Matematyka 1NI/Calka nieoznaczona

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Funkcją pierwotną funkcji [math] f(x) [/math] w przedziale [math] X [/math] nazywamy funkcję [math] F(x) [/math] taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi

[math] F'(x)=f(x) [/math].

Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale [math] X [/math] danej funkcji jest funkcją stałą.

Dla wyrażenia [math] F(x)+C [/math] rezerwujemy nazwę całka nieoznaczona i symbol [math] \int f(x) \, dx [/math].

Zadanie 1

Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji

[math] f(x)=\frac{1}{x} [/math].

Wskazówka

Uwaga, zadanie nie jest sformułowane zbyt precyzyjnie. Dziedzina naturalna funkcji nie jest przedziałem. Rozważ dwa przedziały [math]]-\infty,0[[/math] i [math] ]0,\infty[ [/math].

---

Rozwiązanie

Funkcją pierwotną w przedziale [math] ]-\infty,0[ [/math] jest [math]\displaystyle F(x)=\log(-x) +c_1 \, , [/math] zaś w przedziale [math] ]0,\infty[ [/math] to [math]\displaystyle F(x)=\log x +c_2 \, , [/math] gdzie [math]c_1[/math] i [math]c_2[/math] są pewnymi liczbami rzeczywistymi.

---

Uwagi

Zwyczajowo stosowany zapis [math]\int \frac{1}{x} \, dx=\log|x|+c[/math] może prowadzić do nieporozumień.

---

Całkowanie przez części

Uwagi wstępne

Wzór na całkowanie przez części: [math] \displaystyle \int u(x) v'(x) \, dx =u(x) v(x)- \int u'(x) v(x) \, dx[/math] o ile funkcje [math] u' [/math] i [math] v' [/math] są ciągłe na przedziale [math] X [/math] .

Zadanie 1

Znajdź wszystkie funkcje pierwotne funkcji

[math] f(x)=x \cos x [/math].

Wskazówka

Przyjmij [math] u(x)=x [/math] i [math] v'(x)=\cos x [/math].

---

Rozwiązanie

[math]\displaystyle \int x \cos x \, dx =\left| \begin{matrix} u(x)=x & u'(x)=1 \\ v'(x)=\cos x & v(x)=\sin x \end{matrix}\right|= x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x +\cos x+c [/math].

---

Uwagi

Podobnie obliczamy całki [math] \int x^2 \sin (2x) \, dx [/math], [math] \int x^2 e^{7x} \, dx [/math].

---

Zadanie 2

Znajdź związek rekurencyjny między całkami [math] I_n= \int x^n e^{ax} \;dx [/math] gdzie [math] a \neq 0 [/math].

Wskazówka

Wykonaj całkowanie przez części przyjmując [math] u(x)=x^n [/math] i [math] v'(x)=e^{ax}[/math].

---

Rozwiązanie

[math] I_n= \int x^n e^{ax} \;dx=\frac{1}{a}x^n e^{ax}-\frac{n}{a} \int x^{n-1} e^{ax} \;dx \, \, [/math] czyli
[math] I_n=\frac{1}{a}x^n e^{ax}-\frac{n}{a}I_{n-1}[/math].

---

Uwagi

Oblicz [math] I_3 [/math]. Metodę tę można zastosować do obliczania całek [math] J_n= \int x^n \cos (ax) \;dx [/math], [math] K_n= \int x^n sin (ax) \;dx [/math] wyrażając całki [math] J_n [/math] i [math] K_n [/math] przez całki [math] J_{n-1} [/math] i [math] K_{n-1} [/math].

---

Zadanie 3

Oblicz całkę [math]\displaystyle \int \arctan x \, dx [/math].

Wskazówka

Połóż [math] u(x)=\arctan x [/math] i [math] v'(x)=1 [/math].

---

Rozwiązanie

[math] \int \arctan x \, dx=\left| \begin{matrix} u(x)=\arctan x & u'(x)=\frac{1}{1+x^2} \\ v'(x)=1 & v(x)=x \end{matrix}\right|=x \arctan x - \int \frac{x}{1+x^2} \, dx=x \arctan x-\frac{1}{2}\log (1+x^2)+c[/math]

---

Uwagi

Obliczyć [math]\displaystyle \int \log x \, dx [/math].

