Z Brain-wiki
Skocz do: nawigacja, szukaj

AS/ Przekształcenie Fouriera sygnałów dyskretnych, aliasing

Animacja pokazująca efekt aliasingu

Kliknij na tym napisie aby obejrzeć animację pokazującą efekt aliasingu na sygnale jednowymiarowym

Aliasingklatka.png

Próbkowanie odwrotnej transformaty Fouriera

Przypomnijmy wzór na odwrotną transformację Fouriera sygnału ciągłego s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f

Dyskretne wartości tego sygnału, próbkowane w chwilach n \Delta t, możemy odtworzyć z powyższgo równania dla t = n \Delta t

s(n\Delta t)  =\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f  =

\sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{(2r - 1)}{2\Delta t}^\frac{(2r + 1) }{2\Delta t} \hat{s}(f)e^{-i 2\pi n \Delta t f} d f  \;\; \stackrel{f \rightarrow f+\frac{r}{\Delta t}}{=} \;\; \sum_{r=-\infty}^\infty \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t} \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t (f + \frac{r}{\Delta t})} d f

= \int_\frac{-1}{2\Delta t}^\frac{1}{2\Delta t}  \sum_{r=-\infty}^\infty  \hat{s}\left(f + \frac{r}{\Delta t}\right)e^{-i 2\pi n \Delta t f}  d f

Szukając wartości sygnału w dyskretnych chwilach czasu, dostaliśmy w miejsce odwrotnej transformaty Fouriera całkę w ograniczonym zakresie z funkcji będącej (nieskończoną) sumą powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności \Delta t.


Splot z grzebieniem Diraca

Innym sposobem pokazania powyższego efektu jest przedstawienie sekwencji dyskretnej s[n] jako iloczynu sygnału ciągłego s(t) z grzebieniem Diraca

D(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t)

Policzmy transformatę Fouriera grzebienia Diraca \hat{D}(t):

\hat{D}(f) = \mathcal{F}(D(t)) = \mathcal{F}\left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) \right) = \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-k\Delta t) e^{i 2\pi f t} dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} e^{i 2\pi f k\Delta t}

Zgodnie z twierdzeniem o splocie, iloczyn sygnału z grzebieniem Diraca w przestrzeni czasu będzie odpowiadał w dziedzinie częstości, splotowi transformaty Fouriers sygnału \hat{s}(t) z wyliczoną powyżej transformatę Fouriera grzebienia Diraca, będącą jak widać grzebieniem Diraca w przestrzeni częstości.

Przypomnijmy (np. z rozważań o systemach liniowych niezmienniczych w czasie), że splot z deltą Diraca w zerze jest identycznością, a splot z \delta(t-kT) przesuwa funkcję o kT. Z liniowości splotu dostajemy sumę powtórzeń transformaty Fouriera sygnału ciągłego, przesuwanej o wielokrotności odwrotności \Delta t.

Poniższe rysunki z [Wikipedii] ilustrują ten efekt dla przypadku próbkowania z częstością większą i mniejszą od częstości Nyquista:

ReconstructFilter.png AliasedSpectrum.png


Kolejny przykład ilustruje aliasing w dziedzinie czasu:

Próbkowanie (\Delta t = 1) sygnałów o częstościach: (a) 0.27, (b) 1.27 i (c) 0.6. Widzimy, że sygnał (b) o częstości 1.27 daje w chwilach próbkowania wartości dokładnie takie same, jak sygnał (a) o częstości 0.27 (aliasing) . Sygnał (d) jest sumą (a), (b) i (c). (e) — dodatnia część modułu transformaty Fouriera sygnału ciągłego (d). (f) — jak e), ale obliczane dla sygnału dyskretnego (wartości tylko w miejscach oznaczonych kropkami). Porównując równanie (???) z przejściem od (e) do (f) widać, że częstość 1.27 zlewa się z częstością 0.27 (r = -1) — wysokość odpowiadającego im piku wzrasta dwukrotnie w stosunku do mniejszego piku częstości 0.6, który "zawija się" z kolei na 0.4 (w tym przypadku r = 1 a "zawija się" dokładnie częstość -0.6)


AS/ Twierdzenie o próbkowaniu

Twierdzenie o próbkowaniu odpowiada na kluczowe pytanie, które winniśmy postawić decydując się na pracę z dyskretnymi (próbkowanymi) wersjami sygnałów ciągłych z natury.

Twierdzenie o próbkowaniu

Sygnał ciągły s(t) możemy odtworzyć z wektora jego wartości w dyskretnych chwilach czasu  n \Delta t, jeśli nie było w nim częstości wyższych niż \frac{1}{2\, \Delta t}.

Dowód

Dla uproszczenia przyjmijmy \Delta t =1. Wtedy \hat{s}(f), czyli transformata Fouriera sygnału s(t), będzie niezerowa co najwyżej pomiędzy -\frac{1}{2} a \frac{1}{2}.

Oznaczmy u(f) funkcję o okresie 1, tożsamą z \hat{s}(f) na przedziale  \left [ -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right ] .

Przedstawia ją szereg Fouriera:

u(f) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2 \pi i f n}

Współczynniki  c_n tego rozwinięcia dane są wzorem:

 c_{n} =\frac{1}{1} \int_{0}^{1} u(f) e^{{2\pi i nf}} d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f)e^{{2\pi i nf}} d f = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{{2\pi i n f}} d f =s(n)

Współczynniki c_n, dane przez wartości sygnału s w punktach próbkowania, jednoznacznie określają funkcję u(f), ta z kolei zawiera w sobie \hat{s}(f)transformatę Fouriera ciągłego sygnału s(t), czyli określa jednoznacznie również sam sygnał.

Znajdźmy explicite formułę rekonstrukcji:

s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \hat{s}(f) e^{-2\pi i f t } d f = \int_{- \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}  \left ( \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-2\pi i f n} \right )e^{-2\pi i f t} df = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} s(n) e^{2 \pi i f n} e^{-2\pi i f t}  df = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df

ponieważ

 \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} e^{2 \pi i f (n-t)} df = \left[{\frac{1}{2\pi i (n-t)}} e^{2 \pi i f (n-t)} \right]_{f=-\frac{1}{2}}^{f=\frac{1}{2}} =\frac{\sin\left( \pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}

dostajemy

s(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} { {s(n)} } \frac{\sin\left(\pi (n-t)\right)}{\pi(n-t)}

Tak więc, jeśli spełnione jest główne założenie o ograniczonym paśmie sygnału ciągłego i odpowiednio dobranej częstości próbkowania, w procesie próbkowania nie tracimy informacji ani też nie wprowadzamy przekłamań, obliczając widmo (rozdział o aliasingu).

Twierdzenie o próbkowaniu w praktyce

W praktyce przed próbkowaniem sygnał jest zwykle filtrowany dolnoprzepustowym filtrem analogowym o częstości odcięcia poniżej częstości Nyquista.