Tekst źródłowy strony Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)

__TOC__

==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)==
System opisać można jako "czarną skrzynkę", generującą sygnał
(wyjście) w odpowiedzi na stan wejścia:

::wejście <math>\longrightarrow</math> '''SYSTEM''' <math>\longrightarrow</math> wyjście (czyli mierzony sygnał)

W takim podejściu system będzie równoważny transformacji
(przekształceniu) sygnału.  Nie tracimy przy tym na ogólności, gdyż
rzadko interesują nas sygnały generowane przez systemy całkowicie
izolowane, czyli pozbawione wejścia.  W skrajnym przypadku możemy
założyć, że wejściem systemu jest szum (jak np. w modelu AR).

Droga do matematycznego opisu rzeczywistości prowadzi przez modele
oparte na pewnych upraszczających je założeniach. Często właśnie wybór
właściwych założeń (czyli uproszczeń) decyduje o sukcesie danego
podejścia, jak np. w przypadku przestrzeni Banacha w analizie
matematycznej. W przypadku teorii systemów szczególną rolę spełniają
dwa założenia: liniowości<ref>Liniowość oznacza, że odpowiedź systemu
na sumę dwóch sygnałów będzię sumą odpowiedzi tego systemu na każdy z
sygnałów podanych osobno, czyli dodanie do wejścia drugiego sygnału
nie zakłóci przetwarzania w tym samym czasie pierwszego z nich. Cecha
taka jest pożądana np. w przypadku sprzętu audio, gdy nie chcemy, aby
smyczki w kwartecie były odtwarzane inaczej niż w partii
solowej.</ref> i niezmienniczości w czasie<ref>Niezmienniczość w
czasie np. charakterystyk wzmacniacza zagwarantuje, że ta sama partia
skrzypiec odtwarzana jutro będzie brzmiała tak samo jak
dzisiaj.</ref>. Na tych dwóch założeniach opiera się cała klasyczna
analiza sygnałów, z której wywodzą się pojęcia widma mocy,
teoria filtrów i wiele innych fundamentalnych idei.


Matematycznie system traktować będziemy jako transformację
(operator), przekształcającą sygnał wejściowy 
<math>x(t)</math>
w <math>y(t)</math>:

<math>x  \longrightarrow</math> <math>T\{\cdot\}</math>  <math>\longrightarrow T\{x\} = y</math>

Będziemy się zajmować klasą systemów liniowych niezmienniczych w
czasie (ang. ''Linear Time-Invariant'', LTI), działających na
sygnałach dyskretnych, czyli:


<math>x[n]  \longrightarrow T\{\cdot\} \longrightarrow T\{x[n]\} = y[n]</math>


System <math>T</math> jest liniowy, gdy:


<math>
T\{a x_1+b x_2\} = a T\{x_1\} + b T\{x_2\} = a y_1 + b y_2
</math>, 


a niezmienniczy w czasie, gdy 


<math>
T\{ x(t) \} = y(t) \Rightarrow T\{ x(t + t_1\} = y(t+t_1)
</math>.


Rozważmy działanie systemu na sekwencję jednostkową


<math>
\delta[n]=\left\{
\begin{matrix}
1 \;\mathrm{dla} \; n=0\\
0 \;\mathrm{dla} \; n\ne 0
\end{matrix}
\right .
</math>


Niech <math>h_k(n)</math> - odpowiedź systemu <math>T</math> na impuls jednostkowy w punkcie <math>k</math>:


<math> 
h_k[n] =  T\{\delta[n-k]\}
</math>

[[Plik:klasyczna_rys_1.jpg|center|600px| Przykładowa odpowiedź systemu na impuls]]


Każdy dyskretny sygnał <math>x</math> możemy przedstawić jako ważoną sumę sekwencji jednostkowych:


<math>
x[n] = \sum_k x[k] \delta[n-k]
</math>


Gdzie <math>x[k]</math>, czyli wartość sygnału <math>x</math> w punkcie <math>k</math>, przyjmuje rolę
liczby mnożącej funkcje <math>\delta[n-k]</math>. Jeśli <math>T</math> jest systemem liniowym, to 


<math>
\displaystyle
y[n] = T\left\{ \sum_k x[k]\delta[n-k] \right\} =\sum_k x[k] T\left\{\delta[n-k]\right\} = \sum_k x[k] h_k[n] 
</math>


(<math>x[k]</math> traktujemy jak liczbę).


Jeśli system jest niezmienniczy w czasie, to odpowiedź na sekwencję jednostkową
<math>T\{\delta[n-k]\} = h_k[n]</math> będzie niezależna od <math>k</math>: <math>T\{\delta[n-k]\} = h[n-k]</math>. 


