![](/edu/images/logo.png)
Wstep: Różnice pomiędzy wersjami
Linia 1: | Linia 1: | ||
− | ==[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]Sygnał== | + | ==[[Analiza_sygnałów_-_lecture|AS/]]Sygnał== |
W języku potocznym sygnał to [http://sjp.pwn.pl/lista.php?co=sygnał|''wszelki umowny znak o treści informacyjnej'']. Z kolei w ramach tego wykładu przez | W języku potocznym sygnał to [http://sjp.pwn.pl/lista.php?co=sygnał|''wszelki umowny znak o treści informacyjnej'']. Z kolei w ramach tego wykładu przez | ||
''sygnał'' rozumieć będziemy funkcję (zależną zwykle od | ''sygnał'' rozumieć będziemy funkcję (zależną zwykle od |
Wersja z 17:23, 4 paź 2016
AS/Sygnał
W języku potocznym sygnał to wszelki umowny znak o treści informacyjnej. Z kolei w ramach tego wykładu przez sygnał rozumieć będziemy funkcję (zależną zwykle od czasu[1]) [math]s(t)[/math]. Czy mówimy o tym samym?
Rozważmy przykładowe znaki umowne: czerwone światło na skrzyżowaniu to docierająca do naszych oczu fala elektromagnetyczna o długości ok. 0,0000007 metra; znaczeniem tego sygnału jest "stój". Litery, które czytasz, to pewien rozkład zaczernienia kartki, dający się niewątpliwie opisać z pomocą funkcji matematycznych, gdyż w tej właśnie formie przechodził kolejne etapy poprzedzające druk. Ich znaczenie...
Wydaje się, że fizyczną postać informacji — umożliwiającą jej przekaz czy przechowywanie — można nazwać sygnałem. A odwrotnie? Czy każdy sygnał niesie ze sobą jakąś informację? Owszem, tylko niekiedy może ona być nieskończenie trudna do odczytania (dokładam wszelkich starań, aby nie miało to miejsca w przypadku tego tekstu :-). A sygnały zupełnie przypadkowe? Okazuje się, że nie są wcale powszechne ani łatwe do wytworzenia [2], więc właśnie całkowitą przypadkowość można uznać za niesioną przez sygnał informację.
Analiza
Informację niesioną przez milion liczb, wylosowanych niezależnie spomiędzy 0 i 1, można przedstawić krócej niż przez wyliczenie ich wszystkich — choćby tym właśnie zdaniem. Opis ten jest nie tylko bardziej zwięzły niż przytaczanie miliona wartości, ale oddaje jednocześnie najważniejsze ich cechy — istotę sygnału. Zwięzłych, trafny i kompletny opis sygnałów występujących w przyrodzie to właśnie Święty Graal analizy sygnałów. Ta książka to zaledwie zbiór wskazówek, które przy rozsądnym stosowaniu mogą nas czasem doprowadzić w jego pobliże.
Zastanówmy się więc, na czym właściwie ma polegać analiza czy opis sygnału, w przypadku bardziej skomplikowanym niż przytoczony powyżej? Sięgniemy raz jeszcze do Słownika języka polskiego:
analiza 1. myślowe, pojęciowe wyodrębnienie cech, części, lub składników badanego zjawiska lub przedmiotu; badanie cech elementów lub struktury czegoś oraz zachodzących między nimi związków (...)
Skoncentrujmy się najpierw na "wyodrębnianiu części lub składników". Ilustrację tego podejścia stanowi rysunek %i 1.
"Tajemnicę" konstrukcji sygnału z górnej części rysunku %i 1 odkrywają wyrysowane pod nim funkcje składowe. Sygnał (a) jest ich (liniową) sumą. Taki przypadek sygnału będącego liniową kombinacją znanych funkcji możemy przedstawić ogólnie jako
gdzie [math]\{g_i\}[/math] to zbiór "znanych" funkcji, a [math]\alpha_i[/math] to współczynniki określające ich wkłady. W konkretnym przypadku sygnału z rysunku %i 1 wyglądałyby one następująco:
Załóżmy, że interesująca nas w sygnale informacja została faktycznie zakodowana według równania (1). Niestety, dokładne "odgadnięcie" reprezentacji typu równania (2) jest w ogólnym przypadku — czyli w braku pewnej wiedzy a priori o sygnale — niemożliwe. Już sam wybór rodzaju funkcji (np. sinusy i kosinusy) jest nieskończenie trudny — wszak różnych funkcji jest nieskończenie wiele! Nawet gdy już zdecydujemy, jakiego rodzaju funkcje powinny najlepiej opisywać analizowany sygnał, to dobranie ich parametrów wciąż pozostaje poważnym problemem (patrz np. rozdział o algorytmie Matching Pursuit).
