Funkcje i granice

Funkcje i ich granice

Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja wykładnicza i logarytmiczna.

Funkcja wykładnicza — kilka dopowiedzeń

Wartość funkcji wykładniczej dla argumentów niewymiernych

Mówiąc o funkcji wykładniczej [math]a^x\;[/math], wykładowca prześlizgnął się nad problemem definicji tejże dla [math]x\;[/math] niewymiernych (było konsekwentnie powiedziane jedynie, jak się liczy wartość [math]a^x\;[/math] dla [math]x\in \mathbb Q\;[/math]). Teraz będzie o tym dopowiedzenie. "Szkolny" sposób wprowadzenia potęgi [math]a^x\;[/math] dla [math]x\;[/math] niewymiernych polegał zazwyczaj na zdefiniowaniu [math]a^x\;[/math] jako granicy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^{r_n}\;[/math], gdzie [math]r_n\;[/math] był jakimś ciągiem monotonicznym liczb wymiernych zbieżnym do [math]x\;[/math] (np. ciągiem przybliżeń dziesiętnych [math]x\;[/math]).

W wykładzie szkolnym zazwyczaj nie dowodziło się istnienia granicy tego ciągu, poprzestając na argumentach intuicyjnych. Uzbrojeni w twierdzenia o granicach ciągów, możemy łatwo pokazać istnienie granicy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} a^{r_n}\;[/math]:

Otóż jeśli  [math]r_n\;[/math] jest ciągiem monotonicznym, to taki jest też
ciąg [math]a^{r_n}\;[/math]; jest to ponadto ciąg ograniczony, więc  zbieżny.

Funkcja wykładnicza o podstawie [math]e\;[/math]

Okazuje się dogodne (z przyczyn, które staną się jasne niedługo) wziąć w definicji funkcji wykładniczej [math]a=e\;[/math]. Funkcja odwrotna do [math]e^x\;[/math], tzn. [math]\log_e x\;[/math], nazywa się logarytmem naturalnym.

Granica funkcji w punkcie

Definicja Heinego

Liczbę [math]g\;[/math] nazywamy granicą funkcji [math]f\;[/math] w punkcie [math]a\;[/math] (co oznaczamy: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} f(x) = g\;[/math]) jeżeli dla każdego ciągu {[math]x_n[/math]} zbieżnego do [math]a\;[/math] i o wyrazach różnych od [math]a\;[/math] zachodzi równość:

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n) = g [/math]

Przykład

[math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}} (x^2) =0\;[/math]. Weźmy bowiem dowolny ciąg {[math]x_n[/math]} zbieżny do zera; mamy:

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} (x_n)^2= \left(\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x_n}\right)^2=0. \;[/math]

Przykład

Rozważmy funkcję [math]\mathrm{sgn}(x)\;[/math], definiowaną jako:

[math] \mathrm{sgn}(x) = \begin{cases} -1 & \text{dla } x \lt 0, \\ 0 & \text{dla } x = 0, \\ 1 & \text{dla } x \gt 0. \end{cases}[/math]

Funkcja [math]\mathrm{sgn}(x)\;[/math] nie posiada granicy w punkcie [math]x=0\;[/math]. Weźmy bowiem: [math]x_n=\frac{1}{n}\;[/math]; mamy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=0\;[/math] oraz [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \mathrm{sgn} (x_n)=1\;[/math]. Weźmy teraz drugi ciąg [math]x'_n=-\frac{1}{n}\;[/math]; mamy [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x'_n=0\;[/math] oraz [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \mathrm{sgn} (x'_n)=-1\;[/math], tak więc [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to 0} \mathrm{sgn}(x)\;[/math] nie istnieje.

Można jednak mówić tu o granicy jednostronnej w punkcie [math]0\;[/math].

Granica jednostronna

Liczbę [math]g\;[/math] nazywamy granicą lewostronną (prawostronną) funkcji [math]f\;[/math] w punkcie [math]a\;[/math], jeśli warunki: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;[/math] i [math]x_n\lt a\;[/math] (odpowiednio [math]x_n\gt a\;[/math]) implikują [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n)=g\;[/math]. Sytuacje te oznaczamy symbolami:

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a^+}} f(x)=g \;\;[/math] — granica lewostronna i [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a^-}} f(x)=g \;\;[/math] — granica prawostronna.

