Tekst źródłowy strony FizykaI FMiN/Bryła sztywna 1

__NOTOC__
<span style="font-size:40px">Bryła sztywna</span><br><br>

==Bryła sztywna==


===<u>'''Układ wielu ciał'''</u>===


[[image:ukl_izol_1.png|thumb|350px|right|c|Układ wielu ciał]]

Rozważaliśmy już 
[[Fizyka:Wykład_z_Fizyki_I/Zasada_zachowania_energii|poprzenio]] 
zagadnienie ruchu układu wielu ciał
<span style="color:green">(w inercjalnym układzie odniesienia)</span>.

Zdefiniowaliśmy 
* masę układu
: <math> M \; = \; \sum_i  m_i  </math>
* położenie środka masy:
: <math> \vec{R} \; = \; \frac{1}{M}\sum_i  m_i \;\vec{r}_i  </math>

Do opisu ruchu <span style="color:red">układu jako całości</span>
możemy wprowadzić
* pęd układu
: <math> \vec{P} \; = \; M\; \vec{V}_{CM} </math>

* energię kinetyczną układu jako całości
: <math>E_k \; = \; \frac{M \; {V}_{CM}^2}{2}  \; + \; E_k^\star </math>
gdzie <span style="color:red"><math>E_k^\star</math></span> oznacza energię "wewnętrzna" (energię kinetyczną związaną z ruchem elementów układu względem siebie)

* moment pędu układu
: <math>\vec{L} \; = \;  M \vec{R}_{CM}  \times \vec{V}_{CM} 
\; + \; \vec{L}_{CM}^\star </math>
gdzie <span style="color:red"><math>\vec{L}_{CM}^\star</math></span> oznacza "wewnętrzny" moment pędu

W oparciu o te pojęcia
możemy opisać <span style="color:blue">ruch układu</span> jako całości  
stosując równania ruchu <span style="color:blue">punktu materialnego</span>:

: <math>\frac{d \vec{P}}{dt} \; = \; \vec{F}^{zw}  </math>

: <math>\frac{d \vec{L}}{dt} \; = \; \vec{M}^{zw} </math>
 
Natomiast <span style="color:red">ruch względny</span> ciał układu może być
(w ogólnym przypadku) bardzo skomplikowany...



===<u>'''Definicja'''</u>===

[[image:bryla_1.png|thumb|350px|right|c|Bryła sztywna]]

Szczególnym przypadkiem układu wielu ciał jest układ, w którym
względne odległości między poszczególnymi elementami układu są stałe:
: <math> r_{ij} \; = \; \left| \vec{r}_i - \vec{r}_j \right| 
                 \; = \; const </math>

Układ taki możemy nazywać <span style="color:fuchsia"> bryłą sztywną</span>. 

Na ogół <span style="color:red">ciałem sztywnym</span> nazywamy ciało 
makroskopowe,   które nie podlega deformacjom (lub występujące deformacje
są pomijalnie małe). Zakładamy, że wszystkie punkty mają względem 
siebie stałe odległości.


===<u>'''Położenie'''</u>===

Aby jednoznacznie określić położenie bryły sztywnej w przestrzeni
nie wystarczy (w ogólnym przypadku) podać wektor położenia jej środka masy.

Spróbujmy określić ile parametrów potrzebnych jest do opisania jej położenia. 
Aby "unieruchomić" bryłę sztywną musimy podać:
* położenie wybranego punktu tego ciała <span style="color:green">np. środka masy </span>
: opisują je 3 parametry  (stopnie swobody), np. współrzędne x,y,z
* położenie drugiego wybranego punktu tego ciała
: ponieważ odległość między dwoma punktami jest ustalona wystarczą do tego 2 parametry <span style="color:green">(położenie na sferze)</span>
* położenie trzeciego punktu, niewspółliniowego z poprzednimi
: przy ustalonej pozycji pierwszych dwóch punktów bryła może jedynie obracać się wokół przechodzącej przez nie osi - położenie określa 1 parametr <span style="color:green">(położenie na okręgu)</span>

Po ustaleniu położenia trzech niewspółliniowych punktów bryły wszystkie 
kolejne będą już miały ustaloną pozycję (zadaną przez wzajemne odległości).

Położenie bryły sztywnej opisuje wiec 6 parametrów (mamy  6 stopni swobody):
<span style="color:blue">3 współrzędne</span> 
i <span style="color:red">3 kąty</span>.