---

Zadanie 4

Oblicz całkę [math]\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx [/math].

Wskazówka

Wykonaj dwa razy całkowanie przez części

---

Rozwiązanie

[math]\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx= \left| \begin{matrix} u(x)=\cos{b x} & u'(x)=-b\sin(b x) \\ v'(x)=e^{ax} & v(x)=\frac{1}{a} e^{ax}\end{matrix}\right|= \frac{1}{a} e^{ax} \cos{b x}+\frac{b}{a} \int e^{ax} \sin(b x) \, dx= \left| \begin{matrix} u(x)=\sin{b x} & u'(x)=b\cos(b x) \\ v'(x)=e^{ax} & v(x)=\frac{1}{a} e^{ax}\end{matrix}\right|= [/math] [math] \frac{1}{a} e^{ax} \cos{b x}+\frac{b}{a^2} e^{ax} \sin{b x}-\frac{b^2}{a^2} \int e^{ax} \cos(b x) \, dx [/math]

Otrzymaliśmy więc równość między całkami nieoznaczonymi

[math]\displaystyle a^2 \int e^{ax} \cos(b x) \, dx= a e^{ax} \cos{b x}+ b e^{ax} \sin{b x}-b^2 \int e^{ax} \cos(b x) \, dx [/math].

Przenosząc całki na jedną stroną otrzymujemy

[math]\displaystyle \int e^{ax} \cos(b x) \, dx= \frac{a}{a^2+b^2} e^{ax} \cos{b x}+ \frac{b}{a^2+b^2} e^{ax} \sin{b x}+c [/math].

---

Uwagi

---

Zadanie 5

Oblicz całkę [math]\displaystyle \int \sin^2 (7x) \, dx[/math].

Wskazówka

Wykonaj całkowanie przez części a następnie skorzystaj z jedynki trygonometrycznej

---

Rozwiązanie

[math]\displaystyle \int \sin^2 (7x) \, dx= \left| \begin{matrix} u(x)=\sin (7x) & u'(x)=7 \cos(7 x) \\ v'(x)=\sin (7x)& v(x)=-\frac{1}{7} \cos(7 x)\end{matrix}\right|= -\frac{1}{7}\sin (7x)\cos(7 x)+ \int \cos^2 (7 x) \, dx=-\frac{1}{7}\sin (7x)\cos(7 x)+ \int [1- \sin^2 (7 x)] \, dx= [/math]

[math] -\frac{1}{7}\sin (7x)\cos(7 x)+ x-\int \sin^2 (7x) \, dx [/math]

Czyli ostatecznie postępując jak w poprzednim zadaniu mamy [math]\int \sin^2 (7x)=-\frac{1}{14}\sin (7x)\cos(7 x)+\frac{1}{2} x+c[/math]

---

Uwagi

Metoda działa dla [math]\displaystyle \int \sin^{2 n} (7x) \, dx[/math] dla dowolnego [math] n [/math] naturalnego.

---

Zadanie 6

Oblicz całkę [math]\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx [/math].

Wskazówka

Scałkuj przez części.

---

Rozwiązanie

[math]\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx= \left| \begin{matrix} u(x)=\sqrt{x^2+1} & u'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\ v'(x)=1 & v(x)=x \end{matrix}\right|= x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} \, dx=x\sqrt{x^2+1}-\int \frac{x^2+1-1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx= [/math][math] =x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1} \, dx+\int \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \, dx= x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1} \, dx+ \hbox{ar sinh} \, x=x\sqrt{x^2+1}-\int \sqrt{x^2+1} \, dx+ \log ( x +\sqrt{x^2+1}) [/math].

Postępując jak w dwóch ostatnich zadaniach mamy

[math]\displaystyle \int \sqrt{x^2+1} \, dx=\frac{x}{2} \sqrt{x^2+1}+ \frac{1}{2}\log (x +\sqrt{x^2+1})+c[/math].

---

Uwagi

Dużo bardziej ogólną metodą pozwalającą obliczyć nie tylko tę całkę ale również szereg innych jest podstawienie [math]x= \sinh t [/math] patrz Uwagi końcowe na tej stronie.

Całkowanie przez podstawienie

Uwagi wstępne

Wzór na całkowanie przez podstawienie

[math]\displaystyle \int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(y) \, dy |_{y=f(x)} [/math]

gdzie zakładamy ciągłość funkcji [math]f[/math] i [math]g'[/math] na przedziale [math]X[/math].

