Z Brain-wiki
Skocz do: nawigacja, szukaj

AS/ Przekształcenie Fouriera

A jeśli sygnał nie jest ściśle okresowy? Jeśli pewne struktury powtarzają się, ale nie na tyle dokładnie by spełnić matematyczny wymóg okresowości \forall t \, s(t + T) = s(t)?

Przejdźmy do nieskończoności z okresem sygnału: T\rightarrow\infty. Wtedy odstęp \left(\frac{2\pi}{T}\right) między częstościami kolejnych elementów sumy z wyprowadzonego w poprzednim rozdziale wzoru na szereg Fouriera

 s(t) =\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{-i\frac{2\pi t}{T} n},

dąży do 0 i suma przechodzi w całkę

 s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f

funkcja \hat{s}(f), zastępująca dyskretny ciąg współczynników szeregu Fouriera

c_{n} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} s(t) e^\frac{2\pi i n t}{T} d t

to transformata Fouriera sygnału s(t), czyli wynik działania przekształcenia (transformacji) Fouriera \mathcal{F}.

 \mathcal{F}\left( s(t) \right) \equiv \hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t


Jak widać, transformata Fouriera jest zespoloną funkcją częstości. Jej moduł dla danej częstości f opisuje jej "zawartość" w sygnale, a faza odpowiada za "składanie" poszczególnych częstości w sygnał (1).

Moduł transformaty Fouriera odpowiada[1] na postawione na początku tego rozdziału pytanie o opis częstości zawartych w sygnale niekoniecznie okresowym, jak miało to miejsce w przypadku szeregów Fouriera. Tak naprawdę, to dla sygnału okresowego, opisanego równaniem (1), nie da się policzyć transformaty Fouriera, bo całka (2) jest nieskończona. Ogólnie dla sygnałów okresowych nie jest spełniony warunek \int_{-\infty}^{\infty} |s(t)| d t < \infty. Na szczęście sygnały występujące w przyrodzie, szczególnie po przekształceniu na formę dyskretną, zawsze spełniają warunki istnienia transformaty Fouriera [2].


Tożsamość Parsevala dla całek Fouriera

\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty} | \hat{s}( f ) |^2 d f

Dowód:

\int_{-\infty}^{\infty} | s(t) |^2 d t = \int_{-\infty}^{\infty}  s(t) \overline{s(t)} dt = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \left( \int_{-\infty}^{\infty} \overline{ \hat{s}(f)} e^{i 2\pi t f} d f \right)  dt =

= \int_{-\infty}^{\infty}  \overline{ \hat{s}(f)}  \left( \int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi t f} d t \right) df  =\int_{-\infty}^{\infty}  \overline{ \hat{s}(f)} \hat{s}(f) d f = \int_{-\infty}^{\infty}  | \hat{s}(f) |^2 d f

Przy przejściu do drugiej linii zamieniono kolejność całkowania według Twierdzenia Fubiniego:

Niech g:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R} — funkcja ciągła. Wówczas
\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d g(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b g(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} g(x,y)\,d(x,y).


Konwencje zapisu przekształcenia Fouriera

Szczególna postać wzorów (1) i (2) wynika z przyjęcia konwencji wyrażania częstości jako odwrotności czasu: f = \frac{1}{T} (w hercach). Dowolność pozostaje w umieszczeniu minusa w wykładniku - we wzorze na transformatę odwrotną (1) lub we wzorze (2). Z kolei przyjęcie częstości kołowej \omega = \frac{2\pi}{T} (w radianach) przenosi czynnik 2\pi (konkretnie jego odwrotność) z wykładnika przed całkę. Stąd różnorodność możliwych par wzorów:


s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{-i 2\pi t f} d f  \rightarrow\hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i 2\pi f t} d t

s(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(f)e^{i 2\pi t f} d f  \rightarrow\hat{s}(f)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i 2\pi f t} d t

s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow\hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t

s(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega \rightarrow\hat{s}(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t

s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{-i \omega t} d \omega  \rightarrow\hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{i \omega t} d t

s(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\hat{s}(\omega)e^{i \omega t} d \omega \rightarrow\hat{s}(\omega)={1\over{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\infty}^{\infty}s(t)e^{-i \omega t} d t

Przyjmujemy wywodzącą się z matematyki konwencję dodatniego wykładnika we wzorze na transformację (2) i ujemnego we wzorze na transformację odwrotną (1); ewentualne stosowanie częstości kołowej można odróżnić po użyciu symbolu \omega jako argumentu transformaty. W zastosowaniach inżynierskich przeważa konwencja ujemnego wykładnika we wzorze na transformację.

Symetrie i własności Transformaty Fouriera

jeśli sygnał s(t) jest\ldots to \mathcal{F} s(t) \equiv \hat{s}(\omega)\ \ldots
parzysty (s(t)=s(-t)) parzysta
nieparzysty (s(t)=-s(-t)) nieparzysta
rzeczywisty  \hat{s}(-\omega) = \overline{\hat{s}(\omega})
urojony \hat{s}(-\omega) = -\overline{\hat{s}(\omega})
rzeczywisty i parzysty rzeczywista i parzysta
rzeczywisty i nieparzysty urojona i nieparzysta
urojony i parzysty urojona i parzysta
urojony i nieparzysty rzeczywista i nieparzysta
Symetrie transformat Fouriera


skalowanie w czasie: s(a t) & \stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} & \frac{1}{|a|} \hat{s}(\frac{f}{a})
skalowanie w częstości: \frac{1}{|a|} s(\frac{t}{a}) & \stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} & \hat{s}(a f)
przesunięcie w czasie: s(t - t_0) & \stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} & \hat{s}(f) \;e^{2 \pi i f t_0}
przesunięcie w częstości: s(t) \;e^{- 2 \pi i f_0 t} & \stackrel{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} & \hat{s}(f - f_0)
Skalowanie i przesunięcie transformat Fouriera

Powyższe wzory wyprowadzić można bezpośrednio z definicji (1) i (2).



  1. Jeśli znamy dokładnie wartości sygnału od -\infty do \infty; w praktyce tak się nie zdarza, stąd m. in. rozdział o reprezentacjach przybliżonych.
  2. poza rozbieżnością całki modułu, "popsuć" wzory (2) i (1) może wyjątkowo patologiczne zachowanie funkcji, jak nieskończona liczba ekstremów lub punktów nieciągłości w skończonym przedziale. Podobnie wygląda sytuacja dla szeregów Fouriera.