W ten sposób, mamy

Przykład (c.d.)

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^-}} \mathrm{sgn}(x)=-1 \;\;\mbox{i} \;\;\ \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^+}} \mathrm{sgn}(x)=+1. \;[/math]

Symbolu [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a}} f(x)\;[/math] używamy również na oznaczenie granicy niewłaściwej:

Przykład

Mamy: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}}\,\frac{1}{x^2}=\infty \;[/math]; natomiast

Przykład

[math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0}}\,\frac{1}{x}\;[/math] nie istnieje; natomiast:

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^-}} \frac{1}{x}=-\infty \;\;\mbox{i} \;\;\ \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {0^+}} \frac{1}{x}=+\infty. \;[/math]

Przykład

Podobnie: [math] \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tg(x) [/math] nie istnieje; natomiast: [math]\lim_{x \rarr \frac{\pi}{2}^-}{\tg(x)} = -\infty[/math]

[math]\lim_{x \rarr \frac{\pi}{2}^+}{\tg(x)} = +\infty[/math]

Funkcje bez jednostronnych granic

Istnieją jednak funkcje, które nie posiadają nawet jednostronnych granic (właściwych, ani niewłaściwych). Należy do nich np. funkcja:

[math] f(x)=\sin\left( \frac{1}{x} \right) \;\;\;x\ne 0. \;[/math]

W punkcie [math]x=0\;[/math] nie posiada ona jednostronnej granicy (ani lewo-, ani prawostronnej). Aby pokazać nieistnienie granicy prawostronnej, weźmy dwa ciągi [math]\left\{x_n\right\}[/math],[math]\left\{x_n'\right\}[/math] o wyrazach dodatnich: [math]x_n =\frac{2}{(4n+1)\pi}\;[/math], [math]x'_n =\frac{2}{(4n+3)\pi}\;[/math]. Oba ciągi są zbieżne do zera.

Mamy

[math] f(x_n)=\sin\left( \frac{1}{x_n} \right)=\sin \left( \frac{(4n+1)\pi}{2} \right)= \sin \left(2\pi n+ \frac{\pi}{2} \right) =+1 \;[/math]

i podobnie

[math] f(x'_n)=\sin\left( \frac{1}{x'_n} \right)= \sin \left(2\pi n+ \frac{3\pi}{2} \right) =-1 \;[/math]

Widzimy, że nie istnieje granica prawostronna w zerze (podobnie przekonujemy się, że nie istnieje też granica lewostronna).

Prócz granicy funkcji dla skończonego [math]a\;[/math], rozważamy też granicę w nieskończoności.

Granica w nieskończoności

Mówimy, że granicą funkcji [math]f(x)\;[/math] w nieskończoności jest liczba [math]g\;[/math] (ozn. [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \infty} f(x)=g\;[/math]), jeżeli dla każdego ciągu {[math]x_n[/math]} takiego, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x_n}=g\;[/math] zachodzi: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n)=g\;[/math].

Przykład

Mamy: [math] \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0,\;\;\;\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \infty} e^x=\infty,\;\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to -\infty} e^x=0. \;[/math]

Przykład

Funkcje trygonometryczne: [math]\sin x, \cos x, \tg x\;[/math] nie posiadają granic w [math]\pm\infty\;[/math].

Działania na granicach

Twierdzenie

Przy założeniu, że granice [math]\lim_{x \rarr a}{f(x)}[/math] i [math]\lim_{x \rarr a}{g(x)}[/math] istnieją i są skończone, zachodzą wzory:

[math]\begin{matrix} \lim\limits_{x \to a} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &+& \lim\limits_{x \to a} g(x) \\ \lim\limits_{x \to a} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &-& \lim\limits_{x \to a} g(x) \\ \lim\limits_{x \to a} & (f(x)\cdot g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &\cdot& \lim\limits_{x \to a} g(x) \\ \lim\limits_{x \to a} & (f(x)/g(x)) & = & \lim\limits_{x \to a} f(x) &/& \lim\limits_{x \to a} g(x) \end{matrix} [/math]

Wzory te pozostają też prawdziwe, jeśli [math]a\;[/math] jest [math]\pm\infty\;[/math], jak też są prawdziwe dla granic jednostronnych.

