Matematyka II NI/Liczby zespolone

Z Brain-wiki

Liczby zespolone

Zadanie 1

Oblicz [math] (2+i)(-3i+4)-(i+7) [/math].





Zadanie 2

Znajdź [math] \operatorname{Re} [(2+i)(-3i+4)-2i-5)] [/math], [math] \operatorname{Im} [(2+i)(-3i+4)-2i-5)] [/math], [math]|(2+i)(-3i+4)-2i-5)| [/math].





Zadanie 3

Zapisz [math]\frac{1+2i}{1-4i}[/math], w postaci [math]a + ib[/math], gdzie [math] a,b \in \mathbb{R}[/math]

Znajdź [math] \operatorname{Re} \left[\frac{1+2i}{1-4i}\right] [/math], [math] \operatorname{Im} \left[\frac{1+2i}{1-4i}\right] [/math], [math]\left|\frac{1+2i}{1-4i}\right| [/math].





Zadanie 4

Znajdź [math] \operatorname{Arg} (1-i) [/math],   [math] \operatorname{arg} (1-i) [/math].





Zadanie 5

Znajdź postać trygonometryczną i wykładniczą następujących liczb zespolonych

[math] 7 [/math],  , [math] -7 [/math],  , [math] -2i [/math],  , [math] -i-1 [/math],  , [math] -\sqrt{3}+i [/math],  

[math] \frac{1+it}{1-it} \,\,\, t\in\mathbb{R} [/math].




Zadanie 6

Wyraź przy pomocy wielomianu od [math]\sin x [/math] i [math]\cos x [/math] funkcje [math]\sin (5x) [/math], [math]\cos (5x) [/math]




Zadanie 7

Udowodnij, że

[math]\sum_{k=1}^n \sin (kx) =\frac{\sin\frac{nx}{2} \sin\frac{(n+1)x}{2} }{\sin\frac{x}{2}}[/math]

gdzie [math] x\neq 2k\pi [/math], [math] k\in \mathbb{Z} [/math].




Zadanie 8

Niech [math] f(b)=\left\{\begin{matrix}1 \hbox{ dla } b \geq 0 \\ -1 \hbox{ dla } b \lt 0\end{matrix} \right. [/math].

Pokazać że [math] \sqrt{a+bi}=\pm \left(\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}{2}}+f(b)\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}{2}} \,\, i \right) [/math] gdzie pierwiastki po prawej stronie są pierwiastkami arytmetycznymi.




Zadanie 9

Rozwiąż równania

a) [math]z^2-4z+5=0[/math],

b) [math]z^2+z+3i-1=0[/math],

c) [math]z^6+64 =0[/math],




Zadanie 10

Rozłóż wielomian [math]w(z)=z^6+1[/math] na iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej drugiego.




Zadanie 11

Czy liczba [math](1+i)^{2012}[/math] jest całkowita.





Zadanie 12

Udowodnij, że

a) [math]\overline{z_1 z_2}= \overline{z_1} \, \, \overline{z_2}[/math] ,

b) [math]|z_1 z_2|= |z_1| \, \, |z_2|[/math].