Ale analiza to również "badanie cech elementów lub struktury (...)
oraz zachodzących między nimi związków". Możemy pokusić się o
ustalenie związku między wartością sygnału w danej chwili i w chwilach
poprzednich, w postaci zależności liniowej -- takie założenie realizuje opisany w jednym z następnych rozdziałów model AR:
Jeśli weźmiemy pod uwagę czynniki przypadkowe, jak np. niedokładność pomiarów, do równań (1) i (3) należy dodać element stochastyczny — nie podlegający opisowi w ramach modelu szum [math]\epsilon[/math] (patrz rozdział o reprezentacjach przybliżonych):
Na koniec zauważmy, że zaproponowane dotychczas modele mają postać liniowych sum. Uwzględnienie nieliniowości otwiera nowe, nie uwzględnione w tej książce rozdziały, jak np. chaos deterministyczny, fraktale...
Sygnały ciągłe i dyskretne
Wartości akcji w chwilach zamknięcia kolejnych sesji giełdy tworzą sygnał z natury dyskretny. Jednak w przyrodzie większość stanowią sygnały ciągłe, jak dźwięk (zmiany ciśnienia powietrza w czasie) czy elektroencefalogram (EEG, potencjał elektryczny mózgu mierzony z powierzchni czaszki). Niezależnie od tego, współczesna analiza sygnałów odnosi się w praktyce głównie do sygnałów dyskretnych. "Winne" są oczywiście komputery, urządzenia z natury cyfrowe, czyli "rozumiejące" wyłącznie dyskretne wartości. Zastanówmy się nad wynikającymi stąd korzyściami i stratami.
Jeśli sygnał z natury ciągły (np. dźwięk) zdecydujemy się analizować lub przechowywać w formie cyfrowej, to ciągłą funkcję (np. ciśnienia powietrza) w czasie musimy zastąpić jej wartościami zmierzonymi w określonych (najlepiej jednakowych) odstępach czasu, jak na rys. %i 2.
![próbkowanie zmienia ciągłys sygnał](/edu/images/6/6f/Wstep_rys_2.jpg)
Przy przejściu z reprezentacji ciągłej (rys. %i 2 a) do dyskretnej (b) tracimy informację o wartościach sygnału pomiędzy próbkami, a naiwne próby ich rekonstrukcji (c i d) znacznie odbiegają od oryginału (a).
![próbkowanie zmienia ciągłys sygnał](/edu/images/thumb/6/6b/Wstep_rys_3.jpg/600px-Wstep_rys_3.jpg)
Pomimo tego, cyfrowy zapis dźwięku (płyty CD)
zastąpił całkowicie
analogowe "czarne płyty" z winylu — dlaczego?
[3]
- Po pierwsze, przy pewnych dodatkowych założeniach o sygnale ciągłym [math]s(t)[/math], możliwe jest jego dokładne odtworzenie z dyskretnej sekwencji próbek, jeśli odstęp próbkowania [math]\Delta t[/math] dobrano odpowiednio dla danego sygnału. Mówi o tym twierdzenie Nyquista.
- Po drugie, zapis cyfrowy umożliwia korekcję błędów.
Zapis cyfrowy i korekcja błędów
Aby zrozumieć, dlaczego łatwość korekcji błędów związana jest z zapisem cyfrowym, przyjrzyjmy się bliżej analogowym i cyfrowym zapisom dźwięku. Na płycie analogowej dźwięk kodowany jest w zmiennym wyżłobieniu rowka, w którym przemieszcza się igła gramofonu. W przybliżeniu możemy wyobrazić sobie, że "podskok" igły w większym wgłębieniu rowka odwzorowywany jest jako większe wychylenie membrany głośnika (po zamianie w impuls elektryczny i przejściu przez wzmacniacz). Tak więc wyżłobienie rowka płyty oryginalnie odwzorowuje dokładnie zapisany dźwięk. Jego zarysowanie lub zabrudzenie wprowadzi przy odtwarzaniu zakłócenia (zwykle trzaski). Jednoznaczne rozróżnienie, które z wyżłobień rowka winylowej płyty odzwierciedlają oryginalny zapis muzyki, a które powstały skutkiem uszkodzeń, jest właściwie niemożliwe, dlatego też muzyka ze starych płyt kojarzy nam się z obecnością trzasków i szumu.[4]
W przypadku zapisu cyfrowego możemy w prosty sposób wykryć fakt wystąpienie zakłóceń. Wyobraźmy sobie, że zapisujemy muzykę jako szereg liczb, opisujących amplitudę fali dźwiękowej mierzoną w ustalonych odstępach czasu (rys. Figure 4; dla płyty kompaktowej [math]\Delta t = 1/44 100[/math] sekundy). Ponieważ urządzenie, które będzie zamieniać ten zapis z powrotem na muzykę, i tak musi być swego rodzaju specjalizowanym komputerem (odtwarzaczem CD), to do programu odtwarzającego możemy wprowadzić pewną modyfikację. Umówmy się dla przykładu, że z każdych dziesięciu kolejnych liczb, do zapisu muzyki będziemy wykorzystywać tylko dziewięć, a ostatnią będziemy dobierać tak, żeby suma kolejnych dziesięciu liczb zawsze wynosiła np. milion.