Dowód

Dowody są takie same jak dla granic ciągów z poprzedniego rozdziału.

Analogony twierdzeń z rozdziału o granicach ciągów

Mamy też analogony innych twierdzeń dla granic ciągów:

Twierdzenie

Jeśli granice [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x)\;[/math] i [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x)\;[/math] istnieją, to

nierówność[math]\;\; f(x)\leq g(x) \;\;[/math] implikuje [math]\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x) \leq \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x); \;[/math]

nierówności [math]f(x)\leq h(x)\leq g(x)\;[/math] wraz z równością [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x) =\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x)\;[/math]

implikują [math]\;\; \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a} \,f(x) = \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, h(x) = \displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a}\, g(x). \;[/math]

Jak poprzednio, wzory te są też prawdziwe dla [math]a=\pm \infty\;[/math] oraz dla granic jednostronnych.

Dowód

Dowody są analogiczne jak w przypadu granic ciągów.

CBDO

Kilka warunków dostatecznych istnienia granicy

Najsampierw przenieśmy definicję ciągu ograniczonego na funkcje:

Ograniczenie funkcji

Mówimy, że funkcja [math]f(x)\;[/math] jest ograniczona z góry (dołu), jeżeli istnieje taka stała [math]M\;[/math], że dla każdego [math]x\;[/math] z dziedziny zachodzi: [math]f(x)\lt M\;[/math] (odpowiednio [math]f(x)\gt M\;[/math]). Wśród różnych analogonów na istnienie granic ciągów i funkcji, mamy następujący odpowiednik twierdzenia o zbieżności ciągów monotonicznych ograniczonych:

Twierdzenie

Jeśli funkcja jest niemalejąca i ograniczona z góry, to istnieje granica [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to { a}} f(x)\;[/math] dla dowolnego [math]a\;[/math].

Uwaga

Niezbędne jest tu założenie o monotoniczności funkcji. Dla funkcji niemonotonicznych twierdzenie to nie zachodzi — przypomnijmy sobie przykład funkcji [math]f(x)=\sin\frac{1}{x}\;[/math].

Dowód

Ciąg [math]\left\{ a-\frac{1}{n} \right\}[/math] jest rosnący, a stąd ciąg [math]\left\{f\left (a-\frac{1}{n} \right)\right\}[/math] jest niemalejący; a ponieważ jest też ograniczony, to jest zbieżny. Niech

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f\left( a-\frac{1}{n} \right) = g. \;[/math]

Pozostaje pokazać, że przy narzuceniu warunków: [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;[/math] oraz [math]x_n\lt a\;[/math] zachodzi

[math] \displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \, f(x_n)=g. \;[/math]

Weźmy jakieś [math]\epsilon\gt 0\;[/math]. Istnieje wówczas [math]N\;[/math] takie, że [math]g-f\left( a-\frac{1}{N} \right)\lt \epsilon\;[/math]. Mając to [math]N\;[/math] bierzemy takie [math]k\;[/math], żeby dla [math]n\gt k\;[/math] zachodziła nierówność [math]a-\frac{1}{N}\lt x_n\;[/math]. Stąd

[math] f\left( a-\frac{1}{N} \right)\lt f(x_n), \;[/math]

skąd

[math] g-f(x_n)\lt g-f\left( a-\frac{1}{N} \right)\lt \epsilon. [/math]

Jednocześnie: Ponieważ [math]x_n\stackrel{n\to\infty}{\rightarrow}a\;[/math], to dla każdego [math]n\;[/math] istnieje [math]r_n\;[/math] takie, że [math]x_n\lt a-\frac{1}{r_n}\;[/math]. Mamy stąd

