Matematyka 1 OO/Szeregi funkcyjne

Zadanie

Przypominamy podstawowe szeregi funkcyjne wprowadzone na wykładzie

[math] e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{n!}\,x^n [/math]

Można to zapisać jako

[math] e^x = \sum _{n=0}^{\infty } a_n x^n \qquad \qquad {\rm gdzie}\qquad \qquad a_n=\frac{1}{n!} [/math]

Przypadek funkcji trygonometrycznych jest nieco bardziej skomplikowany, jeśli chcemy znaleźć ogólną postać współczynników odpowiednich szeregów. Dla sinusa mamy

[math] \sin (x) = x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 - \frac{1}{7!}x^7 \ldots = \sum _{n=0}^{\infty } b_n x^n [/math]

Współczynniki [math]b_n[/math] najłatwiej podać osobno dla parzystych i nieparzystych [math]n[/math]

[math] b_n = \left\lbrace \begin{array}{ccl} \displaystyle \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} & dla & n=2k+1 \\[4pt] 0 & dla & n=2k \end{array} \right. [/math]

Można próbować zapisać [math]b_n[/math] jednym wzorem zależnym od [math]n[/math] (bez podawania, czy jest ono parzyste czy nieparzyste). Zaczynamy od tego, że dla parzystych [math]n[/math] zapisujemy [math]b_n[/math] używając [math]n[/math] zamiast [math]k[/math]. Związek między [math]n[/math] i [math]k[/math] ma postać: [math]k=(n-1)/2[/math], co daje

[math] \tilde{b}_n=\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!} [/math]

gdzie tylda ma przypominać, że jest to wzór słuszny tylko dla nieparzystych [math]n[/math]. W celu uzyskania wzoru słusznego dla wszystkich [math]n[/math] możemy pomnożyć prawą stronę powyższej równości przez wyrażenie, które daje 1 dla nieparzystych [math]n[/math] i 0 dla [math]n[/math] parzystych. Może to być np. [math](1-(-1)^n)/2[/math]. Dostajemy

[math] {b}_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\,\frac{(-1)^{(n-1)/2}}{n!} [/math]

Ten wynik nie jest jeszcze w pełni zadowalający, ponieważ dla parzystych [math]n[/math] po prawej stronie pojawia się wyrażenie [math]\sqrt{-1}[/math], a na zajęciach nie były jeszcze wprowadzone liczby zespolone. W celu uzyskania wyniku zawierającego tylko liczny rzeczywiste, możemy wykładnik przy [math](-1)[/math] pomnożyć przez wyrażenie zerujące się dla parzystych [math]n[/math], np. przez użyte już [math](1-(-1)^n)/2[/math]. Końcowy wynik na współczynnik rozwinięcia funkcji sinus ma dość skomplikowaną postać

[math] {b}_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\,\frac{(-1)^{\left[1-(-1)^n\right](n-1)/4}}{n!} [/math]

W przypadku funkcji cosinus ograniczamy się do prostej postaci

[math] \cos (x) = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{4!}x^4 - \frac{1}{6!}x^6 \ldots = \sum _{n=0}^{\infty } c_n x^n [/math]

gdzie

[math] c_n = \left\lbrace \begin{array}{ccl} 0 & dla & n=2k+1 \\[4pt] \displaystyle \frac{(-1)^k}{(2k)!} & dla & n=2k \end{array} \right. [/math]

Zadanie

Znaleźć rozwinięcie funkcji hiperbolicznych [math]\sinh (x)[/math] i [math]\cosh (x)[/math] wokół [math]x=0[/math].

[math]\begin{matrix} \sinh (x) &&\!\!\!\!\!\!\!\! = \frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right) \\ && = \frac{1}{2}\left(1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots \right) -\frac{1}{2} \left(1 + (-x) + \frac{1}{2!}(-x)^2 + \frac{1}{3!}(-x)^3 + \ldots \right) \\ && = \frac{1}{2}\left(1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \ldots \right) - \frac{1}{2}\left(1 - x + \frac{1}{2!}x^2 - \frac{1}{3!}x^3 + \ldots \right) \\ && = \frac{1}{2}\left(2x + 2\frac{1}{3!}x^3 + 2\frac{1}{5!}x^5 + \ldots \right) = x + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 + \ldots \end{matrix}[/math]

Współczynniki rozwinięcia funkcji [math]\sinh [/math]

[math] \sinh (x) = \sum _{n=0}^{\infty } b_n x^n [/math]

mają więc postać

[math] b_n=\frac{1-(-1)^n}{2}\,\frac{1}{n!} = \left\lbrace \begin{array}{ccl} \displaystyle \frac{1}{n!} & dla & n=2k+1 \\[4pt] 0 & dla & n=2k \end{array} \right. [/math]

Analogicznie, dla funkcji [math]\cosh [/math] otrzymujemy

[math] \cosh (x) = \sum _{n=0}^{\infty } c_n x^n [/math]

gdzie

[math] c_n=\frac{1+(-1)^n}{2}\,\frac{1}{n!} = \left\lbrace \begin{array}{ccl} 0 & dla & n=2k+1 \\[4pt] \displaystyle \frac{1}{n!} & dla & n=2k \end{array} \right. [/math]

Warto zwrócić uwagę na podobieństwa szeregów funkcyjnych dla [math]\sin (x)[/math] i [math]\sinh (x)[/math] oraz dla [math]\cos (x)[/math] i [math]\cosh (x)[/math].