Zadanie 1

Oblicz całki nieoznaczone [math] \int (\frac{1}{7}x+1)^{76} \, dx [/math], [math] \int (x^2+1)\sqrt[7]{1+x} \, dx [/math], [math] \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx [/math].

Wskazówka

Podstawienie odpowiednia funkcja liniowa (w trzecim przykładzie sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej).

---

Rozwiązanie

[math] \int (\frac{1}{7}x+1)^{76} \, dx = \left| \begin{matrix} y=\frac{1}{7}x+1\\ dy = \frac{1}{7}dx \end{matrix}\right|=7 \int y^{76} \, dy= 7 \frac{1}{77} y^{77}+c=\frac{1}{11}(\frac{1}{7}x+1)^{77}+c [/math],

[math] \int (x^2+1)\sqrt[7]{1+x} \, dx = \left| \begin{matrix} y=x+1\\ dy = dx \end{matrix}\right|=\int ((y-1)^2+1)\sqrt[7]{y} \, dy= \int y^{\frac{15}{7}}-2y^{\frac{8}{7}}+2y^{\frac{1}{7}}\, dy=\frac{7}{22} (x+1)^{\frac{22}{7}}- \frac{14}{15}(x+1)^{\frac{15}{7}}+ \frac{7}{4}(x+1)^{\frac{8}{7}}+c [/math],

[math] \int \frac{1}{x^2+x+1} \, dx = \int \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}} \, dx = \left| \begin{matrix} \sqrt{\frac{3}{4}}y=x+\frac{1}{2}\\ \sqrt{\frac{3}{4}} dy = dx \end{matrix}\right|= \sqrt{\frac{4}{3}}\int \frac{1}{y^2+1} \, dy= \sqrt{\frac{4}{3}} \arctan\left[\sqrt{\frac{4}{3}}(x+\frac{1}{2})\right]+c [/math].

---

Uwagi

W pierwszym rzędzie student powinien mieć świadomość, że podstawienie liniowe pozwala sprowadzać całki do pewnych kanonicznych form.

---

Zadanie 2

Oblicz całki nieoznaczone [math] \int e^{3 x^2} x \, dx [/math], [math] \int \frac{\sin x}{\sqrt[4]{2+\cos x}} \, dx [/math].

Wskazówka

---

Rozwiązanie

[math] \int e^{3 x^2} x \, dx = \left| \begin{matrix} y=3 x^2 \\ dy = 6 x dx \end{matrix}\right|=\frac{1}{6} \int e^y \, dy= \frac{1}{6}e^y + c=\frac{1}{6}e^{3 x^2}+c [/math],

[math] \int \frac{\sin x}{\sqrt[4]{2+\cos x}} \, dx = \left| \begin{matrix} y=2+\cos x \\ dy = -\sin x dx \end{matrix}\right|= -\int y^{-\frac{1}{4}} \, dy=-\frac{4}{3}y^{\frac{3}{4}}+c=-\frac{4}{3}(2+\cos x)^{\frac{3}{4}}+c [/math].

---

Uwagi

---

Zadanie 3

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \sqrt{x^2-a^2} \, dx [/math], [math] a\gt 0 [/math].

Wskazówka

Na przedziale [math] [a,\infty[ [/math] podstaw [math] y= \hbox{ar cosh}\frac{x}{a} [/math], natomiast na przedziale [math] ]-\infty,-a] [/math] podstaw [math] y= \hbox{ar cosh}\left(-\frac{x}{a}\right). [/math]

---

Rozwiązanie

Zgodnie ze wskazówką dla całki nieoznaczonej na przedziale [math] [a,\infty[ [/math] podstawiamy [math] y= \hbox{ar cosh}\frac{x}{a} [/math], czyli [math] x= a \cosh y[/math], [math] dx= a \sinh y \, dy[/math] i wyjściowa całka to

[math] a^2 \int \sinh^2 y \, dy =a^2 \int \left(\frac{e^{2y}}{4}+\frac{e^{-2y}}{4}- \frac{1}{2}\right) \, dy= a^2 \left( \frac{e^{2y}}{8}-\frac{e^{-2y}}{8}- \frac{y}{2}\right)+c=\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\log\left(x+ \sqrt{x^2-a^2}\right) +c [/math].

Na przedziale [math] ]-\infty,-a] [/math] kładziemy [math] y= \hbox{ar cosh}\left(-\frac{x}{a}\right) [/math], czyli [math] x= -a \cosh y [/math], [math] dx= -a \sinh y \, dy[/math] otrzymując

[math]-a^2 \int \sinh^2 y \, dy =-a^2 \int \left(\frac{e^{2y}}{4}+\frac{e^{-2y}}{4}- \frac{1}{2}\right) \, dy= a^2 \left( \frac{e^{2y}}{8}-\frac{e^{-2y}}{8}- \frac{y}{2}\right)+c=\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}+\frac{a^2}{2}\log\left(-x+ \sqrt{x^2-a^2}\right) +c= [/math][math] =\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\log\left(-x- \sqrt{x^2-a^2}\right) +c_1. [/math]

Ostatecznie [math]\frac{x}{2} \sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}\log\left| x+ \sqrt{x^2-a^2}\right| +c [/math].

---

Uwagi

Narzucamy sposób rozwiązywania tego zadania by przypomnieć funkcje hiperboliczne i polowe. Ewentualnie wspominamy o alternatywnych podstawieniach ([math] y=\frac{1}{\cos x} [/math], [math] y=\frac{1}{\sin x} [/math], podstawienia Eulera) i przypominamy,że akurat to zadanie można rozwiązać podobnie jak zadanie 6 z ustępu całkowanie przez części.

---

Rozkład na ułamki proste

Uwagi wstępne

Funkcję wymierną nazywamy ułamkiem właściwym jeśli stopień jej licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdą funkcję wymierną można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego. Ułamkami prostymi pierwszego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci

[math]\displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \hbox{ gdzie } n \in {\mathbb N}, A \in {\mathbb R} \setminus {0}, \, B \in {\mathbb R} [/math]

Ułamkami prostymi drugiego rodzaju nazywamy ułamki właściwe postaci

[math]\displaystyle \frac{a x+d}{(x^2+bx+c)^n} \hbox{ gdzie } n \in {\mathbb N}, \, a,b,c,d \in {\mathbb R}, \, a^2+d^2 \ne 0,\, b^2-4c\lt 0 [/math]

Każdy ułamek właściwy można przedstawić w postaci sumy ułamków prostych.

Zadanie 1

Rozłóż funkcję wymierną [math]Q(x)=\frac{x^6}{x^4-1}[/math] na sumę pewnego wielomianu i pewnego ułamka właściwego.

Wskazówka

Podziel wielomian [math]x^6[/math] przez wielomian [math]x^4-1[/math].

---

Rozwiązanie

[math]\displaystyle \frac{x^6}{x^4-1}=\frac{x^6-x^2+x^2}{x^4-1}=\frac{x^2(x^4-1)}{x^4-1}+\frac{x^2}{x^4-1}=x^2+\frac{x^2}{x^4-1} \, . [/math]

---

Uwagi

Celem tego zadania nie jest nauka dzielenia wielomianów (bo tę umiejętność studenci nabywają wcześniej), lecz zaznajomienie słuchaczy po pierwsze z pojęciem ułamka właściwego i po drugie z pierwszym krokiem algorytmu rozkładania funkcji wymiernych na ułamki proste.

---

Zadanie 2

W jakiej postaci należy szukać rozkładu na ułamki proste następującej funkcji wymiernej

[math] Q(x)=\frac{x^{10}+1}{(x^2+1) x^2 (x+1)^2(x^2-1)(x^2+4)^3} \, . [/math]

Wskazówka

Zauważ, że mianownik nie jest rozłożony na czynniki (o współczynnikach rzeczywistych) stopnia możliwie najniższego.

