STAT:Model autoregresyjny (AR)
Model autoregresyjny (AR)
Model autoregresyjny (rzędu [math]M[/math]) opisuje procesy dyskretne, w których wartość sygnału w danej chwili jest sumą liniowej kombinacji [math]M[/math] wartości poprzednich i nieskorelowanego szumu [math]\epsilon[/math]
W każdej realizacji tego samego procesu (dla tych samych współczynników [math]a_i[/math] i wartości początkowych sygnału), [math]\epsilon_t[/math] są niezależnymi liczbami losowymi, więc o wartości [math]s(t)[/math] w konkretnej chwili [math]t[/math] możemy mówić tylko językiem prawdopodobieństwa.
Mimo tego, na podstawie współczynników AR możemy określić wiele ogólnych własności sygnału, np. wartość oczekiwaną [math]\bar{s}[/math] (w praktyce estymowaną przez wartość średnią) i wariancję (jej estymatorem jest kwadratów odchyleń wartości sygnału od wartości oczekiwanej), a nawet widmo mocy. Można również rozważać szersze klasy modeli tego typu, jak np. model MA (ruchomej średniej, ang. moving average), gdzie uśredniamy [math]\epsilon_t[/math] zamiast [math]s(t)[/math], czy proces mieszany ARMA, opisany między innymi w klasycznych pozycjach „Analizie szeregów czasowych”, autorstwa Boxa i Jenkinsa oraz w „Metodach analizy szeregów czasowych” autorstwa Piersola i Bendata.
Najprostszym przykładem jest proces AR pierwszego rzędu (nazywany liniowym procesem Markowa), czyli: [math] s[n] = a s[n-1] + \epsilon_n [/math]
Inaczej [math] s[n] = \epsilon_n + a (\epsilon_{n-1}+a \epsilon_{n-2}+\ldots) = \ldots = \epsilon_n + a\epsilon_{n-1} + a^2\epsilon_{n-2} +\ldots [/math]
Jeśli wartość oczekiwana [math]\epsilon_i[/math] wynosi 0 ([math]E(\epsilon_i)=0[/math]) a wariancja [math]\sigma^2(\epsilon_i)=\sigma_\epsilon^2[/math], to wariancja w punkcie [math]n[/math]
[math]\begin{matrix} \sigma^2_{s[n]} = E\left( (\epsilon_n + a\epsilon_{n-1} + a^2\epsilon_{n-2}+\ldots+a^{n-1}\epsilon_1)^2\right) =\\ = \sigma_\epsilon^2 \left(1+a^2+a^4+\ldots+a^{2n-2} \right) = \left\{ \begin{matrix} \sigma_\epsilon^2 \left(\frac{1-a^{2n}}{1-a^2} \right) & |a|\ne 1\\ n \sigma_\epsilon^2 & |a|=1 \end{matrix} \right. \end{matrix}[/math]
Autokowariancja [math]E(s[n] s[n+\tau])[/math] [math]\begin{matrix} E\left( (\epsilon_n + a\epsilon_{n-1} + a^2\epsilon_{n-2}+\ldots+a^{n-1}\epsilon_1) (\epsilon_{n+\tau} + a\epsilon_{n+\tau-1} +\ldots+a^{n+\tau-1}\epsilon_1)\right) =\\ = \sigma_\epsilon^2 \left(a^\tau+a^{\tau+2}+\ldots+a^{\tau+2(n-1)} \right) = \left\{ \begin{matrix} \sigma_\epsilon^2 a^\tau \left(\frac{1-a^{2n}}{1-a^2} \right) & |a|\ne 1\\ n \sigma_\epsilon^2 & |a|=1 \end{matrix} \right. \end{matrix}[/math]
Dla [math]|a|\ne 1[/math] przy [math]n\rightarrow\infty[/math] [math] \sigma^2_{x[n]} \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \frac{\sigma^2_\epsilon}{1-a^2} \;\;\; ; \;\;\; \sigma_{x[n], x[n+\tau]} \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} \frac{\sigma^2_\epsilon a^\tau}{1-a^2} [/math]
Autokowariancja [math] \rho(\tau) = \frac{ \sigma_{x[n], x[n+\tau]} }{ \sigma^2_{x[n]} } \stackrel{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow} a^{|\tau|} [/math]
Proces jest asymptotycznie stacjonarny do rzędu 2, czyli wariancja i średnia nie zależą od czasu.
Dla [math]a=1[/math] proces ten obrazuje tzw. błądzenie przypadkowe.
Na podstawie znajomości samego współczynnika [math]a[/math] modelu AR(1) policzyliśmy np. funkcję autokorelacji modelu, co daje już znajomość widma procesu (z tw. Wienera-Chinczyna). Podobnie w procesach wyższych rzędów (1) znajomość współczynników [math]\{a_i\}_{i=1..M}[/math] daje nam dokładną wiedzę o własnościach generowanych przez nie procesów, bez znajomości sygnału [math]s[n][/math], którego wartości mogą różnić się w kolejnych realizacjach ze względu na element stochastyczny — szum [math]\epsilon[/math].
W praktyce analizy sygnału postępujemy odwrotnie — do konkretnej realizacji dopasowujemy model AR. Głównym problemem jest wybór rzędu modelu, estymacja współczynników [math]a_i[/math] najlepiej pasujących do danego sygnału posiada stabilne rozwiązania.
Jeśli dozwolimy, aby sygnał zależał również bezpośrednio od poprzednich wartości szumu [math]\epsilon[/math], dostajemy pełną postać procesu ARMA(L,M) (ang. auto-regressive moving average):