![digitalizacja sygnału analogowego](/edu/images/thumb/a/a2/Wstep_rys_4.jpg/600px-Wstep_rys_4.jpg)
Taki sposób zapisu wprowadza redundancję, czyli nadmiar informacji w zapisie, ponieważ przy prawidłowym odczycie wystarczyłoby znać dziewięć kolejnych liczb, aby wyznaczyć dziesiątą (jako milion minus suma pozostałych dziewięciu). Jednak jeśli wczytamy z takiego zapisu wszystkie liczby, i suma którejś dziesiątki okaże się inna niz milion, to mamy pewność, że w tym miejscu wystąpił błąd.[5] Taka informacja jest bardzo cenna:
- Jeśli jesteśmy pewni , że nagły skok amplitudy w kilku kolejnych próbkach jest wynikiem błędu zapisu, a nie efektem zamierzonym przez muzyka, to możemy ten skok "przemilczeć", czyli np. zastąpić "popsute" próbki średnią wartością poprzednich.
- Możemy zwiększyć redundancję i zapisać dwie jednakowe kopie; jeśli uszkodzeniu ulegnie fragment pierwszej kopii, program może automatycznie sięgnąć do odpowiedniego fragmentu drugiej kopii[6].
- W przypadku transmisji przez modem, program może zażądać powtórnego przesłania uszkodzonego fragmentu.
Niezależnie od tych korzyści, jeśli chcemy analizować sygnały z pomocą komputera (maszyny cyfrowej), i tak jesteśmy "skazani" na pracę z ich dyskretną formą.
Mimo tego, większość ogólnych twierdzeń będziemy rozważać w przestrzeni funkcji ciągłych — o ile nie tyczą się explicite efektów próbkowania. Teoria funkcji ciągłych jest asymptotycznie zgodna z wynikami dla sekwencji dyskretnych — dla odstępu próbkowania dążącego do zera. Jej rezultaty, prostsze pojęciowo i łatwiejsze do wyprowadzenia, są wystarczająco dokładne by wyjaśnić ogólne własności dyskretnych obliczeń.
W uzasadnionych przypadkach będziemy oczywiście dyskutować efekty próbkowania; w takich sytuacjach będziemy rozróżniać sygnał ciągły [math]s(t)[/math] od dyskretnej sekwencji [math]s[n][/math].
Podobne tematy opisuje rozdział "Cyfrowy Świat" z podręcznika Technologii Informacyjnej.
- ↑ Uzyskane rezultaty nie zależą od fizycznej postaci zmiennej zależnej ([math]t[/math]) i większość z nich stosowana jest np. w analizie obrazów.
- ↑ Za sygnał przypadkowy możemy uznać sekwencję liczb, przyjmującym wartości z określonego przedziału, np. od 0 do 1, z jednakowym prawdopodobieństwem. Ponadto w takiej sekwencji nie powinny występować żadne zależności między prawdopodobieństwem "wylosowania" następnej liczby a wartościami poprzednich, gdyż w nich właśnie może być zakodowana informacja. W przyrodzie znamiona takiej przypadkowości noszą zjawiska związane z rozpadem promieniotwórczym.
- ↑ Odpowiedź nie kryje się (niestety) w niższej cenie nośnika. Pomimo, że technologia cyfrowa faktycznie pozwala na znacznie tańszą produkcję (tj. powielanie) przy zachowaniu wysokiej jakości — jak wyjaśnimy za chwilę — to jednak cena średnio dwukrotnie wyższa niż cena odp. płyty winylowej, która w pierwszym okresie była uzasadniona wysokimi kosztami wprowadzania nowej technologii, po jej rozpowszechnieniu pozostała na wywindowanym poziomie, podwajając zyski wytwórni fonograficznych
- ↑ Tak naprawdę sprawa nie
jest beznadziejna:
- część zakłócen pochodzi z zanieczyszczeń; w tym przypadku zwykle pomaga delikatne czyszczenie płyty.
- Do pozostałych zakłóceń, których nie da się usunąć mechanicznie, stosuje się potężną metodologię analizy sygnałów (będącą przedmiotem następnych rozdziałów), która pomaga zgadnąć, które dźwięki w zapisie mogą pochodzić z zakłóceń. Zwykle jednak nie da się usunąć dokładnie wszystkich zakłóceń bez naruszenia brzmienia oryginału.
- ↑ Ale poprawna suma nie daje gwarancji, że błędu nie ma. W jednej dziesiątce mogą wystąpić np. dwa jednakowe błędy o przeciwnych znakach i suma pozostanie niezmieniona. Dlatego sumy kontrolne liczy się w bardziej wyrafinowany sposób (np. CRC -- Cyclic Redundancy Check )
- ↑ Prawdopodobieństwo wystąpienia uszkodzeń w tych samych fragmentach dwóch zapisów jest już bez porównania mniejsze niż pojedynczego uszkodzenia. Sposobem wprowadzania nadmiarowości, który minimalizuje prawdopodobieństwo wystąpienia takich pechowych przypadków, rządzi dość złożona matematyka z pogranicza statystyki, której nie będziemy tu omawiać. W każdym razie, dwie jednakowe kopie umieszczone jedna za drugą zwykle nie okazują się rozwiązaniem otymalnym.