FT-intuicja: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
 
(Nie pokazano 24 pośrednich wersji utworzonych przez tego samego użytkownika)
Linia 1: Linia 1:
===Intuicyjna intepretacja przekształcenia Fouriera===
+
===[[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] Intuicyjna intepretacja przekształcenia Fouriera===
Spróbujmy nabrać potrzebnej na ćwiczeniach intuicji, traktując obliczenia w kategorii iloczynów skalarnych z kolejnymi sinusami o odpowiednio dobranych fazach (w powyższym równaniu fazy są ukryte w kącie liczby zespolonej). Weźmy przykładowy sygnał ''s'' złożony z dwóch sinusów ''a'' i ''b'',  ''s'' = ''a'' + ''b'':
+
 
 +
[[Plik:Dispersive prism.png|400px|zdjęcie pryzmatu]]
 +
[[Plik:Light dispersion conceptual waves.gif|326px|rozszczepienie światła w pryzmacie]]
 +
 
 +
<br/>
 +
Spróbujmy nabrać potrzebnej na ćwiczeniach intuicji, traktując obliczenia w kategorii iloczynów skalarnych z kolejnymi sinusami o odpowiednio dobranych fazach. Weźmy przykładowy sygnał ''s'' o długości 256 punktów, złożony z dwóch sinusów ''a'' i ''b'',  ''s'' = ''a'' + ''b'':
 +
 
 +
 
  
 
[[Plik:Ft sig s.png|400px|center|bezramki]]  
 
[[Plik:Ft sig s.png|400px|center|bezramki]]  
Linia 10: Linia 17:
 
+[[Plik:Ft sig sb.png|400px|center|bezramki]]
 
+[[Plik:Ft sig sb.png|400px|center|bezramki]]
  
 +
 +
Bazą będzie zbiór ortogonalnych sinusów<math>f(x)=\sin(kx), k=1,2,\ldots</math> o częstościach od <math display="inline">\frac{1}{\mathrm{długość \, sygnału}}</math> do częstości Nyquista.
 +
 +
[[Plik:Ort sines cont.png|400px|center|bezramki]]
 +
<div class="center"><math>(\ldots)</math></div>
  
  
Linia 25: Linia 37:
  
 
===Rozdzielczość (F)FT===
 
===Rozdzielczość (F)FT===
Transformata Fouriera jest przedstawieniem sygnału z bazie złożonej z funkcji <math>e^{i\omega t}</math>. Wymiar tej bazy powinien odpowiadać wymiarowi sygnału. Ponieważ dla każdej częstości zespolona transformata odtwarza amplitudę i fazę, to w widmie mocy będzie dwukrotnie mniej punktów niż w sygnale, dla którego liczono transformatę. Punkty w których liczymy transformatę Fouriera rozkłądają się równomiernie od zera do częstości Nyquista, czyli połowy częstości próbkowania.  
+
Przyjrzyjmy się bliżej analizowanemu powyżej 'przykładowemu sygnałowi'
 +
[[Plik:Ft sig s.png|400px|center|bezramki]]
 +
Wyrysowana powyżej linia łamana łaczy sąsiednie z kolejnych 256 wartości wektora próbek
 +
[[Plik:Ft sig digit nounits.png|400px|center|bezramki]]
 +
Poza samym wektorem próbek, do oznaczenia osi na powyższych widmach potrzebna jest informacja o częstości próbkowania oraz przeliczniku wartości kolejnych próbek na wielkości fizyczne (np. mikrowolty). W tym przypadku odstęp między próbkami wynosił <math>\frac{1}{128}</math> sekundy, więc ten wektor jest zapisem dwóch sekund sygnału:
 +
[[Plik:Ft sig digit.png|420px|center|bezramki]]
 +
 
 +
 
 +
Transformata Fouriera jest przedstawieniem sygnału w bazie złożonej z funkcji <math>e^{i\omega t}</math>. Wymiar tej bazy powinien odpowiadać wymiarowi sygnału. Ponieważ dla każdej częstości zespolona transformata odtwarza amplitudę i fazę, to w widmie mocy będzie dwukrotnie mniej punktów niż w sygnale, dla którego liczono transformatę. Punkty w których liczymy transformatę Fouriera rozkładają się równomiernie od zera do częstości Nyquista, czyli połowy częstości próbkowania. Przy częstości próbkowania 128Hz częstość Nyquista wynosi 64Hz. Liczba punktów w transformacjie Fouriera wynosi tyle, ile w naturalne bazie sygnału, czyli 256. Połowa tych wartości opisuje amplitudy, a druga połowa fazy. Tak więc w widmie amplitudowym będzie 128 punktów, rozłożonych równomiernie od zera do 64 Hz, czyli rozdzielczość widma wyniesie w tym przypadku 0,5Hz.
  
