Matematyka 1 OO/Całki nieoznaczone

Zadanie

[math] \int e^{-\lambda x} \,{\rm d}x= -\frac{1}{\lambda }e^{-\lambda x} [/math]

Zadanie

[math] \int \sin (\beta x) \,{\rm d}x= -\frac{1}{\beta }\cos (\beta x) [/math]

Zadanie

[math] \int \cosh (x)\,{\rm d}x= \int \frac{e^x+e^{-x}}{2}\,{\rm d}x=\frac{1}{2}\int e^x\,{\rm d}x+\frac{1}{2}\int e^{-x}\,{\rm d}x=\frac{1}{2} e^x -\frac{1}{2} e^{-x} = \sinh (x) [/math]

Zadanie

[math] \int \cot (x)\,{\rm d}x= \int \frac{\cos (x)}{\sin (x)}\,{\rm d}x= \left| \begin{array}{l} v=\sin {x} \\ dv=\cos {x}\,{\rm d}x \end{array} \right| =\int \frac{{\rm d}v}{v}=\ln |v|=\ln |\sin {x}| [/math]

Zadanie

[math]\begin{matrix} \int x\sin {x}\,{\rm d}x&&\!\!\!\!\!\!\!\! = \left| \begin{array}{ll} v=x & v^{\prime }=1 \\ u^{\prime }=\sin {x} & u=-\cos {x} \end{array} \right| =-x\cos {x}-\int (-\cos {x})\,{\rm d}x\\[4pt] &&\!\!\!\!\!\!\!\! =-x\cos {x}+\sin {x} \end{matrix}[/math]

Zadanie

[math]\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!\int \sin ^2{x}\,{\rm d}x= \left| \begin{array}{ll} v=\sin {x} & v^{\prime }=\cos {x} \\ u^{\prime }=\sin {x} & u=-\cos {x} \end{array} \right| =-\sin {x}\cos {x}-\int (-\cos ^2{x})\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=-\sin {x}\cos {x}+\int (1-\sin ^2{x})\,{\rm d}x=-\sin {x}\cos {x}+x-\int \sin ^2{x}\,{\rm d}x\end{matrix}[/math]

Porównując pierwsze i ostatnie wyrażenie w tym ciągu równości

[math] \int \sin ^2{x}\,{\rm d}x= -\sin {x}\cos {x}+x-\int \sin ^2{x}\,{\rm d}x[/math]

otrzymujemy końcowy wynik

[math] \int \sin ^2{x}\,{\rm d}x= \frac{1}{2}\left(x-\sin {x}\cos {x}\right) [/math]

Zadanie

[math]\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!\int e^x\sin {x}\,{\rm d}x= \left| \begin{array}{ll} v=\sin {x} & v^{\prime }=\cos {x} \\ u^{\prime }=e^x & u=e^x \end{array} \right| =e^x\sin {x}-\int e^x\cos {x}\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!= \left| \begin{array}{ll} p=\cos {x} & p^{\prime }=-\sin {x} \\ q^{\prime }=e^x & q=e^x \end{array} \right| =e^x\sin {x}-e^x\cos {x}+\int e^x(-\sin {x})\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=e^x\left(\sin {x}-\cos {x}\right)-\int e^x\sin {x}\,{\rm d}x\end{matrix}[/math]

Porównując pierwsze i ostatnie wyrażenie w tym ciągu równości otrzymujemy

[math] \int e^x\sin {x}\,{\rm d}x= \frac{1}{2}e^x\left(\sin {x}-\cos {x}\right) [/math]

Należy podkreślić, że:

• przy pierwszym całkowaniu przez części nie ma znaczenia, którą z funkcji ([math]e^x[/math] czy [math]\sin {x}[/math]) będziemy różniczkowali, a którą będziemy całkowali;
• przy drugim całkowaniu przez części jest ważne, którą z funkcji (dla powyższego rachunku: [math]e^x[/math] i [math]\cos {x}[/math]) będziemy różniczkowali, a którą będziemy całkowali.

Zły wybór przy drugim całkowaniu przez części prowadzi to wyniku [math]0=0[/math].

Zadanie

[math] \int \frac{x^2+3x+1}{x+2}\,{\rm d}x[/math]

Na początek podcałkową funkcję wymierną należy sprowadzić do postaci standardowej

[math] \frac{x^2+3x+1}{x+2}=ax+b+\frac{c}{x+2} [/math]

Sprowadzając prawą stronę do wspólnego mianownika [math](ax^2+2ax+bx+2b+c)/(x+2)[/math] dostajemy układ równań na liczby [math]a[/math], [math]b[/math] i [math]c[/math]:

[math] \left\lbrace \begin{array}{l} a=1\\ 2a+b=3\\ 2b+c=1 \end{array} \right. [/math]

który ma rozwiązanie: [math]a=1[/math], [math]b=1[/math], [math]c=-1[/math]. Możemy teraz łatwo obliczyć zadaną całkę:

[math] \int \frac{x^2+3x+1}{x+2}\,{\rm d}x= \int \left(x+1-\frac{1}{x+2}\right)\,{\rm d}x=\frac{1}{2}x^2+x-\ln |x+2| [/math]

Zadanie

[math] \int \frac{x^2+3x-2}{x^2-3x+2}\,{\rm d}x[/math]

Przekształcamy podcałkową funkcje wymierną. Na początek rozkładamy mianownik na czynniki:

[math] \Delta =9-8=1 \qquad \qquad x_1=\frac{3-1}{2}=1 \qquad \qquad x_2=\frac{3+1}{2}=2 [/math]

[math]\begin{matrix}\frac{x^2+3x-2}{x^2-3x+2} = \frac{x^2+3x-2}{(x-2)(x-1)} &&\!\!\!\!\!\!\!\!= \frac{a}{x-2}+\frac{b}{x-1}+c \\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\frac{ax-a+bx-2b+cx^2-3cx+2c}{(x-2)(x-1)} \end{matrix}[/math]

Układ równań [math] \left\lbrace \begin{array}{l} c=1\\ a+b-3c=3\\ -a-2b+2c=-2 \end{array} \right. [/math] ma rozwiązanie: [math]\left\lbrace \begin{array}{l} a=8\\ b=-2\\ c=1 \end{array} \right. [/math].

