Wielomiany: Różnice pomiędzy wersjami

Z Brain-wiki
(Utworzono nową stronę "__NOTOC__ ==Funkcja wykładnicza== Funkcję wykładniczą definiuje się najsampierw dla wykładników naturalnych. Dla dowolnego <math>a\in \mathbb R \;</math> oraz <...")
 
 
Linia 1: Linia 1:
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
  
−
==Funkcja wykładnicza==
+
==Wielomiany==
  
−
Funkcję wykładniczą definiuje się najsampierw dla wykładników naturalnych.
+
'''Wielomianem''' jednej zmiennej (tu: rzeczywistej) nazywamy funkcję
−
Dla dowolnego <math>a\in \mathbb R \;</math> oraz <math>n\in \mathbb N \;</math> można zapisać:
+
<center><math>
−
<equation id="eq:1">
+
W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\dots + a_{1}x + a_{0} , \;\; {\rm gdzie}
−
<math>a^n= a\cdot a \dots  a \;\;</math>  (n-razy)
+
a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \in \mathbb R, x\in \mathbb R
−
</equation>
+
</math></center>
−
Stąd od razu wynika, że:
+
Liczby <math>a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0</math> nazywamy '''współczynnikami''' wielomianu.
−
<equation id="eq:2">
 
−
<math>a^n \cdot a^m = a^{n+m}\;\;
 
−
</math>
 
−
</equation>
 
−
oraz
 
−
<equation id="eq:3">
 
−
<math>
 
−
\left(a^n\right)^m=a^{n m}\;\;
 
−
</math></equation>
 
−
 
 
−
Przyjmujemy, że <math>a^0=1\;</math>.
 
−
'''Ujemną potęgę''' definiujemy rozszerzając zasadę <xr id="eq:2">(%i)</xr> przez dopuszczenie, aby <math>n,m\;</math> były  dowolnymi liczbami całkowitymi. Weźmy:
 
−
<math>
 
−
a^{-n} a^n = a^{-n+n}=a^0=1
 
−
\;</math>
 
−
skąd
 
−
<equation id="eq:4">
 
−
<math>
 
−
a^{-n}=\frac{1}{a^n}\;\;
 
−
</math></equation>
 
−
(zakładamy tu, że <math>a\ne 0\;</math>).
 
  
−
Stąd od razu mamy
+
Jeśli <math>a_n\ne 0</math>, to liczbę <math>n</math> nazywamy '''stopniem wielomianu''': deg<math>W=n</math> ("degree").
−
<equation id="eq:5">
 
−
<math>
 
−
\left( \frac{a}{b} \right)^n = \frac{a^n}{b^n}\;
 
−
</math>
 
−
</equation>
 
  
−
Definiujemy następnie potęgi '''ułamkowe'''. Tu zakładamy, że <math>a>0\;</math> (zaraz się okaże dlaczego).
+
Jeśli <math>\forall_{x\in\mathbb R} W(x)=0</math>, to wielomian nazywamy '' zerowym''. Ma on wszystkie współczynniki równe zeru. Takiemu wielomianowi nie przypisujemy żadnego stopnia. (Można mu też przypisać stopień <math>-\infty</math>).
  
−
Oznaczmy: <math>b=a^\frac{1}{n}\;</math>. Mamy:
+
==Równość wielomianów==
  
−
<math>
+
Mówimy, że dwa wielomiany <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math> zmiennej rzeczywistej są równe <math>\Longleftrightarrow</math> gdy przyjmują te same wartości dla ''każdej'' wartości zmiennej <math>x</math>:
−
b^n = \left( a^\frac{1}{n}\right)^n = a^{\frac{1}{n}\cdot n} = a^1=a
+
<math>f=g \Longleftrightarrow \forall_{x\in \mathbb R} f(x)=g(x)</math>.
−
\;</math>
 
  
−
co znaczy, że <math>b=\sqrt[n]{a}\;</math>, czyli
+
===Twierdzenie o równości wielomianów===
−
<equation id="eq:6">
 
−
<math>
 
−
a^\frac{1}{n} = \sqrt[n]{a}.\;
 
