Z Brain-wiki
Skocz do: nawigacja, szukaj

AS/ Systemy liniowe niezmiennicze w czasie (LTI)

System opisać można jako "czarną skrzynkę", generującą sygnał (wyjście) w odpowiedzi na stan wejścia:

wejście \longrightarrow SYSTEM \longrightarrow wyjście (czyli mierzony sygnał)

W takim podejściu system będzie równoważny transformacji (przekształceniu) sygnału. Nie tracimy przy tym na ogólności, gdyż rzadko interesują nas sygnały generowane przez systemy całkowicie izolowane, czyli pozbawione wejścia. W skrajnym przypadku możemy założyć, że wejściem systemu jest szum (jak np. w modelu AR).

Droga do matematycznego opisu rzeczywistości prowadzi przez modele oparte na pewnych upraszczających je założeniach. Często właśnie wybór właściwych założeń (czyli uproszczeń) decyduje o sukcesie danego podejścia, jak np. w przypadku przestrzeni Banacha w analizie matematycznej. W przypadku teorii systemów szczególną rolę spełniają dwa założenia: liniowości[1] i niezmienniczości w czasie[2]. Na tych dwóch założeniach opiera się cała klasyczna analiza sygnałów, z której wywodzą się pojęcia widma mocy, transmitancji, teoria filtrów i wiele innych fundamentalnych idei.


Matematycznie system traktować będziemy jako transformację (operator), przekształcającą sygnał wejściowy x(t) w y(t):

x  \longrightarrow T\{\cdot\} \longrightarrow T\{x\} = y

Będziemy się zajmować klasą systemów liniowych niezmienniczych w czasie (ang. Linear Time-Invariant, LTI), działających na sygnałach dyskretnych, czyli:

x[n]  \longrightarrow T\{\cdot\} \longrightarrow T\{x[n]\} = y[n]

System T jest liniowy, gdy:

T\{a x_1+b x_2\} = a T\{x_1\} + b T\{x_2\} = a y_1 + b y_2,

a niezmienniczy w czasie, gdy

T\{ x(t) \} = y(t) \Rightarrow T\{ x(t + \delta)\} = y(t+\delta).


Rozważmy działanie systemu na sekwencję jednostkową

\delta[n]=\left\{\begin{matrix}1 \;\mathrm{dla} \; n=0\\0 \;\mathrm{dla} \; n\ne 0\end{matrix}\right .

Niech h_k(n) - odpowiedź systemu T na impuls jednostkowy w punkcie k:

 h_k[n] =  T\{\delta[n-k]\}

Klasyczna rys 1.jpg


Każdy dyskretny sygnał x możemy przedstawić jako ważoną sumę sekwencji jednostkowych:

x[n] = \sum_k x[k] \delta[n-k]

Gdzie x[k], czyli wartość sygnału x w punkcie k, przyjmuje rolę liczby mnożącej funkcje \delta[n-k]. Jeśli T jest systemem liniowym, to

y[n] = T\left\{ \sum_k x[k]\delta[n-k] \right\} =\sum_k x[k] T\left\{\delta[n-k]\right\} = \sum_k x[k] h_k[n]

Jeśli system jest niezmienniczy w czasie, to odpowiedź na sekwencję jednostkową T\{\delta[n-k]\} = h_k[n] będzie niezależna od k: T\{\delta[n-k]\} = h[n-k].

Wtedy

y[n]=\sum_k x[k] h[n-k] = x[n] \star h[n] = h[n] \star x[n] = \sum_k h[k] x[n-k]

gdzie \star oznacza splot[3]

Otrzymaliśmy w ten sposób pierwszy ważny wynik:

Znając odpowiedź systemu liniowego niezmienniczego w czasie na sekwencję jednostkową, możemy obliczyć jego odpowiedź na dowolny sygnał. Tak więc funkcja odpowiedzi impulsowej systemu LTI stanowi jego kompletny opis.