[math] f(x_n)\lt f\left( a-\frac{1}{r_n} \right)\leq g \;\;\;\Longrightarrow \;\;\; g-f(x_n)\gt 0. \;[/math]

Z obu nierówności: (1) i (2) mamy:

[math] -\epsilon\lt 0\lt g-f(x_n)\lt \epsilon \;\;\; \Longrightarrow \;\;\;|g-f(x_n)|\lt \epsilon \;\;\; \Longrightarrow \;\;\;\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} f(x_n)=g. \;[/math]

CBDO

Twierdzenie dla funkcji nierosnących lub niemalejących i oraniczonych

W analogiczny sposób dowodzi się twierdzeń dla funkcji nierosnących oraz dla granic prawostronnych. Można to podsumować jako

Tw.Jeśli funkcja jest nierosnąca lub niemalejąca i ograniczona, to granice [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to a^\plusmn } f(x)\;[/math] istnieją w każdym punkcie [math]a\;[/math]. Dla [math]a=\pm\infty\;[/math], istnieje granica [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to \plusmn\infty} \,f(x)\;[/math].

CBDO

Zachodzi też twierdzenie w pewnym sensie odwrotne:

Twierdzenie XX

Jeśli funkcja [math]f\;[/math] nie posiada granicy skończonej w punkcie [math]a\;[/math], to istnieje ciąg {[math]x_n[/math]} taki, że [math]x_n\ne a\;[/math], [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x}=a\;[/math] oraz ciąg [math]\{f(x_n)\}\;[/math] jest rozbieżny.

Bez dowodu.

Definicja Cauchy'ego

Prócz definicji Heinego, jest jeszcze jedna, inna ale równoważna, i równie ważna, definicja Cauchy'ego.

Def. Mówimy, że funkcja [math]f\;[/math] posiada w punkcie [math]a\;[/math] granicę [math]g\;[/math], jeżeli

[math] \forall_{\epsilon\gt 0}\;\exists_{\delta\gt 0}\;\forall_{x: 0\lt |x-a|\lt \delta}\; :|f(x)-g|\lt \epsilon. \;[/math]

A oto obiecana równoważność:

Twierdzenie XXX

Obie definicje granicy funkcji w punkcie: Cauchy'ego i Heinego są równoważne.

Dowód

Przypuśćmy najsampierw, że warunek Cauchy'ego nie jest spełniony, tzn.

[math] \exists_{\epsilon\gt 0}\; \forall_{\delta\gt 0}\;\exists_{x: 0\lt |x-a|\lt \delta}\; :\;|f(x)-g|\geq\epsilon. \;[/math]

W szczególności, biorąc [math]\delta=\frac{1}{n}\;[/math], wnioskujemy, że istnieje ciąg {[math]x_n[/math]} taki, że

[math] 0\lt |x_n-a|\lt \frac{1}{n} \;[/math]

oraz

[math] |f(x_n)-g|\geq\epsilon. \;[/math]

Warunek (3) mówi, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;[/math] oraz [math]x_n\ne a\;[/math]. Gdyby więc przypuścić, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {a}}\,f(x)=g\;[/math], to musiałaby być spełniona równość [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \, f(x_n)=g\;[/math]; ale ta równość jest sprzeczna z (4).

Pokazaliśmy w ten sposób, że warunek Cauchy'ego jest konieczny, aby funkcja posiadała granicę w myśl definicji Heinego.

Teraz pokażemy, że jest on również warunkiem wystarczającym.

Niech będzie dane [math]\epsilon \gt 0\;[/math] i niech [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x}=a\;[/math] oraz [math]x_n\ne a\;[/math]. Ponieważ z założenia warunek Cauchy'ego jest spełniony, to istnieje [math]\delta\gt 0\;[/math] takie, że nierówność: [math]0\lt |x_n-a|\lt \delta\;[/math] implikuje [math]|f(x_n)-g|\lt \epsilon\;[/math]. Ponieważ spełniona jest równość [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} {x}=a\;[/math], to nierówność [math]|x_n-a|\lt \delta[/math] zachodzi dla wszystkich dostatecznie dużych [math]n[/math] (tzn. począwszy od pewnego [math]M\in \mathbb N[/math]). Dla tych [math]n\;[/math] mamy więc nierówność [math]|f(x_n)-g|\lt \epsilon[/math], a to znaczy, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \,f(x_n)=g[/math] — czyli [math] \lim_{n \to \infty}f(x_n) = g [/math].

