Tekst źródłowy strony Analiza sygnałów wielowymiarowych


==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Analiza sygnałów wielowymiarowych==
Stan badanego systemu może być odzwierciedlany zmianami więcej niż
jednego sygnału.  Do analizy rynku konieczne może być uwzględnienie
zmian wartości wielu spółek i jednocześnie innych wskaźników
gospodarczych, na potrzeby badania czynności elektrycznej mózgu ([[EEG|EEG]])
czy serca (EKG) zapisujemy przebiegi potencjału z wielu elektrod
umieszczonych w różnych miejscach na głowie czy klatce piersiowej.
''Sygnałem N-wymiarowym'' nazwiemy przypisanie każdej chwili czasu
<math>t</math> wektora wartości <math>\vec{s}=\{s_1, s_2 \dots
s_N\}</math>, opisującego wartości przyjmowane przez każdy z
mierzonych sygnałów <math>s_1(t), s_2(t) \dots s_N(t)</math> w danej
chwili <math>t</math>.

Pierwszą miarą użyteczną w tym przypadku będzie wspomniana już
korelacja, opisująca podobieństwo dwóch mierzonych jednocześnie
sygnałów.  Istnienie opóźnień czasowych między sygnałami wykaże
wspomniana również funkcja korelacji wzajemnej, mierząca podobieństwo
dwóch sygnałów w funkcji przesunięcia w czasie jednego z nich.  Z
kolei funkcja koherencji opisuje podobieństwo dwóch sygnałów w funkcji
częstości.

Trudniejszym zadaniem jest próba jednoczesnego uwzględnienia
zależności między wszystkimi dostępnymi sygnałami. Stosuje się tu
wiele metod, zarówno wywodzących się ze statystyki (jak analiza
składowych głównych czy analiza czynnikowa) jak i opracowywanych
specjalnie na potrzeby analizy sygnałów, jak wielowymiarowy model AR
czy analiza składowych niezależnych.  Dla przykładu opiszemy w skrócie
'''niektóre''' z nich.

===Analiza Składowych Głównych (PCA)===

Analiza składowych głównych (''Principal Component Analysis'' , PCA)
znajduje bazę, w której macierz kowariancji <math>c_{ij}</math>
sygnału wielowymiarowego <math>\vec{s}</math> przyjmuje postać
diagonalną (baza Karhunena&mdash;Loève).  Macierz transformacji
<math>B</math> obliczamy zwykle znaną z algeby metodą:

#Wartości własne macierzy kowariancji znajdujemy z równania <math>|C-\lambda I|=0</math>: <math>\begin{vmatrix} c_{11}-\lambda & c_{12} & \dots & c_{1N}\\ c_{21} & c_{22}-\lambda & \dots & c_{2N}\\ &&\ddots&\\ c_{N1} & c_{N2} & \dots &c_{NN}-\lambda \end{vmatrix}=0 </math>
#wektory własne <math>\vec{b}_i</math>, odpowiadające wartościon włanym <math>\lambda_i</math>, spełniają <math>C\vec{b_i}=\lambda_i \vec{b_i}</math>,
#normalizujemy <math>\vec{b_i}</math>. Wyznaczają one kierunki nowego układu współrzędnych, a złożona z nich macierz <math>B</math> odpowiada obrotowi diagonalizującemu macierz kowariancji <math>C</math>.

[[Plik:other_rys_1.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:43"></figure> Kierunki składowych PCA w dwóch wymiarach]]

Celem jest zwykle redukcja wymiaru przez odrzucenie współrzędnych 
odpowiadających mniejszym wartościon <math>\lambda_i</math> lub też 
poszukiwanie nowych współrzędnych ''per se''  (rys. <xr id="fig:43"> %i</xr>).

===Analiza składowych niezależnych (''ICA'' )===

Analiza składowych niezależnych (''Independent Components Analysis'' ,
ICA) to jedno z określeń dla metod rozwiązywania problemu tzw. ślepej
separacji źródeł (''blind source separation, BSS''). Przyjęty model
zakłada, że mamy do czynienia z następującą sytuacją: dane którymi
dysponujemy (<math>\vec{x}</math> &mdash; np. zapisy z kilku mikrofonów)
są liniową mieszaniną kilku statystycznie niezależnych sygnałów
(<math>\vec{s}</math> &mdash; np. głosy kilku mówiących jednocześnie osób,
tzw. ''cocktail party problem''): 

<math> 
\vec{x} = A \vec{s}
</math> 

<math>A</math> zwiemy macierzą mieszającą, a
rozwiązania szukamy w postaci macierzy separującej <math>B</math>, takiej, że wektor sygnałów 

<math> \vec{y}=B\vec{x}
</math> 

jest możliwie bliski (nieznanym) sygnałom
<math>\vec{s}</math>.  Wymóg niezależności statystycznej elementów
<math>\vec{y}</math> wymaga uwzględnienia statystyk rzędów wyższych
niż 2, czyli korelacji (używanych w PCA). Przetwarzanie wstępne
polega często na wyzerowaniu statystyk do rzędu 2, czy odjęciu
średniej i obrocie diagonalizującym macierz kowariancji (zwykle
PCA). Uzyskanie w prosty sposób dekorelacji ułatwia działanie procedur
realizujących dalsze wymagania niezależności. Realizowane są one
zwykle z pomocą sztucznych sieci neuronowych o specjalnie dobieranych
regułach uczenia.

Metodę w obecnej postaci wprowadzono do analizy sygnału w roku 1995 i 
większość aktualnych publikacji i algorytmów znaleźć można w Internecie.


===Common Spatial Patterns (CSP)===

Niech <math>\mathbf{X}_1</math> wymiaru <math>(n,t_1)</math> i <math>\mathbf{X}_2</math> wymiaru <math>(n,t_2)</math> -- dwa okna sygnału wielozmiennego, gdzie  <math>n</math> to liczba kanałów a <math>t_1</math> i <math>t_2</math> to odp. długości okien.

Algorytm CSPznajduje macierz <math>\mathbf{w}</math> która maksymalizuje stosunek wariancji w oknach:
:<math>\mathbf{w}={\arg \max}_\mathbf{w} \frac{ \left\| \mathbf{wX}_1 \right\| ^2 } { \left\| \mathbf{wX}_2 \right\| ^2 }</math>


<references/>