Jako przykład spróbujmy rozszyfrować, skąd w przykładowym artykule o interfejsach mózg-komputer<ref>
+
Jako przykład 'z prawdziwego świata' spróbujmy rozszyfrować, skąd w przykładowym artykule<ref>
Xiaorong Gao, Dingfeng Xu, Ming Cheng and Shangkai Gao, "A BCI-based environmental controller for the motion-disabled" IEEE Transactions on Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 11, no. 2, pp. 137-140, June 2003, doi: 10.1109/TNSRE.2003.814449, https://web.archive.org/web/20091114205637id_/http://www.cis.gsu.edu/brainlab/papers/gao%202003%20-%2048N%20BCI.pdf</ref> pojawiają się dziwne częstości 6,83 i 7,03 Hz.
+
Xiaorong Gao, Dingfeng Xu, Ming Cheng and Shangkai Gao, "A BCI-based environmental controller for the motion-disabled" IEEE Transactions on Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 11, no. 2, pp. 137-140, June 2003, doi: 10.1109/TNSRE.2003.814449, https://web.archive.org/web/20091114205637id_/http://www.cis.gsu.edu/brainlab/papers/gao%202003%20-%2048N%20BCI.pdf</ref> o interfejsach mózg-komputer opartych o [https://youtu.be/xXgZHQopgxM SSVEP] pojawiają się dziwne częstości 6,83 i 7,03 Hz.
  
 
Mamy tam do czynienia z 3-sekundowymi odcinkami sygnału próbkowanego z częstością 200Hz. Aby umożliwić stosowanie szybkiej transformaty Fouriera (FFT) oraz zwiększyć rozdzielczość, sygnał jest dopełniany (zerami) do 1024 punktów.  
 
Mamy tam do czynienia z 3-sekundowymi odcinkami sygnału próbkowanego z częstością 200Hz. Aby umożliwić stosowanie szybkiej transformaty Fouriera (FFT) oraz zwiększyć rozdzielczość, sygnał jest dopełniany (zerami) do 1024 punktów.  
 
Tak więc 512 punktów (1024/2) będzie w tym przypadku rozłożonych między 0 a 100 Hz, co daje odstęp 100/512, czyli ok. 0.195 Hz między kolejnymi częstościami. Punkty najbliższe 7Hz to 35*100/512 = 6,83 i 36*100/512 = 7,03 Hz.
 
Tak więc 512 punktów (1024/2) będzie w tym przypadku rozłożonych między 0 a 100 Hz, co daje odstęp 100/512, czyli ok. 0.195 Hz między kolejnymi częstościami. Punkty najbliższe 7Hz to 35*100/512 = 6,83 i 36*100/512 = 7,03 Hz.
 +
 +
 +
<hr/>
 +
 +
<references />
 +
 +
 +
 +
 +
<div align="right">
 +
[[Przekształcenie_Fouriera|⬅]] [[Analiza_sygnałów_-_wykład|⬆]] [[Twierdzenia_o_splocie_i_o_próbkowaniu_(aliasing)|⮕]]
 +
</div>

Aktualna wersja na dzień 07:31, 18 paź 2024

Intuicyjna intepretacja przekształcenia Fouriera

zdjęcie pryzmatu rozszczepienie światła w pryzmacie


Spróbujmy nabrać potrzebnej na ćwiczeniach intuicji, traktując obliczenia w kategorii iloczynów skalarnych z kolejnymi sinusami o odpowiednio dobranych fazach. Weźmy przykładowy sygnał s o długości 256 punktów, złożony z dwóch sinusów a i b, s = a + b:


Ft sig s.png


=

Ft sig sa.png


+

Ft sig sb.png


Bazą będzie zbiór ortogonalnych sinusów[math]f(x)=\sin(kx), k=1,2,\ldots[/math] o częstościach od [math]\frac{1}{\mathrm{długość \, sygnału}}[/math] do częstości Nyquista.

