Tekst źródłowy strony FizykaII OO/Energia fali elektromagnetycznej


==Gęstość pola elektrycznego i magnetycznego==
Gęstość energii zdefiniowana jest jako: <math>\sigma = \frac{d\Gamma}{dV}</math>, gdzie ''V'' &mdash; objętość, <math>\Gamma</math> &mdash; energia. W przypadku pola jednorodnego można wzór zapisać w postaci: <math>\sigma = \frac{\Gamma}{V}</math>. Wykorzystując tę definicję i stosując pewne uproszczenia, które doprowadzą nas do wniosku słusznego ogólnie, wyprowadzimy wzory na gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego.

W przypadku pola elektrycznego posłużymy się uproszczeniem, obliczając gęstość energii zawartej w naładowanym kondensatorze płaskim. Niech kondensator charakteryzują wymiary ''S'' &mdash; powierzchnia, ''d'' &mdash; odległość płyt, <math>\varepsilon</math> &mdash; stała dielektryczna wypełniającego dielektryka. Kondensator naładowany jest do napięcia ''U''.

Pojemność kondensatora <math>C=\varepsilon_r\varepsilon_0 \frac{S}{d}</math>

Energia zmagazynowana w kondensatorze  jest równa pracy ładowania go i obliczamy tę energię następująco:

<math>\Gamma = W = \int Q dU = \int CUdU = \frac{1}{2} CU^2</math>

Natężenie pola elektrycznego w kondensatorze jest równe <math> E = \frac{U}{d}</math>

Zatem gęstość energii obliczamy:

<math>\sigma_E = \frac{\Gamma}{V} = \frac{\frac{1}{2}\varepsilon_r\varepsilon_0}{Sd}\frac{S}{d} E^2d^2= \frac{1}{2}\varepsilon_r\varepsilon_0 E^2</math>

Gęstość energii pola elektrycznego jest proporcjonalna do kwadratu natężenia pola elektrycznego.

Gęstość energii pola magnetycznego wyznaczamy korzystając z definicji gęstości pola oraz z następującego założenia: rozważamy zmiany energii w obwodzie elektrycznym składającym się z połączonych szeregowo &mdash; źródła napięcia o sile elektromotorycznej <math>\mathrm{E}</math>, opornika o oporności ''R'' oraz zwojnicy o indukcyjności ''L''. Zgodnie z II prawem Kirchhoffa można napisać:

<math>\mathrm{E} = L\frac{dI}{dt}+RI</math>

Mnożymy dwustronnie przez natężenie prądu ''I''.

<math>I\mathrm{E} = IL\frac{dI}{dt}+RI^2</math>

Wyraz po lewej stronie równania oznacza moc źródła, pierwszy wyraz po prawej jest równy szybkości zmian energii elektrycznej na magnetyczną w zwojnicy, drugi wyraz to moc wydzielana w postaci ciepła.

<math>\frac{d\Gamma_b}{dt} = LI\frac{dI}{dt}</math>

<math>\Gamma_B - \int LIdI = \frac{1}{2}LI^2</math>

Powyższy wzór wyraża energię zawartą w zwojnicy, przez którą płynie prąd o natężeniu ''I''. Wartość wektora indukcji magnetycznej w zwojnicy jest równa <math>B=\mu\mu_0\frac{In}{l}</math>, gdzie ''n'' &mdash; liczba zwojów, ''l'' &mdash; długość zwojnicy, <math>\mu</math> &mdash; przenikalność magnetyczna rdzenia.

<math> I = \frac{Bl}{n\mu\mu_0}</math> a <math> L= n%2\mu\mu_0 \frac{S}{l}</math>

Podstawiając do wzoru na gęstość energii, otrzymujemy:

<math>\sigma_B = \frac{\Gamma_B}{Sl} = \frac{\frac{1}{2}\frac{n^2S\mu\mu_0}{l}\frac{B^2l^2}{n^2\mu\mu_0}}{Sl} = \frac{1}{1}\frac{B^2}{\mu\mu_0}</math>

Gęstość energii pola magnetycznego jest proporcjonalna do kwadratu wartości wektora indukcji magnetycznej.

==Wektor Pointinga==

W fali elektromagnetycznej w każdej chwili <math>E\perp B\perp c</math>. Wektory natężenia pola elektrycznego i indukcji są prostopadłe do kierunku prędkości rozchodzenia się fali. Ponadto wartości tych wektorów pozostają w związku:

<math> c = \frac{E}{B}</math> oraz <math>c^2=\frac{1}{\mu_0\varepsilon_0}</math>

Wielkością, która określa szybkość przepływu energii przypadającej na jednostkową powierzchnię w fali elektromagnetycznej jest wektor Poytinga <math>\vec{S}</math>

<math>\vec{S} = \frac{1}{\mu_0}\left(\vec{E}\times\vec{B}\right)</math>

<math> S = \frac{EB}{\mu_0} = \frac{E^2}{\mu_0c}</math> &mdash; chwilowa szybkość przepływu energii przez jednostkową powierzchnię.

<math> E = E_0 \sin(kx-\omega t)</math>

<math> S = \frac{E_0^2\sin^2(kx-\omega t)}{\mu_0 c}</math> &mdash; jest to wielkość zmieniająca się w czasie.

Natężenie fali oblicza się uśredniając po okresie  zmienności funkcji <math>\sin^2</math>, co daje

<math> I = S_{sr} = \frac{E_0^2}{2c\mu_0}</math>

==Gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego w każdym punkcie fali elektromagnetycznej jest taka sama==

<math>\sigma_E = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2 = \frac{1}{2c^2\mu_0}B^2 c^2 = \sigma_B </math>