Tekst źródłowy strony Transformata Wignera


==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]] Transformata Wignera== 
Dla sygnałów niestacjonarnych moc widmowa nie musi być stała w czasie,
gdyż zawartość częstości może się zmieniać. Analiza tego typu sytuacji 
wymaga śledzenia zmian gęstości energii sygnału jednocześnie w czasie i częstości.
Pierwszym pomysłem będzie usunięcie ze ([[Twierdzenie_Wienera-Chinczyna|wzoru na moc widmową w twierdzeniu Wienera-Chinczyna]]):

<center><math>
\int e^{-i\omega \tau} \left( \int f(t) f(t+\tau) dt \right) d\tau
</math></center>
całki po czasie. Dostaniemy w ten sposób<ref>
Po "wycentrowaniu" autokorelacji <math>f(t)f(t+\tau)</math> do postaci <math>f(t+\frac\tau 2) f(t-\frac\tau 2)</math></ref>
funkcję zależną ''explicite'' od czasu i częstości &mdash; transformatę Wignera-de Ville'a:
<equation id="eq:3">
<math>  
\mathcal{W}_s(t, \omega)=\int s \bigl (t + \frac{\tau}{2} \bigr)\;  
\overline{ s\bigl(t- \frac{\tau}{2} \bigr )\; } e^{- i \omega \tau } d \tau  
</math>
</equation>  

Reprezentacja tej postaci ma podstawowe zalety: 
*zachowuje energię sygnału, 
*wartości brzegowe: wycałkowana po czasie <math>\mathcal{W}_s</math> daje kwadrat modułu transformaty Fouriera <math>|s(\omega)|^2</math>, a wycałkowana po częsctości &mdash; <math>|s(t)|^2</math>,

oraz wady: 
*może być ujemna,
*zawiera ''wyrazy mieszane'' .

===Wyrazy mieszane (''cross-terms'' )===
Problem ten występuje (z różnym natężeniem) we wszystkich kwadratowych
reprezentacjach energii sygnału w przestrzeni czas-częstość; 
w transformacie Wignera efekt ten jest najbardziej bezpośredni.

Przypomnijmy wzór na kwadrat sumy: <math>(a+b)^2=a^2+b^2+2ab</math>. Obliczając
kwadratową transformatę sygnału złożonego z sumy elementów <math>a</math> i <math>b</math>,
dostaniemy reprezentację występujących w sygnale składników <math>a</math> i <math>b</math>
oraz wyraz mieszany <math>2ab</math>, który może pojawić się w takim rejonie
przestrzeni czas-częstość, że w odpowiadającym mu przedziale 
czasu w sygnale brak jakiejkolwiek aktywności.

[[Plik:timefreq_rys_2.jpg|thumb|center|400px|<figure id="fig:5"></figure>Sygnał złożony z dwóch sinusów o różnych
częstościach (dolny wykres) i moduł jego transformaty Wignera 
przedstawiony w przestrzeni czas-częstość 
w odcieniach szarości (powyżej, oś częstości skierowana ku górze). 
Obserwujemy prawidłowe odtworzenie częstości w okolicy występowania
sinusów oraz wyraz mieszany (w środku),
występujący w odcinku czasu w którym sygnał jest płaski.
Wartości transformaty Wignera w rejonie 
tej struktury oscylują, co umożliwia zachowanie wartości brzegowych całek 
po czasie i częstości.]]

Jednym z głównych zastosowań rozkładów gęstości energii sygnału w
przestrzeni czas-częstość (jak ten na rys. <xr id="fig:5"> %i</xr>)
jest próba odgadnięcia struktury lub własności nieznanego sygnału. W
takim przypadku wyrazy mieszane są wysoce mylące &mdash; na podstawie
samego rozkładu energii z rys. <xr id="fig:5"> %i</xr> moglibyśmy podejrzewać, że w
analizowanym sygnale, pomiędzy <math>a</math> i <math>b</math>,
znajduje się jeszcze jedna struktura o pośredniej częstości!

Dla zminimalizowania tego efektu możemy wykorzystać spostrzeżenie, że
wyrazy mieszane zwykle silnie oscylują, więc lokalne uśrednienie
rozkładu (po czasie i częstości) powinno zmniejszyć ich wkład. Różne
realizacje tego uśredniania tworzą bogatą klasę rozkładów o
zredukowanych interferencjach (ang.  ''reduced interference
distributions, RID'' ), z których każdy może dawać lepsze od innych
rezultaty dla pewnej klasy sygnałów.  Jednak w każdym przypadku mamy
do czynienia z ogólną prawidłowością: im mniejszy wpływ interferencji
(silniejsze uśrednianie) tym gorsza rozdzielczość.