==Opis ruchu==

===<u>'''Złóżenie ruchów'''</u>===

Ogólny ruch (zmianę położenia) można przedstawić jako złożenie
<span style="color:blue">ruchu postępowego</span>
oraz 
<span style="color:red">ruchu obrotowego</span>.


[[image:ruch_bryly_1.png|Ruch postępowy]]
[[image:ruch_bryly_2.png|Ruch obrotowy]]

W ruchu postępowym wektory prędkości są takie same dla wszystkich punktów
ciała. 

W ruchu obrotowym wszystkie punkty poruszają się po okręgach
wokół wybranej osi obrotu (najczęściej jest nią środek masy ciała).

Prędkość każdego punktu bryły można zapisać w postaci
:: <math> \vec{v}_i \; = \; \vec{V}_{CM} \; + \; 
         \vec{\omega} \times \left( \vec{r}_i - \vec{R} \right) </math>
:gdzie <math>\vec{V}_{CM}</math> jest prędkością środka masy, a
<math>\vec{\omega}</math> prędkościa kątową w ruchu obrotowym wokół środka
masy.

===<u>'''Chwilowa oś obrotu'''</u>===

[[image:ruch_bryly_3.png|frame|Chwilowa oś obrotu]]

Czasami złożenie ruchu <span style="color:blue">postepowego</span> i 
<span style="color:red">obrotowego</span> 
można przedstawić jako ruch obrotowy względem 
<span style="color:fuchsia">chwilowej osi obrotu</span>.

Jeśli <span style="color:red"><math>\vec{V}_{CM} \perp \vec{\omega}</math></span> wtedy możemy zapisać:
:: <math> \vec{v}_i \; = \;
    \vec{\omega} \times \left( \vec{r}_i - \vec{R}' \right) </math>
: gdzie <span style="color:blue"><math>\vec{R}'</math></span> określa położenie chwilowej osi obrotu (zmienne w czasie!)


===<u>'''Więzy'''</u>===

Ruch bryły sztywnej w ogólnycm przypadku także opisuje 6 parametrów  
(np. <span style="color:blue">prędkość</span> środka masy 
i <span style="color:red">prędkość kątowa</span> w układzie środka masy)


W wielu zagadnieniach ruch bryły sztywnej jest jednak ogranicznony
przez <span style="color:red">więzy</span>, które redukują liczbę
stopni swobody.

Przykładowo:
* koło obracające się na nieruchomej osi &rArr; jeden stopień swobody <span style="color:green">(kąt obrotu)</span>
* walec toczący się bez poślizgu &rArr; jeden st. swobody <span style="color:green">(kąt obrotu <b> lub</b> przesunięcie)</span> 
* walec toczący się z poślizgiem &rArr; dwa stopnie swobody <span style="color:green">(kąt obrotu <b> i </b> przesunięcie)</span> 
* kulka toczące się bez poślizgu  &rArr; trzy stopnie swobody <span style="color:green">(trzy składowe <math>\vec{\omega}</math>)</span> 
 
W rozwiązywaniu zagadnień kluczowe jest zrozumienie jakie są stopnie swobody
Obecność więzów oznacza też obecność 
<span style="color:red">sił reakcji</span> więzów...


==Statyka==

===<u>'''Warunek równowagi'''</u>===


[[image:rownowaga_1.png|frame]]

<span style="color:blue">Bryła sztywna</span> pozostaje nieruchoma, 
wtedy i tylko wtedy,  gdy działające na nią 
<span style="color:red">siły</span> i 
<span style="color:fuchsia">momenty sił</span> równoważą się:

: <math>\vec{F}^{zw} \; = \; \sum_i \vec{F}^{zw}_i \; = \; 0 
 \;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\; \frac{d \vec{P}}{dt} \; = \; 0 </math>

: <math> \vec{M}^{zw} \; = \; \sum_i \vec{M}^{zw}_i \; = \; 0 
 \;\;\; \Longleftrightarrow \;\;\; \frac{d \vec{L}}{dt} \; = \; 0 </math>


Przy czym jeśli wypadkowa sił zewnętrznych znika, 
<span style="color:blue"><math>\vec{F}^{zw} = 0</math></span>, 
to <span style="color:fuchsia">wypadkowy moment sił</span> 
względem każdej osi jest taki sam:
: <math> \vec{r}'_i \; = \; \vec{r}_i \; + \; \vec{R} </math>

