Wstep
Celem pierwszego wykładu jest wprowadzenie pojęć, potrzebnych na pierwszych ćwiczeniach:
- częstość próbkowania
- częstość Nyquista
- aliasing
- sygnał dyskretny jako wektor
- szereg Fouriera
- transformata Fouriera
Sygnały zapisujemy, przetwarzamy i analizujemy w postaci ciągów liczb. Przejście od sygnału ciągłego do cyfrowego odbywa się przez proces próbkowania, czyli zapisywania kolejnych amplitud sygnału w ustalonych, stałych odstępach czasu, omawiany wcześniej na TIiK.
Ciągły sygnał z górnego rysunku, po próbkowaniu w punktach symbolizowanych czarnymi kropkami na rysunku dolnym, na dysku zostaje zapisany jako ciąg liczb:
102, 195, 80, 16, 147, 178
Żeby odtworzyć fizyczne własności sygnału, czyli narysować zapisane wartości próbek (czarne kropki) w odpowiedniej skali, musimy znać częstość próbkowania i stałą kalibracji.
Wyrażana w hercach (Hz) częstość próbkowania [math]f_p[/math] to liczba próbek na sekundę. Jest ona odwrotnością odstępu w czasie między kolejnymi próbkami ([math]\Delta t[/math]):
[math]f_p = \dfrac{1}{\Delta t}[/math]
Stała kalibracji to współczynnik, przez który mnożymy zapisane liczby, żeby otrzymać wartości w jednostkach fizycznych, na przykład mikrowoltach.
Poza znajomością zależności między zapisanymi liczbami a jednostkami fizycznymi w procesie próbkowania kluczową rolę odgrywa twierdzenie o próbkowaniu (inaczej twierdzenie Nyquista-Shannona, czasem w skrócie twierdzenie Nyquista). Mówi ono, że sygnał ciągły możemy odtworzyć za zapisanych próbek, jeśli częstość próbkowania [math]f_p[/math] była wyższa niż dwukrotność najwyższej z występujących w sygnale częstości [math]f_{max}[/math], nazywana częstością Nyquista [math]f_N[/math]:
[math] f_p = \dfrac{1}{\Delta t} \gt 2* f_{max} = f_N[/math]
Jeśli częstość próbkowania nie byłą wystarczająco wysoka, nie tylko stracimy informację o zmianach amplitudy sygnału "pomiędzy próbkami", ale dojdzie też do zafałszowania sygnału w niższych częstościach, które z pozoru nie powinny być zaburzone. Efekt ten, zwany aliasingiem, jest bliżej wytłumaczony w rozdziale Aliasing. Poniżej prosta ilustracja:
