WnioskowanieStatystyczne/Statystyki i estymatory

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład

Statystyki i estymatory

Funkcję [math]S(x_{1},x_{2},...x_{n})[/math] określoną na elementach próby [math]\{x_i\}[/math] zwiemy statystyką. Obliczane w praktyce statystyki służą weryfikacji hipotez statystycznych (zwiemy je wtedy statystykami testowymi — tym zajmiemy się w następnym rozdziale) lub estymacji (szacowaniu) parametrów rozkładu prawdopodobieństwa w populacji zmiennej [math]x[/math], z której pobierana jest próba. W tym drugim przypadku zwiemy je estymatorami. Na przykład wartość średnia próby

[math]\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i} \qquad [/math] może być estymatorem wartości oczekiwanej populacji [math]\mu=E(x)[/math].

Estymator zwiemy nieobciążonym, jeśli dla każdej wielkości próby [math]n[/math] jego wartość oczekiwana jest równa wartości estymowanego parametru (oznaczmy go np. [math]\beta[/math]):

[math]\displaystyle \forall n \ E(S(x_{1}...x_{n}))=\beta. [/math]

Estymator zwiemy zgodnym, jeśli przy wielkości próby dążącej do nieskończoności jego wariancja dąży do zera:

[math]\displaystyle \underset{n\rightarrow \infty }{\lim }\sigma (S(x_{1}...x_{n}))=0. [/math]

Estymator wartości oczekiwanej

Dla rozkładów ciągłych wartość oczekiwana [math]\displaystyle \mu=E(x)=\overset{n}{\underset{i=1}{\sum }}x_{i}P(X=x_{i}) [/math]

Dla rozkładów dyskretnych wartość oczekiwana [math]\displaystyle \mu=E(x)=\underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}x p(x)dx [/math]

Estymator wartości oczekiwanej postaci

[math]\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i} [/math]

jest nieobciążony i zgodny.

Dowód:

[math]\displaystyle E(\overline{x})=E\left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}\right)= \frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E(x_{i}) =\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\mu =\frac{1}{n}n\mu =\mu [/math]

[math]\displaystyle \sigma ^{2}\left( \overline{x}\right) = E \left( \left( \overline{x}-E(\overline{x})\right)^{2}\right) = E\left(\left(\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}x_{i}- \frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\mu \right)^{2}\right) = [/math]

[math]\displaystyle =\frac{1}{n^{2}}E\left(\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\mu )\right)^{2}\right) [/math]

Jeśli elementy próby są niezależne, to [math]\displaystyle E\left((x_{i}-\mu)(x_{j}-\mu )\right) =\delta _{ij}\sigma ^{2}(x_{i}), [/math]

gdzie [math]\delta_{ij}[/math] oznacza deltę Kroneckera ([math]\delta_{ij}=1\ \textrm{ dla }\ i=j, \delta_{ij}=0\ \textrm{ dla }\ i\neq j[/math]), czyli:

[math]\sigma ^{2}\left( \overline{x}\right) =\frac{1}{n^{2}}E\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\mu )^{2}\right) =\frac{1}{n^{2}}\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}E(x_{i}-\mu )^{2}\right) = \frac{1}{n^{2}}\underset{i=1}{\overset{n}{ \sum }}\sigma ^{2}(x_i) [/math]

Ponadto, jeśli elementy próby pochodzą z tego samego rozkładu, to [math]\sigma ^{2}(x_{i})=\sigma^{2}(x)[/math], czyli

[math]\displaystyle { \sigma ^{2}(\overline{x})=\frac{1}{n^{2}}\underset{i=1}{\overset{n}{ \sum }}\sigma ^{2}(x)=\frac{1}{n}\sigma ^{2}(x)\ }. [/math]

Prawo wielkich liczb (opcjonalnie)   Do zgodności estymatora wartości oczekiwanej odnosi się również prawo wielkich liczb. Mówi ono, że

wartość średnia [math]\overline{x}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i[/math], obliczona z odpowiednio dużej próby (o liczności co najmniej [math]n_0[/math]), pobieranej z populacji o skończonej wariancji, może być dowolnie bliska wartości oczekiwanej [math]\mu[/math].

Co to znaczy "odpowiednio duża próba" i "dowolnie bliska"?

Jeśli chcemy, żeby wartość średnia nie odbiegała od [math]\mu[/math] o więcej niż [math]\varepsilon[/math] z prawdopodobieństwem ,,prawie jeden", czyli [math]1-\eta[/math], to dla wybranych (dowolnie małych, dodatnich) [math]\varepsilon [/math] i [math]\eta[/math] istnieje takie [math]n_{0}[/math], że dla każdego [math]n\gt n_{0}[/math]:

[math]\displaystyle \exists {\varepsilon, \eta} \forall{n\gt n_0} P\left( \left| \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i -\mu \right| \lt \varepsilon \right) \gt 1-\eta. [/math]

Jest to tzw. słabe prawo wielkich liczb; mocne prawo wielkich liczb mówi, że

[math]\displaystyle \underset{n\rightarrow \infty }{\lim} \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n} x_i = \mu . [/math] Dokładniejsze formulacje i dowody można znaleźć np. w książce "Wnioskowanie statystyczne" L. Gajek i M. Kałuszka, WNT 2000.