: <math> \vec{M}' \; = \; \sum_i \vec{r}'_i \times \vec{F}_i \; = \;
\sum_i \vec{r}_i \times \vec{F}_i + \vec{R} \times \sum_i \vec{F}_i 
\; = \;  \vec{M} </math>

<span style="color:green">Wystarczy sprawdzić warunek równowagi
względem jednej osi</span>
 
Siłami z którymi naogół bedziemy mieli do czynienia w zagadnieniach 
równowagi bryły sztywnej są siła ciężkości i siły reakcji więzów.

===<u>'''Rodzaje równowagi'''</u>===

Nawet jeśli warunek 
<span style="color:blue"><math>\vec{F}^{zw} = \vec{M}^{zw} = 0</math></span>
jest spełniony, równowaga może być:
  
<center>
[[image:rownowaga_2.png|trwała]]
[[image:rownowaga_4.png|obojętna]]
[[image:rownowaga_3.png|chwiejna]]
</center>


Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje
w przypadku równowagi
; trwałej
: pojawienie się siły wypadkowej (momentu siły) przywracającej  równowagę

; obojętnej
: zmianę położenia równowagi

; chwiejnej
: pojawienie się siły wypadkowej zwiększającej wychylenie



===<u>'''Przykład I'''</u>===

Warunkiem <span style="color:blue">równowagi trwałej</span> dla wielościanu 
<span style="color:green">(ustawionego na poziomej powierzchni, pod działaniem siły ciężkości)</span>
jest aby <span style="color:fuchsia">pion</span> wypuszczony ze <span style="color:red">środka ciężkości</span> 
przechodził przez <span style="color:red">podstawę</span>.



Gdy pion przechodzi przez podstawę mamy równowagę trwałą

<center>
[[image:rownowaga_6a.png]]
</center>

Moment siły ciężkości "dociska" bryłę do powierzchni.


Gdy pion wychodzi poza obrys podstawy mamy do czynienia z brakiem równowagi

<center>
[[image:rownowaga_6b.png]]
</center>

Moment siły ciężkości wywraca bryłę


===<u>'''Przykład II'''</u>===

Dwu-stożek położony na nierównoległych szynach:

[[image:rownowaga_5a.png]]
[[image:rownowaga_5b.png]]

Gdy szyny są poziome, stożek będzie się poruszał w 
kierunku szerszego końca.

Szyny stykają się ze stożkiem wzdłuż łuku elipsy z osią stożka
(środkiem masy) w jednym z ognisk.
Siła ciężkości i reakcji szyn się równoważą,
ale wypadkowy moment sił nie będzie zerowy.


Równowagę obojętną osiągniemy gdy szyny będą pochylone pod odpowiednim
kątem  <span style="color:green">(szerszy koniec wyżej)</span>

<center>
[[image:rownowaga_5.png]]
</center>

Oś stożka pozostaje cały czas na tej samej wysokości (<math>E_p = const</math>)


===<u>'''Rodzaje równowagi a energia'''</u>===

Równowagę bryły na którą działa siła ciężkości i siły reakcji można
sklasyfikować obserwując położenie środka masy 
(czyli zmiany energi potencjalnej).

<center>
[[image:rownowaga_2.png|trwała]]
[[image:rownowaga_4.png|obojętna]]
[[image:rownowaga_3.png|chwiejna]]
</center>

Nieznaczne (infintezymalne)  wychylenie bryły z położenia równowagi 
powoduje: 

; równowaga trwała
: podniesienie środka masy  i wzrost energii potencjalnej

; równowaga obojętna
: brak zmian położenia środka masy

; równowaga chwiejna
: obniżenie środka masy i zmniejszenie energii potencjalnej


Zmiana <span style="color:blue">położenia środka masy</span>, 
przy wychyleniu z położenia równowagi,  
zależy od <span style="color:red">kształtu bryły</span>, 
ale także od charakteru <span style="color:fuchsia">więzów</span>.

Np: równowaga kuli zależy od kształtu powierzchni na której leży
  
<center>
[[image:rownowaga_4a.png|równowaga trwała]]
[[image:rownowaga_4.png|obojętna]]
[[image:rownowaga_4b.png|chwiejna]]
</center>

Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy 
(<math>\vec{F} = -grad E_p</math>)



[[image:rownowaga_7.png|frame]]
[[image:rownowaga_7a.png|frame]]

Kryterium zmiany położenia środka masy (zmiany energii potencjalnej)
ma zastosowanie także w bardziej ogólnych przypadkach.