−
</math></equation>
 
  
−
Dowolną potęgę wymierną liczby <math>a\;</math> definiujemy teraz jako
+
Dwa wielomiany <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math> zmiennej rzeczywistej są równe (zapisujemy to: <math>f\equiv g</math>) wtedy i tylko wtedy gdy mają równe
−
<equation id="eq:7">
+
współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej <math>x</math>.
−
<math>a^\frac{p}{n} = (\sqrt[n]{a})^p\; ,
 
−
</math>
 
−
</equation>
 
−
gdzie <math>n\in \mathbb N, p\in \mathbb N\;</math>
 
  
−
Mamy też: Jeśli <math>a>1\;</math> i <math>b>0\;</math>, to <math>a^b>1 \;</math> i, w konsekwencji, jeśli <math>c_1>c_2\;</math>, to <math>a^{c_1}>a^{c_2}\;</math>. (Dla <math>a<1\;</math> znaki trzeba odwrócić). To pozwala przez ciągłość  zdefiniować <math>a^b\;</math> dla dowolnych <math>a>0\;</math> i <math>b\in \mathbb R\;</math>. Widać też, że funkcja wykładnicza jest '''monotoniczna''' (rosnąca dla <math>a>1\;</math> i malejąca dla <math>a<1\;</math>).
+
==Twierdzenie o dzieleniu wielomianów==
 +
Jeśli <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math> są wielomianami i <math>g(x)</math> nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany <math>q(x)</math>, <math>r(x)</math>, że <math>f(x)=q(x) g(x) + r(x)</math>, przy czym <math>\deg r < \deg g</math>. Wielomian <math>q(x)</math> nazywamy '''ilorazem''' wielomianów <math>f</math> i <math>g</math>, zaś wielomian <math>r</math> &mdash; '''resztą''' z dzielenia <math>f</math> przez <math>g</math>.
  
 +
==Podzielność wielomianów==
  
−
[[file:plus exp.png|thumb|300px|right|Wykres funkcji wykładniczej typu <math>a^x</math>, gdzie a>1]]
+
Jeśli <math>r(x)\equiv 0</math>, to mówimy, że wielomian <math>f</math> jest '''podzielny''' przez wielomian <math>g</math>.
−
[[file:minus exp.png|thumb|300px|right|Wykres funkcji wykładniczej typu <math>a^x</math>, gdzie a<1]]
 
  
−
==Funkcja logarytmiczna==
+
==Pierwiastek wielomianu==
  
−
Jako że funkcja wykładnicza <math>f(x)=a^x\;</math> jest rosnąca (weźmy, dla ustalenia uwagi, <math>a>1\;</math>) w całej swojej dziedzinie, (dziedziną jest <math>\mathbb R\;</math> a zbiorem wartości <math>\mathbb R_+\;</math>) to istnieje funkcja do niej odwrotna. Zwiemy ją ''logarytmem''.
+
'''Pierwiastkiem''' wielomianu <math>f</math> nazywamy taką liczbę rzeczywistą <math>x_0</math>, że <math>W(x_0)=0</math>.
 +
===O dzieleniu wielomianu przez dwumian===
  
−
Zakładamy, że <math>a>0\;</math>, <math>a\ne 1\;</math>.
+
Reszta z dzielenia wielomianu <math>W(x)</math> przez dwumian <math>x-a</math> jest równa <math>W(a)</math>.
  
−
'''Def.''' Dla danych <math>a\;</math> oraz <math>y\;</math>, jeśli <math>x\;</math> jest takie, że <math>a^x=y\;</math>, to <math>x\;</math> nazywamy '''logarytmem''' o podstawie <math>a\;</math> z <math>y\;</math> i oznaczamy: <math>x=\log_a y\;</math>. Dziedziną logarytmu jest <math>\mathbb R_+\;</math>, a zbiorem wartości <math>\mathbb R\;</math>.
+
==Twierdzenie Bèzout==
  
−
===Własności===
+
Liczba <math>a</math> jest pierwiastkiem wielomianu <math>W(x)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian <math>W(x)</math> jest podzielny przez <math>x-a</math>.
−
Mamy więc dla dowolnego <math>a\;</math>: <math>\log_a a = 1\;</math> (ponieważ <math>a^1 = a\;</math>) oraz <math>\log_a 1 = 0\;</math>
 
  
−
(ponieważ <math>a^0=1\;</math>).
+
===Inna postać zapisu tw. Bèzouta===
  
−
Własności <xr id="eq:2">(%i)</xr> odpowiada:
+
Jeśli <math>a</math> jest pierwiastkiem wielomianu <math>W(x)</math>, to można go zapisać w postaci: <math>W(x) = p(x)(x-a)</math>, gdzie <math>p(x)</math> jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż <math>W(x)</math>.
  