Teraz możemy już łatwo obliczyć zadana całkę

[math] \int \frac{x^2+3x-2}{x^2-3x+2}\,{\rm d}x= \int \left(\frac{8}{x-2}-\frac{2}{x-1}+1\right)\,{\rm d}x= 8\ln |x-2|-2\ln |x-1|+x [/math]

Zadanie

[math] \int \frac{2x^2+3x+2}{(x+1)^2}\,{\rm d}x[/math]

Funkcję wymierną można przekształcać również bez jawnego wypisywania układu równań (to części studentów może jednak sprawiać trudności - standardowe procedury są zawsze bezpieczniejsze).

[math]\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!\int \frac{2x^2+3x+2}{(x+1)^2}\,{\rm d}x=\int \frac{2(x+1)^2-2(x+1)^2+2x^2+3x+2}{(x+1)^2}\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\int \frac{2(x+1)^2-2x^2-4x-2+2x^2+3x+2}{(x+1)^2}\,{\rm d}x=\int \frac{2(x+1)^2-x}{(x+1)^2}\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\int \left(2-\frac{x}{(x+1)^2}\right)\,{\rm d}x=\int \left(2-\frac{x+1-1}{(x+1)^2}\right)\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\int \left(2-\frac{x+1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x+1)^2}\right)\,{\rm d}x=2\int \,{\rm d}x-\int \frac{1}{x+1}\,{\rm d}x+\int \frac{1}{(x+1)^2}\,{\rm d}x\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=2x-\ln |x+1|-\frac{1}{x+1} \end{matrix}[/math]

Zadanie

[math]\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\!\!\int \sqrt{1+x^2}\,{\rm d}x= \left| \begin{array}{l} x=\sinh {y} \\ {\rm d}x=\cosh {y}\,{\rm d}y \end{array} \right| =\int \sqrt{1+\sinh ^2{y}}\cosh {y}\,{\rm d}y=\int \cosh ^2{y}\,{\rm d}y\\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\int \left(\frac{e^y+e^{-y}}{2}\right)^2\,{\rm d}y=\frac{1}{4}\int e^{2y}\,{\rm d}y+\frac{1}{2}\int \,{\rm d}y+\frac{1}{4}\int e^{-2y}\,{\rm d}y=\frac{1}{8} e^{2y}+\frac{1}{2}y-\frac{1}{8}e^{-2y} \\&&\!\!\!\!\!\!\!\!=\frac{1}{4}\sinh (2y)+\frac{1}{2}y \end{matrix}[/math]

Trzeba jeszcze przejść od zmiennej [math]y[/math] do początkowej zmiennej [math]x[/math].

[math] \frac{1}{4}\sinh (2y) =\frac{1}{2}\sinh {y}\cosh {y} =\frac{1}{2}\sinh {y}\sqrt{1+\sinh ^2{y}} =\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2} [/math]

Wyraz [math]\frac{1}{2}y[/math] można zapisać jako [math]\frac{1}{2}{\rm arcsinh}(x)[/math] lub wyrazić przez bardziej znane funkcje:

[math] x=\sinh {y}=\frac{1}{2}(e^y-e^{-y}) \qquad \qquad e^y-2x-e^{-y}=0 \qquad \qquad e^{2y}-2xe^y-1=0 [/math]

Wprowadzamy nową zmienną [math]z=e^y[/math]

[math] z^2-2xz-1=0 \qquad \qquad \Delta =4x^2+4 [/math]

[math] z_1=\frac{2x-\sqrt{4+4x^2}}{2}=x-\sqrt{1+x^2} \qquad \qquad z_2=\frac{2x+\sqrt{4+4x^2}}{2}=x+\sqrt{1+x^2} [/math]

Łatwo zobaczyć, że [math]z_1\lt 0[/math] dla dowolnego [math]x[/math]. Zmienna [math]z[/math] musi być dodatnia, bo ma być równa [math]e^y[/math]. Dlatego musimy użyć rozwiązania [math]z_2[/math]:

[math] e^y=z_2=x+\sqrt{1+x^2} \qquad \Rightarrow \qquad y=\ln (x+\sqrt{1+x^2}) [/math]

Korzystając z wzorów na [math]\sinh (2y)[/math] i [math]y[/math] jako funkcji zależnych od [math]x[/math] obliczamy wyjściową całkę:

[math] \int \sqrt{1+x^2}\,{\rm d}x=\frac{1}{2}x\sqrt{1+x^2}+\frac{1}{2}\ln (x+\sqrt{1+x^2}) [/math]

Przy okazji wykazaliśmy równość: [math]{\rm arcsinh}(x)=\ln (x+\sqrt{1+x^2})[/math]

Ważne:

poprawność wszystkich trudniejszych całek trzeba sprawdzić wykonując odpowiednie różniczkowania