---

Rozwiązanie

Ponieważ podana funkcja wymierna jest ułamkiem właściwym można ją przedstawić w postaci sumy ułamków prostych. Rozkładamy mianownik na czynniki stopnia co najwyżej drugiego i możliwie najniższego, w naszym przypadku wystarczy położyć [math]x^2-1=(x-1)(x+1)[/math] czyli

[math] \displaystyle \frac{x^{10}+1}{(x^2+1) x^2 (x+1)^3(x-1)(x^2+4)^3} \,. [/math]

Postać rozkładu to

[math]\displaystyle \frac{ax+b}{x^2+1}+\frac{c}{x^2}+\frac{d}{x}+\frac{\alpha}{(x+1)^3}+\frac{\beta}{(x+1)^2}+\frac{\gamma}{x+1}+ \frac{\delta}{x-1}+\frac{Ax+B}{(x^2+4)^3}+\frac{Cx+D}{(x^2+4)^2}+\frac{Fx+G}{x^2+4} \, , [/math]

gdzie [math] a,\, b\, ,c\, ,d\, ,\alpha,\, \beta,\, \gamma,\, \delta,\, A,\, B,\, C,\, D,\, F,\, G [/math] to poszukiwane współczynniki rozkładu.

---

Uwagi

Zwracamy uwagę osobom nieobecnym na wykładzie, że w ogólności w rozkładzie na ułamki proste występują wszystkie ułamki proste o następującej własności: mianownik rozkładanej funkcji jest podzielny przez mianownik ułamka prostego. Ponadto przypominamy techniki znajdowania pierwiastków szczególnych klas wielomianów.

---

Zadanie 3

Rozłóż na ułamki proste następującą funkcję wymierną [math] \displaystyle Q(x)= \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2} \, . [/math]

Wskazówka

Rozkładu szukaj w postaci (dlaczego?) [math] \displaystyle \frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2}\, . [/math]

---

Rozwiązanie

Stopień licznika podanej funkcji wymiernej jest mniejszy od stopnia jej mianownika, przystępujemy więc od razu do rozkładu na ułamki proste. Mianownik jest wielomianem dwukwadratowym łatwo dokonujemy więc jego rozkładu (podstawienie [math]t=x^2[/math]) na iloczyn wielomianów stopnia drugiego [math]x^4+3x^2+2=(x^2+1)(x^2+4)[/math]. Oba wielomiany stopnia drugiego nie dają się rozłożyć na wielomiany stopnia pierwszego (o współczynnikach rzeczywistych) postać rozkładu na ułamki proste wygląda więc następująco

[math] \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}= \frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2+2} [/math]

Monożąc obie strony ostatniej równości przez mianownik wyjściowej funkcji wymiernej mamy

[math] x^2+x+2=(Ax+B)(x^2+2)+ (Cx+D)(x^2+1)[/math]

co po wymnożeniu nawiasów i uporządkowaniu daje

[math]\displaystyle x^2+x+2= (A+C) x^3+(B+D) x^2 +(2A+C)x+(2B+D) [/math]

Dwa wielomiany są sobie równe gdy ich współczynniki są sobie równe (równanie (1) ma być spełnione dla dowolnej wartości [math]x\, [/math]), otrzymujemy więc następujący układ równań

[math] \left\{ \begin{matrix} A+C=0 \\ B+D=1 \\ 2A+C =1 \\ 2B+D=2 \end{matrix} \right. \, , [/math]

którego rozwiązaniem jest

[math] \left\{ \begin{matrix} A=1 \\ B=1 \\ C =- 1 \\ D=0 \end{matrix} \right. \, . [/math]

Ostatecznie otrzymujemy

[math] \frac{x^2+x+2}{x^4+3x^2+2}= \frac{x+1}{x^2+1}+\frac{-x}{x^2+2} \, .[/math]

---

Uwagi

---

Zadanie 4

Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie [math] \displaystyle \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)} \, . [/math]

Wskazówka

Rozkładu szukaj w postaci [math] \displaystyle \frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}+ \frac{d}{x+3}\, . [/math]

---

Rozwiązanie

Mnożąc równość

[math] \frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)}= \frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}+\frac{c}{x+2}+ \frac{d}{x+3}[/math]

przez [math] x(x+1)(x+2)(x+3)[/math] otrzymujemy (lub innymi słowy sprowadzają prawą stronę do wspólnego mianownika i porównując liczniki lewej i prawej strony równości)

[math]\displaystyle 1= a (x+1)(x+2)(x+3)+b x(x+2)(x+3)+c x(x+1)(x+3)+d x(x+1)(x+2) [/math]