−
<equation id="eq:8">
+
==Twierdzenie==
−
<math>
+
Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
−
\log_a(b \cdot c) = \log_a b + \log_a c\;\;</math> oraz  <math>\log_a \tfrac{b}{c} = \log_a b - \log_a c\;\;
 
−
</math>
 
−
</equation>
 
−
 
 
−
a własności <xr id="eq:3">(%i)</xr>:
 
−
<equation id="eq:9">
 
−
<math>\log_a b^c = c\cdot \log_a b\;\;
 
−
</math>
 
−
</equation>
 
−
 
 
−
W szczególności: 
 
−
<center><math>
 
−
\log_a( \sqrt[n]{b}) =\frac{1}{n}  \log_a b \;
 
−
</math></center>
 
  
−
===Przeliczanie logarytmów o różnych podstawach===
+
==Twierdzenie==
  
−
Często się zdarza, że trzeba przeliczać logarytmy o różnych podstawach. Najbardziej chyba rozpowszechnione są logarytmy '' dziesiętne'' (tzn. o podstawie 10) i '''naturalne''' o podstawie <math>e\approx 2,718...\;</math> (o liczbie <math>e\;</math> powiemy więcej za kilka wykładów).
+
Każdy wielomian <math>n</math>&mdash;tego stopnia ma co najwyżej <math>n</math> pierwiastków.
  
−
Jak przeliczać jedne na drugie?
+
==Twierdzenie==
  
−
Rozważmy ogólniejszą sytuację &mdash; logarytmów o dwóch podstawach <math>a\;</math> oraz <math>b\;</math>.
+
Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek.
  
−
Wyraźmy teraz <math>\log_ax \;</math> przez <math>\log_b x\;</math>.
+
==Krotność pierwiastka==
  
−
Wyraźmy najsampierw <math>a\;\;</math> jako pewną potęgę <math>b\;\;</math>. Napiszmy: <math>a = b^A\;\;</math> i obustronnie zlogarytmujmy. Mamy: <math>\log_a a = 1 = \log_a (b^A) = A\log_a b\;\;</math>, skąd <math> A=\frac{1}{\log_a b}\;</math>
+
Liczbę <math>a</math> nazywamy <math>k</math>&mdash;'''krotnym''' (gdzie <math>k\in \mathbb N</math>) pierwiastkiem wielomianu <math>W(x)</math> <math>\Longleftrightarrow</math> <math>W(x)</math> jest podzielny przez <math>(x-a)^k</math>, ale nie jest podzielny przez <math>(x-a)^{k+1}</math>. Liczbę <math>k</math> nazywamy '''krotnością''' pierwiastka.
  
−
Weźmy teraz: <math>y=a^x\;</math>; mamy więc: <math>x=\log_a y\;</math>. Z drugiej strony, <math>\log_b y = \log_b(b^{Ax}) = Ax = \frac{1}{\log_a b} x\;</math> czyli
+
==Funkcje wymierne==
−
<equation id="eq:10">
 
−
<math>\log_a b \log_b y = \log_a y\;\;</math>
 
−
</equation>
 
  
−
====Przykład====
+
Funkcję: <math>f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}</math>, gdzie <math>P(x), Q(x)</math> są wielomianami i <math>Q(x)\not\equiv 0</math>, nazywamy '''funkcją wymierną'''.
  
−
Biorąc <math>a=e\;</math>, <math>b=10\;</math>, mamy: <math>\ln y = \ln 10 \log_{10} y \approx 2,303 \log_{10} y\;</math>.
+
Dziedziną <math>D_f</math> tej funkcji jest zbiór <math>D_f=\{x\in\mathbb R: Q(x)\ne 0\}</math>.

Aktualna wersja na dzień 11:52, 22 maj 2015


Wielomiany

Wielomianem jednej zmiennej (tu: rzeczywistej) nazywamy funkcję

[math] W(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\dots + a_{1}x + a_{0} , \;\; {\rm gdzie} a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0 \in \mathbb R, x\in \mathbb R [/math]

Liczby [math]a_n, a_{n-1}, \dots, a_1, a_0[/math] nazywamy współczynnikami wielomianu.

