Tekst źródłowy strony Fizyka I FM/Kinematyka2

__NOTOC__

===Wstęp===
Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych.
W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami:
<equation id="eq:eq1">
<math>
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=x_0+\rho\cos(\phi(t))\\
\\
y(t)=y_0+\rho\sin(\phi(t))
\end{array}\right.
</math>
</equation>
gdzie: 

<math>\phi(t)</math> &mdash; dowolna funkcja czasu. 

Ruch odbywa się po okręgu o środku w punkcie <math>(x_0, y_0)</math> i promieniu <math>\rho</math>.
<equation id="eq:eq2">
<math>\left\{\begin{array}{l}
(x(t)-x_0)^2=\rho^2\cos^2(\phi(t))\\
\\
(y(t)-y_0)^2=\rho^2\sin^2(\phi(t))
\end{array}\right.
</math>
</equation>
co sprowadza się do równania:
<equation id="eq:eq3">
<math>
x^2(t)+y^2(t)=\rho^2
</math>
</equation>
jeśli środek okręgu znajduje się w punkcie (0,0).

===Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych===
[[Plik:ruch_po_okregu.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:1"/> Ilustracja do znajdywania współrzędnych punktu P, poruszającego się po okręgu w układzie kartezjańskim.]]
Współrzędne punktu '''P''' poruszającego się po okręgu można wyrazić w następujący sposób (patrz rysunek <xr id="fig:1"> %i</xr>):
<equation id="eq:eq4">
<math>
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=\rho\cos(\alpha(t))\\
y(t)=\rho\sin(\alpha(t))
\end{array}\right.
</math>
</equation>
Wprowadzimy teraz następujące wielkości:

====Prędkość kątowa====
<equation id="eq:eq5">
<math>\omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\alpha(t+\Delta t) - \alpha(t)}{t+\Delta t}=\frac{d\alpha(t)}{dt}
</math>
</equation>
====Przyspieszenie kątowe====
<equation id="eq:eq6">
<math>
\epsilon = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\omega(t+\Delta t) - \omega(t)}{t+\Delta t}=\frac{d\omega(t)}{dt}=\frac{d^2\alpha(t)}{dt^2}</math>
</equation>

====Ruch po okręgu &mdash; opis====
Dla ruchu po okręgu mamy więc:
<ul>
<li> Współrzędne punktu '''P''':
<equation id="eq:eq7">
<math>\left\{\begin{array}{l}
x(t)=\rho\cos(\alpha(t))\\
\\
y(t)=\rho\sin(\alpha(t))
\end{array}\right.
</math>
</equation>
<li> Prędkość wzdłuż osi ''x'' i ''y'' kartezjańskiego układu współrzędnych:
<equation id="eq:eq8">
<math>\left\{\begin{array}{rcccccl}
V_x(t)&=&\frac{dx(t)}{dt}&=&-\frac{d\alpha(t)}{dt}\cdot\frac{d}{dt}(\rho\cos(\alpha(t)))&=& -\omega \rho\sin(\alpha(t))\\[5pt]
V_y(t)&=&\frac{dy(t)}{dt}&=&\frac{d\alpha(t)}{dt}\cdot\frac{d}{dt}(\rho\sin(\alpha(t)))&=& \omega \rho\cos(\alpha(t))\\
\end{array}\right.
</math>
</equation>
<li> Przyspieszenie liniowe wzdłuż osi ''x'' i ''y'' kartezjańskiego układu współrzędnych:
<equation id="eq:eq9">
<math>
\left\{\begin{array}{rcl}
a_x&=&\frac{dV_x(t)}{dt}= -\omega^2\rho\cos(\alpha(t))-\epsilon \rho\sin(\alpha(t))\\
\\
a_y&=&\frac{dV_x(t)}{dt}= -\omega^2\rho\sin(\alpha(t))+\epsilon \rho\cos(\alpha(t))\\
\end{array}\right.
</math>
</equation>
</ul>
===Ruch po okręgu w biegunowym układzie współrzędnych===
[[Plik:kinematyka_biegunowy.png|500px|thumb|right|<figure id="fig:2"/> Biegunowy układ współrzędnych. W układzie biegunowym położenie punktu P określone jest za pomocą dwóch współrzędnych &mdash; odległości punktu od początku układu współrzędnych oraz kąta jaki tworzy wektor wodzący <math>\vec{\rho}</math> (wektor skierowany od środka układu współrzędnych do punktu P) z osią poziomą. Wersorami w tym układzie współrzędnych są wektory <math>\vec{e}_\rho</math> &mdash; skierowany wzdłuż wektora wodzącego <math>\vec{\rho}</math> oraz wersor  <math>\vec{e}_\phi</math> prostopadły do wektora wodzącego (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).]]
Czasem wygodniej jest opisać ruch w biegunowym układzie współrzędnych (patrz rysunek <xr id="fig:2"> %i</xr>). 
Zanim opiszemy ruch po okręgu w tym układzie, zauważmy związki jakie zachodzą pomiędzy współrzędnymi układu kartezjańskiego i biegunowego:
<equation id="eq:eq10">
<math>
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=\rho(t)\cos(\phi(t))\\
\\
y(t)=\rho(t)\sin(\phi(t))
\end{array}\right. </math>,