Przykład: sześcian ustawiony na kuli

Położenie środka masy sześcianu   
<span style="color:green">(nad środkiem kuli)</span>
wyraża się zależnością
: <math> h \; = \; R\; \cos \phi \; + \; d\; \sin \phi \; + \; 
                         \frac{1}{2} a \; \cos\phi </math>
Przy wychyleniu punkt podparcia sześcianu przesunie się o
: <math>  d \; = \; R \; \phi </math>

Uzyskujemy więc 
: <math>  h \; = \; \left( R + \frac{a}{2} \right) \; \cos \phi \; + 
        \; R \; \phi \; \sin \phi </math>

W przybliżeniu małych kątów 
<span style="color:green">(<math>\sin\phi \approx \phi</math>, 
<math>\cos\phi \approx 1 - \frac{1}{2}\phi^2</math>)</span>

: <math> h \; = \; \left( R + \frac{a}{2} \right) \; + \; 
 \frac{1}{2}  \left( R - \frac{a}{2} \right)  \cdot \phi^2
</math>

Równowaga będzie trwała jeśli człon kwadratowy w kącie wychylenia będzie
dodatni (wzrost energii), czyli dla 
: <span style="color:red"><math>R > \frac{a}{2}</math></span>

==Prawa ruchu==

===<u>'''Obrót wokół ustalonej osi'''</u>===


[[image:czteropret_a.png|frame]]

Dla bryły sztywnej obracającej się wokół ustalonej osi  
mement pędu (skalarnie):
: <math> L \; = \; \omega \sum_i  m_i \; r_{\perp \;i}^2 \; = \; \omega \; I</math>
gdzie <math>\omega = \frac{d\phi}{dt} </math> jest prędkością kątową, a
<span style="color:blue"><math> r_{\perp\;i}</math></span> opisuje 
odległość masy <math>i</math> od osi obrotu,  

<span style="color:blue"><math>I</math></span> jest momentem bezwładności 
<span style="color:red"> względem wybranej osi</span>.


===<u>'''Ruch jednostajnie przyspieszony'''</u>===

Pod wpływem stałego momentu siły <span style="color:red"><math>M</math></span>:

: <math> M \; = \; \frac{dL}{dt} \; = \; 
    \frac{d\omega}{dt} \sum_i  m_i \; r_{\perp \;i}^2 =  \varepsilon \; I </math>

Bryła obraca się ze stałym przyspieszeniem kątowym
(<math>\varepsilon  = \frac{d\omega}{dt} </math>)
: <math> \varepsilon \; = \; \frac{M}{I} = const </math>

Przyjmując, że moment bezwładności jest stały
(<math>I</math>=const) bryła będzie się obracać 
ruchem jednostajnie przyspieszonym.

Podobnie jak w przypadku ruchu postępowego
* przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do przyłożonego momentu siły
: zwiększenie siły lub zwiększenie jej ramienia powoduje wzrost przyspieszenia
* przyspieszenie kątowe jest odwrotnie proporcjonalne do momentu bezwładności
: zwiekszenie masy lub zwiększenie jej odległości od osi obrotu powoduje zmniejszenie przyspieszenia


===<u>'''Ruch harmoniczny'''</u>===

<u>'''Pokaz'''</u>

[[image:oberbeck.png|frame]]


Moment siły zależy od kąta skręcenia pręta <math>\phi</math>:
: <math> M  \; = \; - \xi \; \phi </math>

gdzie <span style="color:blue"><math>\xi</math></span> - współczynnik "sprężystości"; moment siły ma znak przeciwny do skręcenia.

Moment siły możemy też wyrazić poprzez przyspieszenie kątowe:
: <math> M \; = \; \frac{dL}{dt} \; = \; 
    \frac{d\omega}{dt} \; I  =   \frac{d^2\phi}{dt^2}  \; I </math>

Przyrównując otrzymujemy równanie oscylatora harmonicznego:
: <math> \frac{d^2\phi}{dt^2} \; = \;  - \; \frac{\xi}{I} \; \phi </math>

Częstość drgań:
: <math> \nu \; = \; \sqrt{\frac{\xi}{I}} \; = \; 
\frac{\sqrt{\xi}}{\sqrt{ \sum_i  m_i \; r_{\perp \;i}^2}} 
 \; \approx \; \frac{\sqrt{\xi}}{2 r \sqrt{  m} } 
</math>

W ramach pokazu pokazano, że częstość maleje (okres rośnie) przy
wzroście masy lub wzroście odległości od osi obrotu.