Wtedy


<equation id="eq:12">
<math>
\displaystyle
y[n]=\sum_k x[k] h[n-k] = x[n] \star h[n] = h[n] \star x[n] = \sum_k h[k] x[n-k]
</math>
</equation>


gdzie <math>\star</math> oznacza splot<ref>Jak widać z równania
<xr id="eq:12"> %i</xr>, splot sygnałów <math>x[n]</math> i <math>y[n]</math> wyraża się
wzorem <math>\sum_k x[k] y[n-k].</math> Symetryczność splotu sekwencji
nieskończonych względem zamiany <math>x</math> i <math>y</math> możemy udowodnić prostym
podstawieniem <math>\sum_k \rightarrow \sum_j,</math> gdzie <math>j=n+k</math>. Wyobrazić sobie splot najłatwiej na przykładzie "długiego" sygnału <math>y</math> i "krótkiego".
<math>x</math>: każdy punkt (<math>n</math>) sygnału <math>y</math> zastępujemy ważoną sumą jego
sąsiednich punktów. Wagami są odpowiednie wartości <math>x</math>. Dla intuicyjnego zrozumienia splotu warto pobawić się dostępnymi w Sieci apletami, które znaleźć można wyszukująć np. hasło "convolution demo" -- np. 
https://phiresky.github.io/convolution-demo/</ref>

Otrzymaliśmy w ten sposób pierwszy ważny wynik:
<blockquote>
Znając odpowiedź systemu liniowego niezmienniczego w czasie na
sekwencję jednostkową, możemy obliczyć jego odpowiedź na dowolny
sygnał. Tak więc funkcja odpowiedzi impulsowej systemu LTI stanowi
jego kompletny opis.
</blockquote>

==Splot i przyczynowość==
Powyższe sumy przebiegają po całym zakresie <math>k</math>


<math>
\displaystyle
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k] 
</math>


Dla systemu przyczynowego, y[n] może zależeć wyłącznie od bieżącej i poprzednich wartości wejścia x[n], nie od przyszłych. Rozpisując explicite dostajemy


<math>
y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k] = 
\sum_{k=-\infty}^{-1} h[k] x[n-k] +
\sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k] 
</math>


Dla zapewnienia przyczynowości kładziemy h[k] = 0 dla k<0, i zostaje tylko drugi człon


<math>
\displaystyle
y[n]=
\sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k] 
</math>



==Własności systemów LTI==

Następnym krokiem w badaniu własności matematycznych przekształceń
bywa poszukiwanie punktów stałych, czyli niezmienników. Rozważmy
przekształcenie LTI wykładniczej funkcji
zespolonej<ref>Przypomnijmy wzór Eulera:


<math>
\displaystyle
e^{ix}=\cos x + i\sin x \quad 	\Rightarrow 
\begin{cases}\cos x = \frac12(e^{ix}+e^{-ix})\\		
\sin x = \frac12(e^{ix}-e^{-ix})	
\end{cases}
</math></ref>
<math>e^{i\omega n}</math>; z <xr id="eq:12">(%i)</xr>


<equation id="eq:13">
<math>
\displaystyle
T\left\{e^{i\omega n}\right\} = \sum_k h[k]\, e^{i\omega (n-k)} =
e^{i\omega n} \sum_k h[k]\, e^{-i\omega k}	 	
</math>
</equation>


Przed znak sumy wyciągneliśmy podlegającą transformacji zespoloną
funkcję wykładniczą <math>e^{i\omega n}</math>. Wartość sumy <math>\sum_k
h[k]\,e^{-i\omega k}</math> zależy od funkcji odpowiedzi impulsowej systemu
<math>h[k]</math> i częstości <math>\omega</math><ref>Po lekturze [[Szereg_Fouriera|rozdziału o szeregu Fouriera]]
sumę tę skojarzymy z transformatą Fouriera
odpowiedzi impulsowej</ref>. Tak więc odpowiedź systemu LTI na funkcję
<math>e^{i\omega n}</math> polega na wymnożeniu tej funkcji przez liczbę, czyli
inaczej mówiąc funkcje zespolone od argmentu urojonego są wektorami
własnymi przekstałceń LTI, a odpowiadające im wartości własne to
<math>\sum_k h[k]\,e^{-i\omega k}</math>.

Gdybyśmy potrafili dowolną funkcję rozłożyć na sumę zespolonych
funkcji wykładniczych, np. w postaci
<math> s[n] = \sum_k a_k e^{i k n},
</math>
działanie systemów LTI ograniczałoby się do łatwo obliczalnych
modyfikacji współczynników <math>a_k</math>. Jak pokazaliśmy wcześniej, rozkłady takie realizują szereg i transformata Fouriera.

<references/>