwzględnie).
b)[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{7^n}{n!}}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{7^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{7^n}{n!}}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{7}{n+1}=0 [/math] stąd promień zbieżności wynosi [math]\infty[/math].
c)[math] \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!}{n^n}}=\frac{1}{e} \,\,\,[/math] stąd promień zbieżności wynosi [math]e[/math]. Na krańcach promienia zbieżności otrzymujemy szeregi rozbieżne bo warunki konieczne zbieżności szeregu nie są spełnione bowiem ciąg [math]a_n=\frac{n!e^n}{n^n}[/math] jest rosnący. Aby to zobaczyć pokażemy, że iloraz [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/math] jest większy od 1. Istotnie [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\frac{(n+1)!e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{n!e^n}{n^n}}=\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\gt 1[/math].
Zadanie 2
Obliczyć promień zbieżności szeregu
[math] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(7x+1)^{2n}}{n^7}[/math]
Szereg jest zbieżny bezwzględnie jeśli [math]\lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|\frac{(7x+1)^{2n}}{n^7}\right|}\lt 1[/math] tzn. gdy [math]|7x+1|^{2}\lt 1[/math] czyli w ,,kole" (odcinku) o promieniu [math]\frac{1}{7}[/math].
Zadanie 3
Całkując w kole zbieżności rozwinięcie w szereg Taylora funkcji [math] f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/math] znaleźć rozwinięcie w szereg Taylora arcus tangensa.
Rozwinięciem [math] f(x)=\frac{1}{1+x^2}[/math] dla [math]|x|\lt 1[/math] jest
[math]\frac{1}{1+x^2}= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}[/math].
Całkując obustronnie (po prawej stronie wyraz po wyrazie w kole zbieżności) otrzymujemy
[math]\arctan x= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}x^{2n+1} +c[/math].
Wstawiając [math]x=0[/math] otrzymujemy [math]c=0[/math]. Ostatecznie mamy więc
[math]\arctan x= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1}x^{2n+1} [/math].
Zadanie 4
Udowodnij, że jeśli
[math] \cos z =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!} [/math]
oraz
[math] \sin z =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!} [/math]
to
[math] \cos^2 z+\sin^2 z=1[/math].
Użyteczna będzie tożsamość [math] \sum_{k=0}^n {2n+2 \choose 2n-2k+1}=\sum_{k=0}^{n+1} {2n+2 \choose 2n-2k+2}[/math], która jest bezpośrednią konsekwencją rozwinięcia dwumianu Newtona [math] 0=(1-1)^{2n+2}= \sum_{k=0}^{n+1} {2n+2 \choose 2n-2k+2}-\sum_{k=0}^n {2n+2 \choose 2n-2k+1}[/math].
Podnieśmy najpierw [math] \cos \, z [/math] do kwadratu
[math] \cos^2 z=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(z^{2})^n}{(2n)!} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(z^{2})^n}{(2n)!} =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k)!} \frac{1}{(2(n-k))!} \right) z^{2n}= =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k)!} \frac{1}{(2(n-k))!} \right) z^{2n}=[/math] [math]=1+\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k)!} \frac{1}{(2(n-k))!} \right) z^{2n}= 1+\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \left(\sum_{k=0}^{n+1} \frac{1}{(2k)!} \frac{1}{(2(n+1-k))!} \right) z^{2n+2}= [/math] [math] =1+\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{(2n+2)!} \left(\sum_{k=0}^{n+1} {2n+2 \choose 2n-2k+2} \right) z^{2n+2} [/math].
Analogicznie dla [math] \sin \, z [/math] mamy
[math] \sin^2 z=z^2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(z^{2})^n}{(2n+1)!} \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(z^{2})^n}{(2n+1)!} =z^2\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \left(\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{(2k+1)!} \frac{1}{(2(n-k)+1)!} \right) z^{2n}= [/math] [math] =\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(2n+2)!} \left(\sum_{k=0}^{n} {2n+2 \choose 2n-2k+1} \right) z^{2n+2}[/math].
Dodając tak otrzymane wyniki i używając tożsamości zasugerowanej we wskazówce otrzymujemy
[math] \cos^2 z+\sin^2 z=1[/math].