Wstawiając do powyższej równości kolejno [math]x=0[/math], [math]x=-1[/math], [math]x=-2[/math], [math]x=-3[/math] otrzymujemy odpowiednio [math]a=\frac{1}{6}\,[/math], [math] b=-\frac{1}{2}\, [/math], [math] c=\frac{1}{2} \,[/math], [math]d=-\frac{1}{6}\, [/math] i ostatecznie [math]\frac{1}{x(x+1)(x+2)(x+3)}= \frac{1}{6}\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\frac{1}{(x+1)}+\frac{1}{2}\frac{1}{(x+2)}- \frac{1}{6} \frac{1}{(x+3)}[/math]

---

Uwagi

Używając liczb zespolonych zastosuj zaprezentowaną tu metodą do Zadania 3

---

Zadanie 5

Rozłóż na ułamki proste następujące wyrażenie [math] \displaystyle \frac{x-1}{x^2(x+1)} \, . [/math]

Wskazówka

Rozkładu szukaj w postaci [math] \displaystyle \frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}\, . [/math]

---

Rozwiązanie

Mnożąc równość

[math] \frac{x-1}{x^2(x+1)}= \frac{A}{x^2}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x+1}\,[/math]

przez [math]x^2(x+1) [/math] otrzymujemy

[math]\displaystyle x-1= A(x+1) + Bx(x+1)+C x^2 [/math]

Wstawiając do powyższej równości kolejno [math]x=0[/math], [math]x=-1[/math] otrzymujemy odpowiednio [math]A=-1\,[/math], [math] C=-2\, [/math], z kolei wstawiając otrzymane wartości [math]A\,[/math] i [math] C\, [/math] do równości (2) otrzymujemy [math]2 x=B(x^2+x)-2 x^2\,[/math] czyli [math]B=2\,[/math]. Ostatecznie mamy

[math]\frac{x-1}{x^2(x+1)}= -\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}-\frac{2}{x+1}[/math].

---

Uwagi

Można pokazać trick z obustronnym różniczkowaniem równości (2).

---

Całkowanie funkcji wymiernych

Uwagi wstępne Każdą funkcję wymierną można zapisać jako sumę pewnego wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych. Dzięki liniowości całki całkowanie dowolnej funkcji wymiernej można sprowadzić do całkowania wielomianów i ułamków prostych.

Zadanie 1

Scałkuj ułamki proste pierwszego rodzaju [math] \int \displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \, dx [/math].

Wskazówka

Zrób zadanie 1 z ustępu całkowanie przez podstawienie.

---

Rozwiązanie

Podstawienie [math] \displaystyle y=x-B [/math] sprowadza nasz problem do całkowania [math] \int \displaystyle \frac{1}{y^n} \, dy [/math]. Odpowiedź :

[math] \int \displaystyle \frac{A}{(x-B)} \, dx = A \log|x-B|+c [/math],

[math] \int \displaystyle \frac{A}{(x-B)^n} \, dx = \frac{1}{1-n} \frac{A}{(x-B)^{n-1}} +c \hbox{ dla } n \ne 1 [/math].

---

Uwagi

Przypomnieć uwagę z zadania 1 z ustępu Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości.

---

Zadanie 2

Znajdź związek rekurencyjny między całkami [math] I_n:=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}\, dx \,\,\, a\gt 0 [/math].

Wskazówka

Wykonaj całkowanie przez części kładąc [math] u(x)=\frac{1}{(x^2+a^2)^n} [/math] i [math] v'(x)=1[/math].

---

Rozwiązanie

Całkując przez części otrzymujemy

[math]\displaystyle \int\frac{1}{(x^2+a^2)^n} \, dx =\left| \begin{matrix} u(x)=\frac{1}{(x^2+a^2)^n} & u'(x)=-n\frac{2x}{(x^2+a^2)^{n+1}} \\ v'(x)=1 & v(x)= x \end{matrix}\right|=\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+n \int \frac{2x^2+2a^2- 2a^2}{(x^2+a^2)^{n+1}} \, dx = [/math]

[math] =\frac{x}{(x^2+a^2)^n}-2 n a^2 \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n+1}} \, dx +2n \int \frac{1}{(x^2+a^2)^{n}} \, dx [/math],

Co daje

[math]I_n=\frac{x}{(x^2+a^2)^n} -2 n a^2 I_{n+1}+2 n I_n[/math],

i ostatecznie

[math]I_{n+1}=\frac{1}{2 n a^2} \left(\frac{x}{(x^2+a^2)^n}+(2 n-1) I_n \right) [/math].