Estymator wariancji

Spróbujmy skonstruować estymator wariancji z próby jako   [math]\displaystyle s_o^{2}=\frac{1}{n} \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}.[/math]

Aby wyliczyć jego wartość oczekiwaną, wyprowadźmy jeszcze kilka prostych zależności. Na początek wykażemy, że wariancja zmiennej losowej jest równa różnicy wartości oczekiwanej kwadratu tej zmiennej i kwadratu jej wartości oczekiwanej:

[math]\displaystyle \sigma^{2}(x_i)=E((x_i-\mu)^{2})=E(x_i^{2}-2x_i\mu+\mu ^{2})=E(x_i^{2})-2\mu E(x_i)+\mu^{2}=\\ \quad\;\;\;\;\;\: = E(x_i^{2})-\mu^{2}=E(x_i^{2})-\left\{ E(x_i)\right\} ^{2} [/math]

Czyli

[math]\displaystyle \sigma ^{2}(x_i) = E(x_i^{2})-\left\{ E(x_i)\right\} ^{2} = E(x_i^{2}) - \mu^2 [/math]

Wynika stąd w szczególności, że

[math]\displaystyle E(x_i^{2}) = \sigma_{x_i}^2 + \mu^2 [/math]

Analogicznie dla wariancji wartości średniej

[math] E(\overline{x}^2) = \sigma_\overline{x}^2 + \mu^2 [/math]

Ponieważ [math]\displaystyle { \sigma ^{2}_\overline{x}=\frac{1}{n}\sigma^{2}_x } [/math] dostajemy

[math]\displaystyle \frac{1}{n}\sigma^{2}_\overline{x} = E(\overline{x}^2) - \mu^2 [/math]

czyli

[math]\displaystyle E(\overline{x}^2) = \frac{1}{n}\sigma^{2}_{x_i} - \mu^2 [/math]

Policzmy teraz wartość oczekiwaną proponowanego estymatora wariancji   [math]\displaystyle s_o^{2}=\frac{1}{n}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}-\overline{x})^{2}[/math]

[math]\displaystyle E\left( s_o^{2}\right) = \frac{1}{n} E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\right) [/math]

[math]\displaystyle = \frac{1}{n} E\left(\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^2 + \sum\limits_{i=1}^{n}\overline{x}^{2} - 2\sum\limits_{i=1}^{n} \overline{x} x_i \right) [/math]

[math]\displaystyle = \frac{1}{n} \left(\sum\limits_{i=1}^{n}E(x_{i}^2) + \sum\limits_{i=1}^{n}E(\overline{x}^{2}) - 2 E \left(\overline{x} \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \right) \right) [/math]

[math]\displaystyle = \frac{1}{n} \left(\sum\limits_{i=1}^{n}E(x_{i}^2) + n E(\overline{x}^{2}) - 2 n E (\overline{x}^2 ) \right) [/math]

[math]\displaystyle = \frac{1}{n} \left(n E\left(x_{i}^2\right) - n E\left(\overline{x}^{2}\right) \right) [/math]

podstawiając wyprowadzone wcześniej wzory na [math]E(x_{i}^2)[/math] i [math]E(\overline{x}^{2})[/math] dostajemy

[math]\displaystyle E\left( s_o^{2}\right) = \frac{1}{n} \left( n \left(\sigma^2_{x_i} - \mu^2\right) -n \left( \frac{1}{n}\sigma^2_{x_i} - \mu^2 \right) \right) =\frac{n-1}{n}\sigma^{2}_{x_i} [/math]

czyli nie jest dla każdej wielkości próby [math]n[/math] wartość oczekiwana tego estymatora wyniesie [math]\sigma^2(x)[/math]. Tak więc [math]s_o^2[/math] jest estymatorem obciążonym. W tej sytuacji, jako nieobciążony estymator wariancji możemy zaproponować

[math]\displaystyle { s^{2}=\frac{1}{n-1}\underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}(x_{i}- \overline{x})^{2} } [/math]

Estymator wariancji wartości średniej

Podstawiając tę zależność do wyprowadzonego powyżej wzoru na wariancję wartości średniej w miejsce [math]\sigma^2[/math], dostajemy wzór na estymator wariancji wartości średniej próby

[math]\displaystyle s^2_{\overline{x}} = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_{i}-\overline{x})^{2}. [/math]

Pierwiastek tej wielkości

[math]\displaystyle s_{\overline{x}} = \sqrt{ \frac{1}{n(n-1)}\sum_{i=1}^n(x_{i}-\overline{x})^{2}} [/math]

jest estymatorem odchylenia standardowego wartości średniej.