Ort sines cont.png
[math](\ldots)[/math]


Policzmy iloczyny z sinusami o optymalnie dobranych fazach; jak widać na poniższym rysunku, sinus o częstości 2,4 jest podobny do składowej a sygnału s, ale miara podobieństwa, czyli wartość iloczynu skalarnego, zależy silnie od fazy sinusa, z którym liczymy iloczyn sygnału — gwiazdką oznaczyliśmy fazę, dla której iloczyn jest największy:

Ft phase.png

Podobne dopasowania można wykonać dla każdej częstości wzajemnie ortogonalnych sinusów o częstościach [math] \frac1T, \frac2T, \ldots[/math] do częstości Nyquista.

Ft freq.png

Wyniki — optymalne fazy i uzyskane dla nich maksymalne wartości iloczynów skalarnych — przedstawiamy na wykresach:

Fake spect.png

Rozdzielczość (F)FT

Przyjrzyjmy się bliżej analizowanemu powyżej 'przykładowemu sygnałowi'

Ft sig s.png

Wyrysowana powyżej linia łamana łaczy sąsiednie z kolejnych 256 wartości wektora próbek

Ft sig digit nounits.png

Poza samym wektorem próbek, do oznaczenia osi na powyższych widmach potrzebna jest informacja o częstości próbkowania oraz przeliczniku wartości kolejnych próbek na wielkości fizyczne (np. mikrowolty). W tym przypadku odstęp między próbkami wynosił [math]\frac{1}{128}[/math] sekundy, więc ten wektor jest zapisem dwóch sekund sygnału:

Ft sig digit.png


Transformata Fouriera jest przedstawieniem sygnału w bazie złożonej z funkcji [math]e^{i\omega t}[/math]. Wymiar tej bazy powinien odpowiadać wymiarowi sygnału. Ponieważ dla każdej częstości zespolona transformata odtwarza amplitudę i fazę, to w widmie mocy będzie dwukrotnie mniej punktów niż w sygnale, dla którego liczono transformatę. Punkty w których liczymy transformatę Fouriera rozkładają się równomiernie od zera do częstości Nyquista, czyli połowy częstości próbkowania. Przy częstości próbkowania 128Hz częstość Nyquista wynosi 64Hz. Liczba punktów w transformacjie Fouriera wynosi tyle, ile w naturalne bazie sygnału, czyli 256. Połowa tych wartości opisuje amplitudy, a druga połowa fazy. Tak więc w widmie amplitudowym będzie 128 punktów, rozłożonych równomiernie od zera do 64 Hz, czyli rozdzielczość widma wyniesie w tym przypadku 0,5Hz.

Jako przykład 'z prawdziwego świata' spróbujmy rozszyfrować, skąd w przykładowym artykule[1] o interfejsach mózg-komputer opartych o SSVEP pojawiają się dziwne częstości 6,83 i 7,03 Hz.

Mamy tam do czynienia z 3-sekundowymi odcinkami sygnału próbkowanego z częstością 200Hz. Aby umożliwić stosowanie szybkiej transformaty Fouriera (FFT) oraz zwiększyć rozdzielczość, sygnał jest dopełniany (zerami) do 1024 punktów. Tak więc 512 punktów (1024/2) będzie w tym przypadku rozłożonych między 0 a 100 Hz, co daje odstęp 100/512, czyli ok. 0.195 Hz między kolejnymi częstościami. Punkty najbliższe 7Hz to 35*100/512 = 6,83 i 36*100/512 = 7,03 Hz.



  1. Xiaorong Gao, Dingfeng Xu, Ming Cheng and Shangkai Gao, "A BCI-based environmental controller for the motion-disabled" IEEE Transactions on Neural Systems and Rehabilitation Engineering, vol. 11, no. 2, pp. 137-140, June 2003, doi: 10.1109/TNSRE.2003.814449, https://web.archive.org/web/20091114205637id_/http://www.cis.gsu.edu/brainlab/papers/gao%202003%20-%2048N%20BCI.pdf