<math>\left\{\begin{array}{l}
\rho(t)=\sqrt{y^2(t)+y^2(t)}\\
\\
\phi(t)=\arctan\frac{y(t)}{x(t)}
\end{array}\right.
</math>
</equation>

Wersory <math>(\vec{e}_\rho,\vec{e}_\phi)</math> układu biegunowego, w układzie kartezjańskim można zapisać w następujący sposób:
<equation id="eq:eq11">
<math>
\left\{\begin{array}{l}
\vec{e}_\rho(t)=\cos(\phi(t))\vec{e}_x + \sin(\phi(t))\vec{e}_y \\
\\
\vec{e}_\phi(t)=-\sin(\phi(t))\vec{e}_x + \cos(\phi(t))\vec{e}_y \\
\end{array}\right.
</math>
</equation>

Wektor położenia punktu w płaskim układzie kartezjańskim można wyrazić w następujący sposób:
<equation id="eq:eq12">
<math>
\vec{r}(t)=x(t)\vec{e}_x + y(t)\vec{e}_y
</math>
</equation>
Podstawiając zależności pomiędzy współrzędnymi kartezjańskim i i biegunowymi dostajemy następujący wzór na wektor położenia:
<equation id="eq:eq13">
<math>
\vec{r}(t)=\rho\cos(\phi(t))\vec{e}_x + \rho\sin(\phi(t))\vec{e}_y = \rho(\cos(\phi(t)) + \sin(\phi(t)))=\rho\vec{e}_\rho
</math>
</equation>
Z kolei wektor prędkości w układzie kartezjańskim:
<equation id="eq:eq14">
<math>
\vec{V}(t)=\vec{V}_x(t)+\vec{V}_y(t) = -\omega\rho\sin(\phi(t))\vec{e}_x + \omega\rho\cos(\phi(t))\vec{e}_y = \omega\rho(-\sin(\phi(t))\vec{e}_x+\cos(\phi(t))\vec{e}_y) = \omega\rho\vec{e}_\rho
</math>
</equation>
Podobnego przejścia z układu kartezjańskiego do biegunowego możemy dokonać również dla przyspieszenia:
<equation id="eq:eq15">
<math>
\vec{a}(t)=\vec{a}_x(t)+\vec{a}_y(t)=(-\omega^2\rho\cos(\phi(t))-\epsilon\rho\sin(\phi(t)))\vec{e}_x + (-\omega^2r\sin(\phi(t))+\epsilon\rho\cos(\phi(t)))\vec{e}_y=-\omega^2\rho\vec{e}_\rho+\epsilon\rho\vec{e}_\phi
</math>
</equation>
<br>