==Moment bezwładności==

Przyspieszenie kątowe w ruchu bryły sztywnej zależy nie tylko od masy
całkowitej,   ale także od jej 
<span style="color:fuchsia">rozłożenia względem osi obrotu</span>.

Rozkład masy względem wybranej osi obrotu  
<span style="color:green">(najczęściej przechodzącej przez środek masy, ale nie koniecznie)</span> 
opisuje <span style="color:red">moment bezwładności</span>

: <math> I \; = \; \sum_i  m_i \; r_{\perp \;i}^2 </math>

W przypadku ciągłego rozkładu masy sumę zastępujemy całką po objętości:

: <math> I \; = \; \int dV \; \rho \; r_{\perp }^2 </math>

Dla ciała jednorodnego <span style="color:red">
(<math>\rho</math> = const = <math>\frac{M}{V}</math>)</span>
można to również zapisać w postaci:

: <math> I \; = \; \frac{M}{V} \int dV \;  \; r_{\perp }^2 \; = \; 
      M \; \frac{\int dV \; r_{\perp }^2 }{\int dV } \; = \; 
        M \langle r_{\perp }^2 \rangle </math>

gdzie <span style="color:blue"><math>\langle r_{\perp }^2 \rangle</math></span>
jest średnim kwadratem odległości od osi obrotu.

Tymsamym stosunek momentu bezwładności do masy zależy tylko od kształtu i 
rozmiarów ciała: 
: <math> \frac{I}{M}  =  \langle r_{\perp }^2 \rangle </math>

Dla wielu brył stosunek ten możemy wyznaczyć z prostych rozważań
geometryczntych.


[[image:I_obrecz_a.png|frame]]

<u>'''Obręcz'''</u>  <span style="color:green">(pusta w środku)</span>

* obrót <span style="color:blue">wokół osi symetrii</span> 

: Wszystkie punkty równoodległe od osi:
:: <math> \langle r_{\perp }^2 \rangle \; = \; r^2 \; \Rightarrow \;
              I_\perp \; = \; M \; r^2 </math>


[[image:I_obrecz_b.png|frame]]

* obrót <span style="color:blue">wokół średnicy</span>  

Oznaczmy oś obrotu jako oś X, a średnicę prostopadłą do osi obrotu jako oś Y

Z definicji obręczy i symetrii mamy:
: <math> x^2 + y^2 \; = \;  r^2</math>  i  
: <math>\langle x^2\rangle \; = \; \langle  y^2 \rangle  </math>

Możemy zatem wyznaczyć średni kwadrat odległości od osi
: <math> \langle r_{\perp }^2 \rangle \;  =  \;   \langle y^2 \rangle \; = \; 
               \frac{1}{2} \; r^2  
\qquad \Rightarrow \qquad I_\parallel \; = \; \frac{1}{2} \;M \; r^2 </math>


[[image:I_kula.png|frame]]


<u>'''Sfera'''</u>  <span style="color:green">(powierzchnia kuli)</span>

obrót <span style="color:blue"> wokół osi symetrii</span>

: <math> x^2 + y^2 + z^2 \; = \;  r^2</math>   i 
: <math> \langle x^2\rangle \; = \; \langle  y^2 \rangle 
                           \; = \; \langle  z^2 \rangle  </math>
Uzyskujemy:
: <math> \langle r_{\perp }^2 \rangle \; = \; \langle x^2 + y^2 \rangle \; = \;
               \frac{2}{3} \; r^2  
\qquad \Rightarrow \qquad I  \; = \;  \frac{2}{3} \;M \; r^2 </math>


[[image:I_kolo.png|frame]]

<u>'''Koło'''</u>  <span style="color:green">(krążek)</span>

obrót <span style="color:blue"> wokół osi symetrii</span> 

Koło można traktować jako sumę wielu obręczy &rArr; 
musimy wyznaczyć śrenią po powierzchni koła z <math>r^2</math>:

: <math> \langle r_{\perp }^2 \rangle \; = \; \frac{\int r'^2 \cdot dS}{S} 
\; = \; \frac{1}{\pi r^2} \int r'^2 \cdot 2 \pi r' dr' 
\; = \;  \frac{2 \pi}{\pi r^2} \; \frac{1}{4}r^4
\; = \; \frac{1}{2} \; r^2 </math>

Ostatecznie uzyskujemy
: <math> I_\perp \; = \; \frac{1}{2} \;M \; r^2 </math>

Podobnie można wyznaczyć <span style="color:blue"><math>I</math></span> 
dla innych brył:

<u>'''Prostokąt'''</u>

Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzącej przez środek
: <math> I_\perp  =  \frac{1}{12} \;M \; (a^2 + b^2) </math>


<u>'''Pręt'''</u>

Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzącej przez środek
: <math>I  =  \frac{1}{12} \;M \; l^2</math>

 
<u>'''Kula'''</u>  <span style="color:green">(jednorodna)</span>  

: <math>I  =  \frac{2}{5} \;M \; r^2</math>



===<u>'''Twierdzenie o osiach równoległych'''</u>===


[[image:tw_steinera.png|frame]]

Zazwyczaj liczymy moment bezwładności względem osi przechodzącej
przez środek ciężkości <span style="color:red">S</span>
<span style="color:green">(wszystkie podane dotychczas przykłady)</span>

Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi...


Niech układ wspórzędnych XY będzie układem środka masy.
Moment bezwładności względem osi równoległej <span style="color:blue">0</span>,
odległej o <span style="color:blue"><math>h</math></span> od osi 
<span style="color:red">S</span> można wyznaczyć rozpisując odległości
elementów masy od osi O
: <math> r_{i O}^2  = (x_i+h)^2 + y_i^2 \; =  \; h^2 + 2hx_i + r_{iS}^2 </math>

Moment bezwładności wyraża się przez sumę:
: <math> I_O = \sum_i m_i r_{i O}^2  = 
h^2 \sum_i  m_i  \; + \; 2h \sum_i  m_i x_i  + \sum_i  m_i r_{iS}^2 </math>

Z definicji środka masy drugi człon znika 
: <math>\sum_i  m_i x_i =0</math>
Otrzymujemy wzór nazywany twierdzeniem o osiach równoległych lub
<span style="color:blue">Twierdzeniem Steinera </span>
: <math> I_O \; = \; I_S \; + \; M \; h^2 </math>
 



==Prawa ruchu==


===<u>'''Równia pochyła'''</u>===

[[image:rownia.png|frame]]

W przypadku staczania po równi pochyłej 
<span style="color:blue">bez poślizgu</span> symetrycznej bryły  
<span style="color:green"> (obręczy, waleca, kuli...)</span> 
mamy jeden stopień swobody. Przsunięcie związane jest z kątem obrotu:
: <math> x  =  r \; \phi </math>
i podobna zależność wiąże przyspieszenie liniowe i kątowe
: <math> a = r \; \varepsilon  </math>


Wzdłuż równi działa siła tarcia i równoległa składowa siły ciężkości.
Równanie dla ruchu postępowego możemy zapisać w postaci
: <math> m a \; = \; Q \; \sin \theta \;  - \;  T </math>

Natomiast dla ruchu obrotowego (jedynie siła tarcia daje moment siły
względem środka masy):
: <math> I\; \varepsilon  \; = \; T \;r </math>

Eliminując siłę tarcia z pierwszego równania:
: <math> m a \;  + \;  \frac{I \varepsilon}{r} \; = \; m g \; \sin \theta </math>

Z czego możemy wyznaczyć przyspieszenie liniowe:
<math> a \; = \; \frac{ g \; \sin \theta  }{1 + \frac{I}{m r^2} } </math>

Im większy moment bezwładności, tym wolniej stacza się ciało...

Dla przykładu: pełny walec (<math> I = \frac{1}{2} M r^2</math>)
stacza się szybciej niż rura (<math> I = M r^2</math>),
a wolniej niż kula (<math> I = \frac{2}{5} M r^2</math>).