---

Uwagi

Wypisać całki dla [math]n=1,2,3[/math].

---

Zadanie 3

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{x^3+2x^2}{x^2-1} \, dx [/math].

Wskazówka

Zacznij od podzielenia wielomianów i rozkładu na ułamki proste.

---

Rozwiązanie

Funkcję podcałkową można zapisać jako [math]\displaystyle x+2 + \frac{\frac{3}{2}}{x-1}- \frac{\frac{1}{2}}{x+1}[/math] a stąd

[math] \int \frac{x^3+2x^2}{x^2-1} \, dx =\int x+2 + \frac{3}{2}\frac{1}{x-1}- \frac{1}{2}\frac{1}{x+1} \, dx= \frac{1}{2} x^2+2 x + \frac{3}{2} \log|x-1|- \frac{1}{2}\log|x+1|+c [/math]

---

Uwagi

---

Zadanie 4

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1}{x^4+1}\, dx [/math].

Wskazówka

Jeśli nie straszne Ci liczby zespolone to pewnie potrafisz obliczyć pierwiastki czwartego stopnia z -1, dzięki temu

[math] x^4+1=(x-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)(x-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i) (x+\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)(x+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)= (x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2+\sqrt{2}x+1) [/math].

Ale czy nie można prościej? Tym razem można [math]x^4+1=x^4+1+2x^2-2x^2=(x^2+1)^2-2x^2 [/math].

---

Rozwiązanie

Po pracowitym rozłożeniu funkcji podcałkowej na ułamki proste (porównaj zadanie 3 w części rozkład na ułamki proste)

[math] \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} -\frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}[/math]

przystępujemy do całkowania

[math] \int \frac{1}{x^4+1}\, dx =\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} \, dx -\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{4}x-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} \, dx= \int \frac{\frac{\sqrt{2}}{8}(2x+\sqrt{2})-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1} \, dx -\int \frac{\frac{\sqrt{2}}{8}(2x-\sqrt{2})+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1} \, dx= [/math]

[math] = \frac{\sqrt{2}}{8}\int \frac{2x+\sqrt{2}}{x^2+\sqrt{2}x+1}\, dx -\frac{\sqrt{2}}{8}\int \frac{2x-\sqrt{2}}{x^2-\sqrt{2}x+1}\, dx +\frac{1}{4}\int\frac{1}{x^2+\sqrt{2}x+1} \, dx +\frac{1}{4}\int\frac{1}{x^2-\sqrt{2}x+1} \, dx = [/math]

[math] =\frac{\sqrt{2}}{8}\log \frac{x^2+\sqrt{2}x+1}{x^2-\sqrt{2}x+1} +\frac{\sqrt{2}}{4}\left[ \arctan(\sqrt{2}x+1) + \arctan(\sqrt{2}x-1)\right]+c [/math].

---

Uwagi

---

Zadanie 5

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{x^2(x^2-x+2)}{(x^2+1)^2(x+1)} \, dx [/math].

Wskazówka

Wynik rozkładu funkcji podcałkowej na ułamki proste to [math]\frac{x}{(x^2+1)^2}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x+1}[/math].

---

Rozwiązanie

[math] \int \frac{x^2(x^2-x+2)}{(x^2+1)^2(x+1)} \, dx =\int \frac{1}{2} \frac{2x}{(x^2+1)^2}-\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{x+1} \, dx= -\frac{1}{2} \frac{1}{(x^2+1)} -\arctan x +\log|x+1| +c [/math].

---

Uwagi

---

Zadanie 6

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1}{(x^2+x+1)^2} \, dx [/math].

Wskazówka

Sprowadź trójmian kwadratowy do postaci kanonicznej. Użyj wyniku zadania 2.