Zauważmy, iż w przypadku ruchu po okręgu w układzie biegunowym wektor prędkości ma tylko jedną składową, prostopadłą do wektora wodzącego <math>\rho</math>:
<equation id="eq:eq16">
<math>\vec{V}=\omega\rho\vec{e}_\phi
</math>
</equation>
<br>
natomiast przyspieszenie ma dwie składowe:
<ul>
<li> składową styczną do toru, nazywaną przyspieszeniem transersalnym:
<equation id="eq:eq17">
<math>\vec{a}_s=\epsilon\rho\vec{e}_\phi
</math>
</equation>
<li> składową równoległą do wektora wodzącego <math>\vec{\rho}</math>, nazywaną przyspieszeniem radialnym:<br>
<equation id="eq:eq18">
<math>
\vec{a}_r=-\omega^2\rho\vec{e}_\rho
</math>
</equation>
</ul>
===Ruch jednostajny po okręgu===
Rozważymy teraz ruch po okręgu, który odbywa się ze stałą prędkością liniową <math>V</math>. W przypadku ruchu jednostajnego prostoliniowego, wektor prędkości zachowywał stały kierunek w przestrzeni oraz stałą wartość. Ruch po okręgu jest przypadkiem ruchu krzywoliniowego, w którym wartość wektora prędkości (długość tego wektora) może być zachowana, zmienia się natomiast jego kierunek. Mówiąc zatem o ruchu jednostajnym po okręgu, zakładamy, że nie ulega zmianie wartość prędkości w tymże ruchu.
W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, iż w przypadku ruchu po okręgu opisywanego w układzie biegunowym prędkość można wyrazić następującym wzorem:
<equation id="eq:eq18">
<math>
\vec{V}=\omega\rho\vec{e}_\phi
</math>
</equation>
Skoro z założenia wartość wektora prędkości ma być stała <math>(\vec{V}=const)</math>, to widzimy, że również wyrażenie <math>\omega\rho</math> musi mieć stałą wartość. Stały jest również promień okręgu <math>\rho</math>, w związku z czym stała jest także prędkość kątowa <math>\omega</math>.
Przyspieszenie kątowe <math>\epsilon</math> jest pochodną prędkości kątowej po czasie:
<equation id="eq:eq19">
<math>
\epsilon=\frac{d\omega}{dt}
</math>
</equation>
Jak wiemy z kursu matematyki, pochodna wektora stałego jest równa 0, a zatem w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu, kiedy to <math>\omega=const</math>, przyspieszenie kątowe <math>\epsilon = 0</math>.
Wiadomo, że przyspieszenie w ruchu po okręgu w układzie biegunowym ma dwie składowe, (równania (<xr id="eq:eq17"> %i</xr> i (<xr id="eq:eq18"> %i</xr>)), jednakże z uwagi na zerową wartość przyspieszenia kątowego <math>\epsilon</math>, składowa styczna wektora przyspieszenia (wzór (<xr id="eq:eq17"> %i</xr>) znika i pozostaje tylko i wyłącznie składowa radialna (patrz rysunek <xr id="fig:3"> %i</xr>).
[[Plik:ruch_po_okregu_wektory.png|300px|thumb|right|<figure id="fig:3"/> W przypadku jednostajnego ruchu po okręgu, przyspieszenie ma tylko składową radialną, nazywaną również składową dośrodkową. Składowa dośrodkowa powoduje zmianę kierunku wektora prędkości, ale nie zmienia jego wartości.]]
Ruch jednostajny po okręgu jest przykładem ruchu harmonicznego, co prześledzimy powracając z opisem ruchu do układu kartezjańskiego. Analogicznie jak w przypadku drogi pokonywanej przez ciało w ruchu jednostajnie prostoliniowym, w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu, w którym stała jest wartość wektora prędkości, przyrost zakreślanego przez punkt '''P''' kąta <math>\phi</math> można zapisać następującym wyrażeniem:
<equation id="eq:eq20">
<math>
\phi = \omega t + \phi_0
</math>
</equation>
podstawiając powyższy wzór do wzorów (<xr id="eq:eq8"> %i</xr>), (<xr id="eq:eq8"> %i</xr>) i (<xr id="eq:eq9"> %i</xr>) dostajemy (przypominamy, że we wzorze (<xr id="eq:eq9"> %i</xr> na przyspieszenie liniowe, przyspieszenie kątowe <math>\epsilon</math> ma wartość 0):
<equation id="eq:eq21">
<math>\left\{\begin{array}{l}
x(t)=\rho\cos(\omega t + \phi_0)\\
\\
y(t)=\rho\sin(\omega t + \phi_0)
\end{array}\right.
</math>
</equation>
<equation id="eq:eq22">
<math>\left\{\begin{array}{rcccccl}
V_x(t)&=&\frac{dx(t)}{dt}&=&-\omega \rho\sin(\omega t + \phi_0)\\
\\
V_y(t)&=&\frac{dy(t)}{dt}&=&\omega \rho\cos(\omega t + \phi_0)\\
\end{array}\right.
</math>
</equation>
Przyspieszenie liniowe wzdłuż osi ''x'' i ''y'' kartezjańskiego układu współrzędnych:
<equation id="eq:eq23">
<math>
\left\{\begin{array}{rcl}
a_x&=&\frac{dV_x(t)}{dt}= -\omega^2\rho\cos(\omega t + \phi_0)\\
\\
a_y&=&\frac{dV_x(t)}{dt}= -\omega^2\rho\sin(\omega t + \phi_0)\\
\end{array}\right.
</math>
</equation>

Jak widzimy zarówno położenie punktu, wartość i kierunek jego prędkość oraz przyspieszenie zmieniają się periodycznie z okresem:
<equation id="eq:eq24">
<math>
\left\{\begin{array}{l}
\omega(t+T)=\omega t + 2\pi\\
\\
T = \frac{2\pi}{\omega}
\end{array}\right.
</math>
</equation>