Jeśli [math]a_n\ne 0[/math], to liczbę [math]n[/math] nazywamy stopniem wielomianu: deg[math]W=n[/math] ("degree").

Jeśli [math]\forall_{x\in\mathbb R} W(x)=0[/math], to wielomian nazywamy zerowym. Ma on wszystkie współczynniki równe zeru. Takiemu wielomianowi nie przypisujemy żadnego stopnia. (Można mu też przypisać stopień [math]-\infty[/math]).

Równość wielomianów

Mówimy, że dwa wielomiany [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] zmiennej rzeczywistej są równe [math]\Longleftrightarrow[/math] gdy przyjmują te same wartości dla każdej wartości zmiennej [math]x[/math]: [math]f=g \Longleftrightarrow \forall_{x\in \mathbb R} f(x)=g(x)[/math].

Twierdzenie o równości wielomianów

Dwa wielomiany [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] zmiennej rzeczywistej są równe (zapisujemy to: [math]f\equiv g[/math]) wtedy i tylko wtedy gdy mają równe współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej [math]x[/math].

Twierdzenie o dzieleniu wielomianów

Jeśli [math]f(x)[/math], [math]g(x)[/math] są wielomianami i [math]g(x)[/math] nie jest wielomianem zerowym, to istnieją takie wielomiany [math]q(x)[/math], [math]r(x)[/math], że [math]f(x)=q(x) g(x) + r(x)[/math], przy czym [math]\deg r \lt \deg g[/math]. Wielomian [math]q(x)[/math] nazywamy ilorazem wielomianów [math]f[/math] i [math]g[/math], zaś wielomian [math]r[/math] — resztą z dzielenia [math]f[/math] przez [math]g[/math].

Podzielność wielomianów

Jeśli [math]r(x)\equiv 0[/math], to mówimy, że wielomian [math]f[/math] jest podzielny przez wielomian [math]g[/math].

Pierwiastek wielomianu

Pierwiastkiem wielomianu [math]f[/math] nazywamy taką liczbę rzeczywistą [math]x_0[/math], że [math]W(x_0)=0[/math].

O dzieleniu wielomianu przez dwumian

Reszta z dzielenia wielomianu [math]W(x)[/math] przez dwumian [math]x-a[/math] jest równa [math]W(a)[/math].

Twierdzenie Bèzout

Liczba [math]a[/math] jest pierwiastkiem wielomianu [math]W(x)[/math] wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian [math]W(x)[/math] jest podzielny przez [math]x-a[/math].

Inna postać zapisu tw. Bèzouta

Jeśli [math]a[/math] jest pierwiastkiem wielomianu [math]W(x)[/math], to można go zapisać w postaci: [math]W(x) = p(x)(x-a)[/math], gdzie [math]p(x)[/math] jest wielomianem stopnia o 1 niższego niż [math]W(x)[/math].

Twierdzenie

Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można przedstawić w postaci iloczynu wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.

Twierdzenie

Każdy wielomian [math]n[/math]—tego stopnia ma co najwyżej [math]n[/math] pierwiastków.

Twierdzenie

Każdy wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek.

Krotność pierwiastka

Liczbę [math]a[/math] nazywamy [math]k[/math]—krotnym (gdzie [math]k\in \mathbb N[/math]) pierwiastkiem wielomianu [math]W(x)[/math] [math]\Longleftrightarrow[/math] [math]W(x)[/math] jest podzielny przez [math](x-a)^k[/math], ale nie jest podzielny przez [math](x-a)^{k+1}[/math]. Liczbę [math]k[/math] nazywamy krotnością pierwiastka.

Funkcje wymierne

Funkcję: [math]f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}[/math], gdzie [math]P(x), Q(x)[/math] są wielomianami i [math]Q(x)\not\equiv 0[/math], nazywamy funkcją wymierną.

Dziedziną [math]D_f[/math] tej funkcji jest zbiór [math]D_f=\{x\in\mathbb R: Q(x)\ne 0\}[/math].

Źródło: „http://brain.fuw.edu.pl/edu/index.php?title=Wielomiany&oldid=1139”