---

Rozwiązanie

Zgodnie ze wskazówką [math] \int \frac{1}{(x^2+x+1)^2} \, dx =\int \frac{1}{\left[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\right]^2} \, dx= \left| \begin{matrix} w=(x+\frac{1}{2}) \\ dw=dx \end{matrix}\right|= \int \frac{1}{\left(w^2+\frac{3}{4}\right)^2} \, dw= [/math] Używając wyniku zadania 2 mamy dalej [math] =\frac{2}{3}\left[\frac{w}{(w^2+\frac{3}{4})}+\int \frac{1}{\left(w^2+\frac{3}{4}\right)} \, dw \right]= \frac{2}{3} \left\{ \frac{x+\frac{1}{2}}{\left[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\right]} +\sqrt{\frac{4}{3}} \arctan \left[\sqrt{\frac{4}{3}}(x+\frac{1}{2})\right] \right\} +c [/math]

---

Uwagi

---

Całki sprowadzalne do całkowania funkcji wymiernych

W tym rozdziale [math] Q(a,b) [/math] oznacza funkcję wymierną dwóch argumentów.

Zadanie 1

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1+\cos x}{2+\sin x} \, dx [/math].

Wskazówka

Stosujemy uniwersalne podstawienie [math]t =\tan \frac{x}{2}[/math], wtedy [math]\sin x = \frac{2 t}{1+t^2}[/math], [math]\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}[/math] oraz [math]d x = \frac{2 dt}{1+t^2}[/math].

---

Rozwiązanie

Stosując podstawienie [math]t =\tan \frac{x}{2}[/math] otrzymujemy [math] \int \frac{2}{(1+t+t^2)(1+t^2)} \, dt = \int \frac{2+2t}{(1+t+t^2)} \, dt-\int \frac{2t}{(1+t^2)} \, dt = \int \frac{1+2t}{(1+t+t^2)} \, dt+\int \frac{1}{(1+t+t^2)} \, dt -\int \frac{2t}{(1+t^2)} \, dt= [/math] [math] =\log (1+t+t^2)+\sqrt{\frac{4}{3}} \arctan \left[\sqrt{\frac{4}{3}}(t+\frac{1}{2})\right]-\log (1+t^2)+c [/math]

---

Uwagi

W szczególnych przypadkach gdy

1) [math]Q(\sin x, -\cos x)=-Q(\sin x,\cos x)[/math],

2) [math]Q(-\sin x, \cos x)=-Q(\sin x,\cos x)[/math],

3) [math]Q(-\sin x, -\cos x)=-Q(\sin x,\cos x)[/math],

wygodniejsze są następujące podstawienia, odpowiednio

1) [math]t=\sin x[/math],

2) [math]t=\cos x[/math],

3) [math]t=\tan x[/math].

---

Zadanie 2

Oblicz całkę nieoznaczoną [math] \int \frac{1}{\cos^3 x} \, dx [/math].

Wskazówka

Patrz uwagi do porzedniego zadania.

---

Rozwiązanie

Podstawiając [math] t =\sin x[/math] otrzymujemy

[math] \int \frac{1}{(1-t^2)^2} \, dt =\frac{1}{4} \int \frac{1}{(1-t)^2}+\frac{1}{1-t}+\frac{1}{(1+t)^2}+\frac{1}{1+t} \, dt = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{1-t}-\log|t-1| - \frac{1}{1+t}+\log|t+1| \right)+c. [/math]

---

Uwagi

---

Uwagi końcowe

Następujące całki dają się sprowadzić do całkowania funkcji wymiernych

[math] \int Q(e^x,1) \, dx [/math] podstawienie [math]y=e^x[/math]

[math] \int Q(x,\sqrt{ax^2+bx+c}) \, dx [/math] dla przypadku [math]a\gt 0[/math] i [math]\Delta\gt 0[/math] podstawienie [math]y=\pm\hbox{ar cosh}\left[\frac{2a}{\sqrt{\Delta}} \left(x+\frac{b}{2a}\right)\right][/math] a dla przypadku [math]a\gt 0[/math] i [math]\Delta\lt 0[/math] podstawienie [math]y=\hbox{ar sinh}\left[\frac{2a}{\sqrt{-\Delta}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right][/math] sprowadzają tego rodzaju całki do przypadku [math] \int Q(e^x,1) \, dx [/math]. Natomiast przypadek [math]a\lt 0[/math] i [math]\Delta\gt 0[/math] sprowadzamy do przypadku całkowania funkcji [math]Q(\sin x,\cos x)[/math] na przykład przez podstawienie [math]y=\hbox{arc sin}\left[\frac{2a}{\sqrt{\Delta}}\left(x+\frac{b}{2a}\right)\right][/math]

[math] \int Q(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}) \, dx [/math] podstawienie [math]y=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}[/math].

---