Splot i przyczynowość

Powyższe sumy przebiegają po całym zakresie k

y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k]

Dla systemu przyczynowego, y[n] może zależeć wyłącznie od bieżącej i poprzednich wartości wejścia x[n], nie od przyszłych. Rozpisując explicite dostajemy

y[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty} h[k] x[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{-1} h[k] x[n-k] +\sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k]

Dla zapewnienia przyczynowości kładziemy h[n] = 0 dla n<0, i zostaje tylko drugi człon

y[n]=\sum_{k=0}^{\infty} h[k] x[n-k]

Własności systemów LTI

Następnym krokiem w badaniu własności matematycznych przekształceń bywa poszukiwanie punktów stałych, czyli niezmienników. Rozważmy przekształcenie LTI wykładniczej funkcji zespolonej[4] e^{i\omega n}; z (1)

T\left\{e^{i\omega n}\right\} = \sum_k h[k]\, e^{i\omega (n-k)} =e^{i\omega n} \sum_k h[k]\, e^{-i\omega k}

Przed znak sumy wyciągneliśmy podlegającą transformacji zespoloną funkcję wykładniczą e^{i\omega n}. Wartość sumy \sum_kh[k]\,e^{-i\omega k} zależy od funkcji odpowiedzi impulsowej systemu h[k] i częstości \omega[5]. Tak więc odpowiedź systemu LTI na funkcję e^{i\omega n} polega na wymnożeniu tej funkcji przez liczbę, czyli inaczej mówiąc funkcje zespolone od argmentu urojonego są wektorami własnymi przekstałceń LTI, a odpowiadające im wartości własne to \sum_k h[k]\,e^{-i\omega k}.

Gdybyśmy potrafili dowolną funkcję rozłożyć na sumę zespolonych funkcji wykładniczych, np. w postaci  s[n] = \sum_k a_k e^{i k n}, działanie systemów LTI ograniczałoby się do łatwo obliczalnych modyfikacji współczynników a_k. Jak pokazaliśmy wcześniej, rozkłady takie realizują szereg i transformata Fouriera.

  1. Liniowość oznacza, że odpowiedź systemu na sumę dwóch sygnałów będzię sumą odpowiedzi tego systemu na każdy z sygnałów podanych osobno, czyli dodanie do wejścia drugiego sygnału nie zakłóci przetwarzania w tym samym czasie pierwszego z nich. Cecha taka jest pożądana np. w przypadku sprzętu audio, gdy nie chcemy, aby smyczki w kwartecie były odtwarzane inaczej niż w partii solowej.
  2. Niezmienniczość w czasie np. charakterystyk wzmacniacza zagwarantuje, że ta sama partia skrzypiec odtwarzana jutro będzie brzmiała tak samo jak dzisiaj.
  3. Jak widać z równania %i 1, splot sygnałów x[n] i y[n] wyraża się wzorem \sum_k x[k] y[n-k]. Symetryczność splotu sekwencji nieskończonych względem zamiany x i y możemy udowodnić prostym podstawieniem \sum_k \rightarrow \sum_j, gdzie j=n+k. Wyobrazić sobie splot najłatwiej na przykładzie "długiego" sygnału y i "krótkiego". x: każdy punkt (n) sygnału y zastępujemy ważoną sumą jego sąsiednich punktów. Wagami są odpowiednie wartości x. Dla intuicyjnego zrozumienia splotu warto pobawić się dostępnymi w Sieci apletami, które znaleźć można wyszukująć np. hasło "convolution demo" -- np. https://phiresky.github.io/convolution-demo/
  4. Przypomnijmy wzór Eulera: e^{ix}=\cos x + i\sin x \quad 	\Rightarrow \begin{cases}\cos x = \frac12(e^{ix}+e^{-ix})\\		\sin x = \frac12(e^{ix}-e^{-ix})	\end{cases}
  5. Po lekturze rozdziału o szeregu Fouriera sumę tę skojarzymy z transformatą Fouriera odpowiedzi impulsowej