Wielomiany

Wielomiany

Wielomianem jednej zmiennej (tu: rzeczywistej) nazywamy funkcję

[math] W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\dots + a_{1}x + a_{0} , \;\; {\rm gdzie} a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \in \mathbb R, x\in \mathbb R [/math]

Liczby [math]a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0[/math] nazywamy współczynnikami wielomianu.

Jeśli [math]a_n\ne 0[/math], to liczbę [math]n[/math] nazywamy stopniem wielomianu: deg[math]W=n[/math] ("degree").

Jeśli [math]\forall_{x\in\mathbb R} W(x)=0[/math], to wielomian nazywamy zerowym. Ma on wszystkie współczynniki równe zeru. Takiemu wielomianowi nie przypisujemy żadnego stopnia. (Można mu też przypisać stopień [math]-\infty[/math]).

Równość wielomianów

Mówimy, że dwa wielomiany [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] zmiennej rzeczywistej są równe [math]\Longleftrightarrow[/math] gdy przyjmują te same wartości dla każdej wartości zmiennej [math]x[/math]: [math]f=g \Longleftrightarrow \forall_{x\in \mathbb R} f(x)=g(x)[/math].

Twierdzenie o równości wielomianów

Dwa wielomiany [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] zmiennej rzeczywistej są równe (zapisujemy to: [math]f\equiv g[/math]) wtedy i tylko wtedy gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej [math]x[/math].

Twierdzenie o dzieleniu wielomianów

Jeśli [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] są wielomianami i [math]g(x)[/math] nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany [math]q(x)[/math], [math]r(x)[/math], że [math]f(x)=q(x) g(x) + r(x)[/math], przy czym [math]\deg r \lt \deg g[/math]. Wielomian [math]q(x)[/math] nazywamy ilorazem wielomianów [math]f[/math] i [math]g[/math], zaś wielomian [math]r[/math] — resztą z dzielenia [math]f[/math] przez [math]g[/math].

Podzielność wielomianów

Jeśli [math]r(x)\equiv 0[/math], to mówimy, że wielomian [math]f[/math] jest podzielny przez wielomian [math]g[/math].

Pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu [math]f[/math] nazywamy taką liczbę rzeczywistą [math]x_0[/math], że [math]W(x_0)=0[/math].

O dzieleniu wielomianu przez dwumian

Reszta z dzielenia wielomianu [math]W(x)[/math] przez dwumian [math]x-a[/math] jest równa [math]W(a)[/math].

Twierdzenie Bèzout

Liczba [math]a[/math] jest pierwiastkiem wielomianu [math]W(x)[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian [math]W(x)[/math] jest podzielny przez [math]x-a[/math].

Inna postać zapisu tw. Bèzouta

Jeśli [math]a[/math] jest pierwiastkiem wielomianu [math]W(x)[/math], to można go zapisać w postaci: [math]W(x) = p(x)(x-a)[/math], gdzie [math]p(x)[/math] jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż [math]W(x)[/math].

Twierdzenie

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

Twierdzenie

Każdy wielomian [math]n[/math]—tego stopnia ma co najwyżej [math]n[/math] pierwiastków.

Twierdzenie

Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek.

Krotność pierwiastka

Liczbę [math]a[/math] nazywamy [math]k[/math]—krotnym (gdzie [math]k\in \mathbb N[/math]) pierwiastkiem wielomianu [math]W(x)[/math] [math]\Longleftrightarrow[/math] [math]W(x)[/math] jest podzielny przez [math](x-a)^k[/math], ale nie jest podzielny przez [math](x-a)^{k+1}[/math]. Liczbę [math]k[/math] nazywamy krotnością pierwiastka.

Funkcje wymierne

Funkcję: [math]f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}[/math], gdzie [math]P(x), Q(x)[/math] są wielomianami i [math]Q(x)\not\equiv 0[/math], nazywamy funkcją wymierną.

Dziedziną [math]D_f[/math] tej funkcji jest zbiór [math]D_f=\{x\in\mathbb R: Q(x)\ne 0\}[/math].