Twierdzenie XXXX

W teorii ciągów mieliśmy warunek Cauchy'ego dla ciągów, którego spełnienie gwarantowało zbieżność ciągu. Przy granicy funkcji mamy analogiczne twierdzenie.

Tw.XXXX Warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie (skończonej) granicy funkcji [math]f\;[/math] w punkcie [math]a\;[/math] jest, aby dla dowolnego [math]\epsilon\gt 0\;[/math] istniało takie [math]\delta\gt 0\;[/math], że dla [math]x,x'\;[/math] spełniających:

[math]0\lt |x-a|\lt \delta,\;[/math] [math]0\lt |x'-a|\lt \delta \;[/math]

zachodzi: [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\;[/math].

Dowód

Pokażemy najsampierw konieczność tego warunku. Jeśli [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {1}}\,f(x)=g\;[/math], to dla dowolnego zadanego [math]\epsilon\gt 0\;[/math] istnieje takie [math]\delta\gt 0\;[/math], że warunek: [math]0\lt |x-a|\lt \delta\;[/math] implikuje [math]|f(x)-g|\lt \frac{1}{2}\epsilon\;[/math]. Jeśli więc warunki (5) są spełnione, to zachodzą nierówności:

[math] |f(x)-g|\lt \frac{1}{2}\epsilon\;\;\;i\;\;\;|f(x')-g|\lt \frac{1}{2}\epsilon, \;[/math]

i po dodaniu tychże pod znakiem wartości bezwzględnej otrzymujemy [math]|f(x)-f(x')|\lt \epsilon\;[/math].

Jeśli chodzi o dostateczność warunku, to przypuśćmy, że granica funkcji [math]f\;[/math] w punkcie [math]a\;[/math] nie istnieje, mimo iż są spełnione założenia tw. XXXX. Istnieje wówczas na mocy tw. XX taki ciąg {[math]x_n[/math]}, że [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} \, x_n= a\;[/math], [math]x_n\ne a\;[/math] oraz że ciąg [math]\{f(x_n)\} \;[/math] jest rozbieżny. Z równości [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{n\to\infty} x_n=a\;[/math] wynika, że istnieje takie [math]k\;[/math], że dla [math]n\geq k\;[/math] można w nierównościach (5) podstawić [math]x=x_n\;[/math] i [math]x'=x_k\;[/math]. To implikuje, że [math]|f(x_n)-f(k_k)|\lt \epsilon\;[/math]. Z twierdzenia Cauchy'ego dla ciągów wnioskujemy stąd, że ciąg [math]\{f(x_n)\}\;[/math] jest zbieżny — wbrew naszemu przypuszczeniu.

CBDO

Twierdzenie XXX'

Powyższe twierdzenia XXX i XXXX dają się rozszerzyć na przypadek [math]a=\infty\;[/math]. Brzmią one wtedy następująco:

Tw.XXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby zachodziła równość [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to { \infty}}\,f(x)=g\;[/math] jest, aby

[math] \forall_{\epsilon\gt 0} \exists_r \forall_{x\gt r}:\, |f(x)-g|\lt \epsilon. \;[/math]

Twierdzenie XXXX'

Tw.XXXX'. Warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby istniała granica (skończona) [math]\displaystyle\mathop{\lim}_{x\to {\infty}}\, f(x)\;[/math], jest, aby

[math] \forall_{\epsilon\gt 0} \exists_r \forall_{x,x'\gt r}:\, |f(x)-f(x')|\lt \epsilon. \;[/math]

Dowody twierdzeń XXX' i XXXX'

Dow. Dowody są analogiczne jak twierdzeń XXX i XXXX. CBDO