Zagadnienie staczania ciała po równi można rozwiązać w równoważny sposób 
korzystając z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera. 
Względem chwilowej osi obrotu 
<span style="color:green">(linia styku bryły z równią)</span>
jedynie siła ciężkości daje niezerowy moment siły.
Zapiszmy równanie ruchu obrotowego względem tej osi:
: <math> I_o\; \varepsilon  \; = \; Q \; \sin \theta \cdot r </math>

Z  twierdzenia Steinera:
: <math> I_o \; = \; I \; + \; m \; r^2 </math>

Otrzymujemy:
: <math> a \; = \; r \; \varepsilon \; = \; 
              \frac{m g \; \sin \theta\; r^2}{ I_o } </math>

:: <math> \; = \; \frac{ m r^2 \; g  \; \sin \theta  }{mr^2 + I} </math>



===<u>'''Wahadło fizyczne'''</u>===

[[image:wahadlo_fiz.png|frame]]


Równanie małych drgań bryły sztywnej, 
wokół osi obrotu <span style="color:blue">O</span>  
przechodzącej w odległości <span style="color:red"><math>l</math></span> 
od środka ciężkości <span style="color:blue">S</span>:

: <math> I_o \; \varepsilon \; = \; - m g \sin \phi \cdot l  </math>


: <math>  \left( I + ml^2 \right) \; \frac{d^2 \phi}{dt^2} \; \approx \; - m g l \; \phi </math>

gdzie skorzystalimy z przybliżenia małych drgań 
(<math>\sin \phi \approx \phi </math>)

Częstość drgań (z równania oscylatora harmonicznego) wynosi:
: <math> \nu \; = \; \sqrt{\frac{mgl}{I+ ml^2}} 
 \; = \; \sqrt{\frac{g}{l (1 + \frac{I}{ml^2})}} </math>

Częstość ta odpowiada częstości drgań wahadła matematycznego o długości:
: <math>l_z = l (1 + \frac{I}{ml^2})</math>
gdzie <math>l_z</math> nazywamy długością zredukowaną wahadła 


[[image:wahadlo_fiz2.png|frame]]

Rozważmy wahadło w postaci pręta o masie m i długości d, na którego końcu
zamocowano punktową masę M.

Równanie małych drgańwokół osi obrotu <span style="color:blue">O</span>:

: <math> I_o \; \varepsilon \; = \; - M d g \sin \phi  - m \frac{d}{2} g  \sin \phi </math>

W przybliżeniu małych drgań:
: <math> \left( M d^2 + \frac{1}{3}md^2 \right) \; \frac{d^2 \phi}{dt^2} 
              \; \approx \; - (M + \frac{m}{2}) d g \; \phi </math>

Częstość drgań wyraża się więc wzorem:
: <math> \nu \; = \; \sqrt{\frac{g}{l}} \cdot 
\sqrt{\frac{M+\frac{1}{2}m}{M+\frac{1}{3}m}}   \;\; \approx \;
\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot \left(1 + \frac{1}{12} \cdot \frac{m}{M}\right)</math>
gdzie przybliżenie jest słuszne w granicy <math>m \ll M</math>.

Długość zredukowana wahadła 
: <math>l_z = d \; \frac{M+\frac{1}{3}m}{M+\frac{1}{2}m} 
 \approx d \cdot \left(1 - \frac{1}{6} \cdot \frac{m}{M}\right)</math>


===<u>'''Energia ruchu obrotowego'''</u>===

Energia kinetyczna układu ciał:
: <math>E_k \; = \;  E_k^\star \; + \; \frac{M \; {V}_{CM}^2}{2} </math>

Dla bryły sztywnej 
<span style="color:fuchsia">energia "wewnętrzna"</span> jest energią 
kinetyczną ruchu obrotowego względem środka masy:
: <math> E_k^\star \; = \; \frac{1}{2}\; \sum_i m_i v_i^2 \; = \; 
 \frac{1}{2}\; \sum_i m_i ( r_i \;\omega )^2 \; = \;  
           \frac{1}{2}\; \omega^2 \; I
              \; = \;  \frac{1}{2}\; \omega \; L </math>

[[image:toczenie.png|frame]]

W przypadku ciała toczącego się bez poślizgu 
<span style="color:green">(<math>v = \omega \; r</math>)</span>
otrzymujemy
: <math>E_k \; = \;  \frac{m v^2}{2} \; + \; \frac{I \omega^2}{2} \; = \; 
\frac{m v^2}{2} \left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)
</math>

Ruch (np. staczanie z równi pochyłej) odbywa się tak, jak dla 
punktu materialnego o efejtywnej masie bezwładnej 
: <math>m \; \left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)</math>
i niezmienionej masie grawitacyjnej



Dla przykładu: prędkość jaką uzyska ciało staczające się bez poślizgu z równi 
o wysokości <math>h</math> można wyznaczyć z zasady zachowania energii:
: <math> m g h  \; = \; \frac{1}{2} m v^2 \left(1 + \frac{I}{mr^2}\right)</math>

Otrzymujemy
: <math>v \; = \;  \sqrt{\frac{2gh}{1 + \frac{I}{mr^2} }} </math>

Przyspieszenie możemy wyznaczyć zauważając (ruch jednostajnie
przyspieszony), że prędkość średnia jest równa połowie prędkości końcowej:
: <math> a = \frac{v}{t} = \frac{v^2}{2l} \; = \; 
\frac{2gh}{2l\left(1 + \frac{I}{mr^2}\right) } \; = \; 
\frac{g \; \sin \theta }{1 + \frac{I}{mr^2}}
</math>


===<u>'''Koło Maxwella'''</u>===

[[image:maxwell.png|frame]]

Koło o promieniu R "toczy się" po osi o promieniu r.

Jak w przypadku równi pochyłej  
(tylko kładąc <math>\theta = \frac{\pi}{2}</math>)
: <math> a \; = \; \frac{g}{1 + \frac{I}{mr^2}} </math>

Zakładając, że masa skupiona jest praktycznie w całości na obręczy
: <math> I \; = \; m R^2 </math>
otrzymujemy wyrażenie na przyspieszenie liniowe
: <math> a \; = \; g \; \frac{r^2}{R^2 + r^2} \ll g </math>

Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze   od przyspieszenia
w spadku swobodnym...

Energia potencjalna zamienia się głównie na energię ruchu
obrotowego.



==Porównanie==

Ruch postępowy punktu materialnego i ruch obrotowy bryły sztywnej 
(względem ustalonej osi, pokrywającej się z osią symetrii) 
opisane są bardzo podobnymi zależnościami.
Poniższa tabela powinna pomóc w zrozumieniu tych analogii

<center>
{|border=1 cellpadding=10 cellspacing=3 
! colspan="2" | ruch postępowy  !! colspan="2" | ruch obrotowy 
|-
! wielkość !! wyrażenie !! wielkość !! wyrażenie 
|-
| przesunięcie || <math>\vec{x} </math> 
| kąt obrotu || <math>\vec{\phi} </math> 
|-
| prędkość || <math>\displaystyle \vec{v}  =  \frac{d\vec{x}}{dt}</math> 
| prędkość kątowa|| <math>\displaystyle \vec{\omega}  =  \frac{d\vec{\phi}}{dt}</math> 
|-
| przyspieszenie || <math>\displaystyle \vec{a}  =  \frac{d\vec{v}}{dt}</math> 
| przyspieszenie kątowe || <math>\displaystyle \vec{\varepsilon} = \frac{d\vec{\omega}}{dt}</math> 
|-
| masa || <math>m</math> 
| moment bezwładności || <math>I</math> 
|-
| pęd || <math>\vec{p} = m \vec{v}</math> 
| moment pędu || <math>\vec{L} = I \vec{\omega}</math> 
|-
| układ izolowany || <math> \vec{p} = const</math>
| układ izolowany || <math> \vec{L} = const</math>
|-
| siła || <math>\vec{F}</math> 
| moment siły || <math>\vec{M}</math> 
|-
| rowspan="2" | równania ruchu || <math>\displaystyle \vec{F} =  m\vec{a}</math> 
| rowspan="2" | równania ruchu || <math>\displaystyle \vec{M} = I \vec{\varepsilon}</math> 
|-
| <math>\displaystyle \frac{d\vec{p}}{dt}  =  \vec{F}</math> 
| <math>\displaystyle \frac{d\vec{L}}{dt}  =  \vec{M}</math> 
|-
| praca || <math>\displaystyle W = \int \vec{F} \cdot d\vec{x} </math> 
| praca || <math>\displaystyle W =  \int \ \vec{M} \cdot d\vec{\phi} </math> 
|-
| energia kinetyczna || <math> E_k = \frac{1}{2} m v^2 </math>
| energia kinetyczna || <math> E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 </math>
|}
</center>